江蘇省泗陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

I.下列命題正確的是()

A,單位向量均相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.模為零的向量與任一向量平行

D.模相等的兩個(gè)共線向量是相同的向量

【答案】C

【解析】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际?，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：零向量。它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C：模為。的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故C正確；

對(duì)于D：模相等的兩個(gè)共淺向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.在△48。中，若a=2,b=yj2"1=一，則B=()

4

冗cK八5TT八不15〃

A.-B.一C.—D.一或一

64666

【答案】A

2_N^2

【解析】由正弦定理有‘一=一21

所以Sin8'smZ?,

smAsinBsin—2

4

又因?yàn)锳>8,故8=選A.

6

3.已知夕€(],兀)，35

若sin(a+/?)=《，cos/7=--,貝Isina的值為

()

16,33c5663

C.—D.—

65656565

【答案】B

【解析】sincr=sin(?+/7-^)=sin(tz+/7)cos^-cos(6z+^)sin/7.

口里、

々兀

因aw^0,—，Be不，兀

則a+尸￡，又sin(a+/?)>0,

IZ/UT>

嗚412

則a+夕Tncos(a+/?)=--,又$布￡=可.

故選：B

4.被譽(yù)為“蘇北黃鶴樓”的泗水閣位于泗陽(yáng)運(yùn)河風(fēng)光帶上，建成于2012年，建筑面積約

5800平方米，是四面五層仿唐漢風(fēng)格的建筑.某同學(xué)為測(cè)量泗水閣的高度MN,在泗水閣

旁邊找到一座建筑物高約為28m,在底面上的點(diǎn)。處（8，C,N三點(diǎn)共線）測(cè)

得建筑物頂部A,泗水閣頂部M的仰角分別為30。和45。，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角

為15。，則泗水閣的高度約為（）

D.60m

【答案】C

【解析】在RtZ\ABC中，ZACB=30°，所以AC=2A8=56,

在AMCA中，ZA/C4=180°-45°-30°=105°,ZMAC=150+30°=45°,

則ZAMC=180°-ZAMC-ZMAC=30°,

MCJ即*56

由正弦定理得，解得MC=56及，

sin/MACsinZAMCsin45°sin30°

在Rb^MNC中，M^=56\/2x—=56m.

2

故選：C.

5.四邊形A8CO是正方形，E是A8的中點(diǎn),戶是邊BC上的一點(diǎn)，且BC=3BF,連

接AF與DE交于點(diǎn)M,則cosZ.EMF=()

ACB亞r6

r\,-----L.----

101010DE

【答案】B

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A民AO所在直線分別為X），軸，建立平間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0）,￡仔0）,。（0,3）,尸（3,1）,

設(shè)正方形A8CO的邊長(zhǎng)為3,

故A/=（3』），。后二（|,一3

Tp.nE2一3JZ

所以cosZ.EMF=--j-j~-=-----=--——『=—.

網(wǎng)'I岷'10

ak

6.在V4BC中，。是邊BC上的點(diǎn)，DC=5,AB=—,ZABC=45°,

2

ZAZW=60。，則AC的長(zhǎng)為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】B

【解析】如圖所示，

xsin45。

即《ABsinZABD9、

A[)—________________——__________=3

sinZADB~sin60°

因?yàn)閆AO8=60°,可得NAZX7=I20。，且DC=5,

在AACO中，由余弦定理得：

'I、

AC2=AD2+CD2-2ADCDcos\200=9+25-2x3x5x\——=49,所以AC=7.

k2,

故選：B.

7.圖中正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,圓。的半徑為5,正方形的中心與圓的圓心重合，動(dòng)點(diǎn)

。在圓上，則P4.PC的值為（）

9.以下正確的有（）

A.sin10°cos20°cos40°=—

4

B.sin50°(l+x/3tanl0o)=l

C.函數(shù)/(工)=8$21+2省5也大<：051一0也2工的最大誼為2

2cosl00-sin20o_/r

D.

cos200

【答案】BCD

2sin1()。cos1()。cos2()。cos4()。

【解析】對(duì)于A,sin10°cos20°cos40°=

2cos10°

sin20°cos20°cos40°_2sin20°cos20°cos40°_sin40°cos40°

2cos10°―22cos10°22cos10°

2sin40。8s40。_sin80。_sin(90。-10。)_cos10。_J_

故A錯(cuò)誤;

23cos10°-23cos10°-23cos10°-23cos10°-8

對(duì)于B,sin5O°(l+>/3tan10°)=sin50°xcoslORAn10。

1)cos10°

(x巧\

2-coslO°+—sinlO°

t222cos(6()。一10。)

