人教版八年級教學(xué)

角度計算七大幾何模型

4內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析（材學(xué)知學(xué)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

第二步：練

7大核心考點精準(zhǔn)練

第三步：測

上關(guān)：!1）穩(wěn)技開小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

3析教材學(xué)知識

【知識點18字模型】

【結(jié)論】如圖，/C與3。相交于點。，則4+/B="+ND.

【證明】在ZU3O中，在/CD。中，ZC+ZD+ZCOD=180°.

?：ZAOB=/COD,：./A+/B=ZC+ND.

【知識點2飛鏢模型】

【結(jié)論】如圖所示，已知四邊形ABDC,則NBDC=^A+ZB+^C.

【證明】如圖，延長交NC于點E.

ZBEC是A4BE的外角，：/BEC=/A+/B.又：NBDC是0COE的外角，

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Z./BDC=ZBEC+/C=ZA+ZB+ZC.

【知識點3A字模型】

【結(jié)論】如圖所示，NZME的兩邊上各有一點8,C,連接3C,則〃3。+/成/=/8?！?4.

【證明】二〃3c和4cB是ZU3C的夕卜角，：.ZDBC=ZA+ZACB,/ECB=/A+NABC.

^'：ZA+ZABC+ZACB=180°,:./DBC+/ECB=/A+NACB+NABC+NA=180°+NA.

【知識點4老鷹抓小雞模型】

【結(jié)論】如圖所示，NA+/BFC=/DBF+/FCE.

Pt

【證明】如圖，連接4F.

,?/DBF是AABF的外角，NFCE是AACF的外角，，/FCE=ZCAF+/CFA,

/./DBF+/FCE=NBAF+ZBFA+ZCAF+ZCFA=/BAC+/BFC,

Fp/BAC+/BFC=/DBF+ZFCE.

【知識點5雙內(nèi)角平分線模型】

【結(jié)論】如圖所示，在//3C中，BD,CO分別是48C和/4C8的平分線，則/8Z)C=90°+|/4.

【證明】

設(shè)NABD=/DBC=c,NACD=/BCD=y.

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由AABC的內(nèi)角和為180°,得N4+2x+2y=180°.?

由ABDC的內(nèi)角和為180°,得NBDC+x為=/80°.②

由②得X力=/80。-/8。。@

把③代入①，得///2。80°-/8。0=/80°,即2/BDC=180o+/A,

1

【知識點6雙外角平分線模型】

-1

【結(jié)論】如圖所示，N4BC的外角平分線8。和CD相交于點，則N5DC=90。-

【證明】設(shè)/EBD=NCBD=x,NBCD=/FCD=y.

由/BCD的內(nèi)角和為180。,得天力*/8"7=180。.①

易得2x+2y=180°+NA.②

由①得x+y=180°-ZBDC.?

把③代人②，得2(180°-NBDC)=180°+/A,

即2/BDC=180°-NA,

即/BDC=90。-

【知識點7內(nèi)外角平分線模型】

【結(jié)論】如圖所示，43c的內(nèi)角平分線BD和外角平分線CZ＞相交于點。，則〃

Pt

【證明】設(shè)NABD=/DBC=x,NACD=/ECD=y.

由外角定理得2y=N4+2x,①

y=ZD+x.?

把②代人①，得2(ND+M=X/+2X,

即/D=《NA.

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8練題型強知識

【題型18字模型】

【例1】如圖1，線段AB、CD相交于點。，連接4D、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,

在圖1的條件下，AD4B和/BCD的平分線力P和CP相交于點P,并且與CD、力B分別相交于M、N.試解答下

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；

(3)圖2中，當(dāng)ND=50度，NB=40度時，求NP的度數(shù).

(4)圖2中AD和NB為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出

結(jié)果，不必證明).

【變式1-1］如圖，是由線段48,CD,DF,BF,C4組成的平面圖形，/。=28。，則N/+N3+NC+N廠的

度數(shù)為.

【變式1-2］如圖，BP平分乙4BC,交CD于點尸，DP平分N4DC交力B于點E,與CD相交于點G,"=42。.

(1)若N/WC=60°,求"EP的度數(shù);

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(2)若NC=38。，求NP的度數(shù).

【變式1-3】【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明NA+NB=/C+ND；

【簡單應(yīng)用】

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD.ZBCD,若/ABC=46。，ZADC=26°,求NP的度數(shù)；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分NBAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若/ABC=36。，ZADC=16°,

請猜想NP的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】

(4)①在圖4中，若設(shè)/C=a,ZB=p,ZCAP=|ZCAB,ZCDP=|ZCDB,試問/P與/C、NB之間的

數(shù)量關(guān)系為：(用a、p表示NP)；

②在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角/BCE,猜想NP與NB、/D的關(guān)系，直接寫出結(jié)

論.