=sin50°x—----------------------------匕=sin50°x--------------------2

cos10°cos10°

2sin50。cos50。_sin100。

故B正確;

cos10°cos10°

對(duì)于C,/(x)=cos2x+2\/3sinxcosx-sin2x=cos2x+>/3sin2x

Ji)6

=2—cos2x+——sin2x=2sinI2x+—<2,

I22)V6>

當(dāng)且僅當(dāng)sin+￡=1時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)/（x）的最大值為2,故C正確;

I07

對(duì)「D2cos10。-sin20。=2cos(30。-20。)-sin20。

cos20°cos20°

2cos30。cos20。+2sin30。sin20。一sin20。黑薩S故Dim

cos20°

故選：BCD.

10.V48C的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若sinA>sin3,則A>6

B.-^=上；■，則AABC為等腰三角形

cosBcosA

C.A=60。，u=15,b=16,則▲ABC有兩解

D.若tanA+tan3+tanC>0,則▲ABC可以是鈍角三角形

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閟inA>sin8,所以由正弦定理可得，乂大邊對(duì)大角，則A>4,

故A正確；

?,222

對(duì)于B,由一--=-----,得acos4=/?cos3,所以由余弦定理得-

cosBcosA2bc

=b""f，所以。2(從+《2一。2)=。232+02一從),得°2c2一一/,

lac

222422222222

所以c(a-b)=a-lf=(a+b)(a-b)f所以(a-b)("+b-c)=0t

所以/=/或a2+〃=c2,所以V4BC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,過(guò)C作CO_LA8于點(diǎn)。，則CO=bsinA=16xY3=8G，

2

因?yàn)?<a<〃，所以AABC有兩解，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閠an（因+8）=；"」；<巾:,tanC=tan（兀-A-8）=-tan（A+8）,

所以tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（l-tanAtanB）-tan（A+^）=tanAtanBtanC>0,

因?yàn)锳,民Cw(0,兀)，且A8,C不可能有兩個(gè)鈍角，所以tanA>,tan3>0,tanC>0,

所以AABC三個(gè)內(nèi)角均為銳角，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.下列說(shuō)法正確的有()

A.若|@|=|力I，則d=b或G=

B.已知q6不共線，若向量〃?=一￡］與向量〃=-2q+4共線，則實(shí)數(shù)攵二;

C.設(shè)4=(2,3),b=(6,t)，若。與。的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)，的取值范圍為

(T,9)U(9,+oo)

D.已知向量&與。的夾隹為120。，1。1=1,|〃|=3,則〃在。方向上的投影向量為

3

6

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,則只能得到兩向量模相等，不能得到向量共線，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因向量加與向量〃共線，則比=46=一61+左22=尤卜26+/)

-1=-221

.1=>k=~,故B正確;

k=A2

ab>0

對(duì)于C,因〃與力的夾角為銳角，則〃.〃>()且Q不平行于力，則，

18w2r

12+3/>0

=>r€(-4,9)u(9,+oo),故C正確;

18^2/

對(duì)于D,4在〃方向上的投影向量為因(a-〃)?〃=a?〃-

391(a-bth7

=——9=一二，|切2=9,則---?^=一工人，故D正確.

22b6

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知sina+cosa=—，貝iJsin2a=

91

【答案】

4

【解析】因?yàn)閟ina+cosa=！，兩邊平方后,

2

sina+cosa)2=sin2cr+cos2cr+2sinacos<z=1+sin2a=—

J4

所以sin勿=-?.

4

3

故答案為：---

4

I—.—.—.m

13.E為VA3C所在平面內(nèi)的點(diǎn)，BA+—BC=3BE,若CE=mAB+nAC，則一二

2n

3

【答案】-1

【解析】由BA+，8C=3BE=3(BC+CE),

2

—?55-3—-5---

可得3CE=8A—：8C=—AB—](AC—48)=jAB—；4C,

35in3

因?yàn)??！?〃7748+〃/(7，所以〃7=；；,〃二一二，可得一=—1?

22n5

3

故答案：?

?J

14.在VA8C中，sin2^+2sin2A-sin2C=O.若tanB=xtanC,則實(shí)數(shù)x的值為

【答案】—g

【解析】利用正弦定理則sir^+ZsirA-sin2c=0可化簡(jiǎn)為從+2/-^=(),

mia~+b~-c~-a~a

則cosC=----------=----=----<(),

lablab2b

/\

因Cw(O,7T),則CE兀，則tanC/0,

因tan3=xtanC,則利用正弦定理和余弦定理有x=吧勺=加比。'。

tanCcosBsinC

,a1-vb1-c1.、

_?2ab_/+/_片+/?2―僅2+2/)_」

222222222,

ca+c-b-a+c-ba+1a^-b3a3

lac

故答案為：-!.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知向量〃=(2,0),〃=(1/),。=(1,一1).