【題型2飛鏢模型】

【例2】如圖，用鐵絲折成一個四邊形48CD(點C在直線AD的上方)，且44=70。，ZBCD=120°,若使

/ABC、平分線的夾角/E的度數(shù)為100。，可保持//不變，將/瓦刀(填"增大’或"減

小”)°.

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【變式2-1］在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了如上圖這樣一個零件，如果乙4=52。，NB=25。，NC=

30°,ZD=35°,乙E=72°,那么z_F=

115°,則NA++NC+ND+NE+NF=

【變式2-3］如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請

發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題:

(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究4BDC與乙4、乙B、NC之間的關(guān)系，并說明理由;

(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題:

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△4BC上，使三角尺的兩條直角邊XV、XZ恰好經(jīng)過點B、C,若=50°,

直接寫出乙4BX+乙4cx的結(jié)果;

②如圖3,DC平分N4DB,EC平分N4EB,若NZME=50。,ADBE=130。，求NDCE的度數(shù);

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③如圖4,乙43。,乙4。。的10等分線相交于點61、G2,…、G9,若N8DC=14(T,NBGIC=77。，求乙4的度

數(shù).

【題型3A字模型】

【例3】如圖，將一個三角形剪去一個角后，Nl+N2=230。，貝此4等于()

A.35°B.50°C.65°D.70°

【變式3-1］如圖是某建筑工地上的人字架，若41=120。，那么N3-N2的度數(shù)為

\E

I,、_、、

A、CBC

圖1圖2

(1)如圖1,已知△ABC為直角三角形，NA=90。，若沿圖中虛線剪去N4貝!kl+N2=；

⑵如圖2,已知△力BC中，ZX=30°,剪去乙4后成四邊形，則Nl+N2=；

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程，你歸納猜想N1+N2與N4的關(guān)系是；

(4)如圖3,若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與N4的關(guān)系，并說明理由.

【題型4老鷹抓小雞模型】

【例4】把三角形紙片A'BC沿DE折疊.

(1)如圖1,點4落在四邊形BCDE內(nèi)部點/處時，“與"DC、N力EB之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，寫

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出這種關(guān)系并證明；

(2)如圖2,點力福在四邊形BCDE外部點/處時，直接寫出N力與乙4DC、N4EB之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式4-1］如圖，三角形紙片力BC中，N4=100°,乙B=40°,將紙片的角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)，若Na=

30°,貝比0的度數(shù)是()

【變式4-2］如圖，在aABC中，將△4BC沿直線機翻折，點2落在點。的位置，若/1一n2=60。，貝！UB

【變式4-3】如圖，把△/BC紙片沿DB折疊，當(dāng)N落在四邊形8Cr>￡內(nèi)時，則與/1+N2之間有始終

不變的關(guān)系是()

C.3/=Nl+/2D.3//=2(Z1+Z2)

【題型5雙內(nèi)角平分線模型】

【例5】如圖，在△48。中，/N3C和/NC3的平分線相交于點尸.

(1)若N48C+/NC8=130。，求/3PC的度數(shù).

(2)當(dāng)//為多少度時，/BPC=3/A?

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【變式5-1］如圖，AABC的/A8C和的角平分線BE和CF相交于點O,N/=60。，貝（I/20C的大

小為（）

【變式5-2】如圖，BE平分NABD,CF平分N4CD,BE與CF交于點G,若乙BDC=140°,Z.BGC=100°,則NA=

()

A.80°B.75°C.60°D.45°

【變式5-3】已知△4BC中，乙4=60。，在圖（1）中N4BC、N4CB的角平分線交于點?？趧t計算可得48。道=

120°；

（1）在圖（2）中，設(shè)〃BC、N4CB的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于01、02,得到48。2c則=；

（2）在圖（3）中請你猜想，當(dāng)NABC、N4CB同時〃等分時，（n-1）條等分角線分別對應(yīng)交于01、3…?！?，

則NBO「iC=（用含"的代數(shù)式表示）.

【題型6雙外角平分線模型】

【例6】如圖，NABD和4力CE是△力BC的夕卜角，BF和CG分另I」是NABD和N4CE的角平分線，延長FB和GC交于

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點、H.設(shè)Z■力=a,/-H=0,貝！la與0之間的數(shù)量關(guān)系為

H

【變式6-1】在△ABC中，乙4BC的平分線與乙4cB的平分線相交于點P.N4BC的外角平分線與乙4cB的外角

平分線相交于點0，當(dāng)NQ=65。，則NBPC=

0

【變式6-2］如圖，EG,尸G分別是NMEF和4NFE的角平分線，交點是G,BP,CP分別是NM8C和NNCB的角

平分線，交點是P,F,C在4V上，B,E在AM上，若NG=69。，那么NP=.

【變式6-3］如圖，AD,BD分另IJ是△4BC的夕卜角NBAF,N4BG的角平分線；AE,BE分另I」是4ABD

的角平分線；AM,BN分另I」是N凡4D,NDBG的角平分線.當(dāng)NC=()時，AM\\BN.

C.60°D.120°

【題型7內(nèi)外角平分線模型】

【例7】如圖，點。為△ABC邊BC的延長線上一點，若NA"8C=3:4,N4CD=140°,N4BC的角平分線

與乙4CD的角平分線交于點貝此M=度.

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【變式7-1】如圖，乙48。=乙4。8,AD.BD、CD分別平分N￡NC、Z71BC和NHCF.以下結(jié)論：?AD\\BC；

②乙ACB=2LADB；③DB平分“DC；@AADC=90°-^ABD.其中正確的結(jié)論有.（填序號）

【變式7-2］如圖，點B、C分別在力M、AN上運動（不與2重合），CD是N8CN的平分線，CD的反向延長線

交Z71BC的平分線于點P.知道下列哪個條件①乙48C+NHC8；②乙4；③乙NCD—乙ABP；④Z71BC的值，不

C.③D.@

【變式7-3］如圖，在△ABC中，"=48。，△4BC的內(nèi)角N4BC與外角乙4CD的平分線相交于點力1，得到乙餐；

N&BC與N&CC的平分線相交于點&，得到乙42；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，441TBe與乙4「iC。的平分線相

交于點4”要使立4的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值為（）

C.5D.6

1.如圖，已知在△ABC中，乙4=40。，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)

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過點8C,直角頂點。落在△ABC的內(nèi)部，則乙4BD+N4CD=（）.

C.50°D.40°

2.如圖，在中，AE^^BAC,于點。.乙48。的角平分線BF所在直線與射線ZE相交于點G,

若=且NG=20。，貝!的度數(shù)為（）

C.60°D.65°

3.如圖，已知乙4=60。/8=40。,乙。=30。，則乙。+乙￡等于（）

B.40°C.50°D.60°

4.小明把一副含45。，30。的直角三角板如圖擺放，其中NC=4F=90。，AD=30°,貝此a+4?等于（)

C.360°D.270°

5.在三角形紙片4BC中，乙4=90。，/。=22。，點。為ZC邊上靠近點。處一定點，點E為邊上一動點,

沿DE折疊三角形紙片，點。落在點C處.有以下四個結(jié)論:

①如圖1,當(dāng)點C落在5c邊上時，乙4。底=44。；

②如圖2,當(dāng)點C落在△/BC內(nèi)部時，乙4DC'+NBEC'=44。；

③如圖3,當(dāng)點C'落在△Z5C上方時，ZBEC，-Z71PC，=44O；

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④當(dāng)C'EIIAB時，NCDE=34?；騈CDE=124。，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊力B、4C上，如果乙4=60。，那么N1+N2的大小為.

7.如圖，4D,CE者B是△力BC的角平分線，且交于點0,ND4C=30°,^ECA=35°,則NAB。的度數(shù)為

8.如圖，四邊形A80C中，4B4C與NBOC的角平分線相交于點P,若乙8=16。,NC=42。，則4P=1

9.如圖，NH+NB+NC+ND+Z_E+4F=—度.

10.如圖，在△4BC中，力。是BC邊上的高，力￡8尸分別是NB4C和NABC的角平分線，它們相交于點。/月。B=

125。.求NCAD的度數(shù).

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11.(1)如圖1,這是一個五角星力BCDE,求乙4+乙8+/。+4。+/￡1的度數(shù).

(2)如圖2,如果點2向右移動到AC上，直接寫出NA+/。85+4。+4。+2后的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點2向右移動到4C的另一側(cè)時，直接寫出N^+ADBE+NC+AD+NE的度數(shù).

(4)如圖4,求N4+NB+NC+ND+NE+NF的度數(shù).

12.我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1,AD,BC相交于點0,連接力B,

CD得至『'8"字圖形力BDC.

(1)如圖1,試說明N4+NB=NC+AD的理由；

(2)如圖2,41BC和乙4DC的平分線相交于點E,利用(1)中的結(jié)論探索NE與〃、NC間的關(guān)系；

(3)如圖3,點E為CD延長線上一點，BQ、DP分另U是NABC、N/WE的四等分線，且N