(1)若(〃+/lb)_Lb,求實(shí)數(shù)4的值；

...x

(2)若(xa+y〃)//c,且乂丁為非零實(shí)數(shù)，求一的值.

(1)解：I大L為〃=(2,0),〃=.

可得(a+勸)=(2,0)+41,1)=(2+,

因?yàn)?a+，?)_L〃，所以3+/1〃)/=(2+人冗)?(1/)=2+2/1=0,解得尤=一1.

(2)解：因?yàn)椤?(2,0),力=(l』),c=(l,_l),

可得(xa+yb)=(2x,0)-(y,y)=(2x+y,y),

又因?yàn)?x〃+)為)//c,所以2x+y+y=0,可得2x=-2y,

因?yàn)閤，），為非零實(shí)數(shù)，所以±=T.

y

16.已知aw］。,］）,tana=；,tan（a—夕）=一8—5G.

（1）求cos2a的值;

（2）求2a-尸的值.

］?1

解：（l）因?yàn)?。￡?,乙），tana=一，所以任2=一

22cosa2

又因?yàn)閟in?a+cos2a=I，所以sina=立，cosa=

55

23

所以cos2a=l-2sin?a=1--=-

7T7T

（2）因?yàn)椤！辏?,一），￡￡（一,兀），所以一〃￡（一兀,一；），所以。一夕￡（一兀。）

222

又因?yàn)閠an(a—〃)=—8—5\/5,所以去。)，2a一4w(—耳,/),

因?yàn)閠an(a—0=—8—5"

—小八、c、rtana+tan(a-Z?)

所以tan(2?一。)=tanr[?+(。―/?)]=---------------—

l-tantztan(a-p)

，-8-56---5A/3

=------『=---廠=-V3

]+4+亞5+述

22

因?yàn)榧右幌Α?一三,三),所以2a=_二

3

17.設(shè)V4BC的內(nèi)角4,從。的對(duì)邊分別為"，b,c,。是邊8C的中點(diǎn)，VAAC的面

積為1?且（。+Gc）sinB-{a+c）（sinA-sinC）.

（1）求A；

(2)求AB(D4+Q8)的值.

解：(1)因?yàn)?/?+百c)sin8=(a+c)(sinA-sinC),

所以由正弦定理得S+#>c)b=(a+c)(a-c)=a2-c

所以+/-/=-gbc，

KU廳+C~_Q~-y/3bc5/3

所以COSA=-----------=-------=-----，

2hc2hc2

因?yàn)锳e(0,7i),所以A=^

6

(2)因?yàn)锳B?(OA+OB)=A8?[—；(A3+AC)+g(A8—AC)],

=AB-(-AC)=-AB-AC=-becosA=c，

,/S=—/?csinA=—bc=\,:.be=4，

AHf<i-C24

AB?（QA+DB）=—bc=26.

2

18.某校為拓展學(xué)生社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，擬建造一個(gè)四邊形的實(shí)踐基地，如圖，在四邊形

48CQ區(qū)域中，將△A3。區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，△8CO區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，邊

AB,BC,CD,0A修建觀賞步道，邊30修建隔離防護(hù)欄，其中A3=200米,

7T

40=400米，。二一.燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為40000平方米的實(shí)踐性區(qū)域.

3

（1）需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄？

（2）若要使花卉觀賞區(qū)的面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道?

解：（1）因?yàn)锳8=200m,AD=400m，三角形面積為40000m2，

所以S、加)=->4BM￡)sin/l=-x200x400sinA=40000,

/.sinA=L而4e(0,m,...A=J

2

/.BD=VAB2+AD2=>/40000+160000=200后，

所以需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄200石米.

2n

(2)由(1)知8。=200&，設(shè)N8DC=a,?！?,

在△BCD"由正弦定理得:

BCCDBD200行4(X)x/15

sina2兀.兀x/33

sin--asin—2LL

332

所以BC二幽叵sina，3皿sin("

a

333

花卉觀賞區(qū)的面枳為:

5cCC，?空巫?竺亞…2兀.兀

=a-sin—

SABCD5

233T)3

20000073..27120000073.1

---------sinasm----asina——5cosa+一sina

3)322

.-1一cos2a］二2。。。006使而2””亥+U

sin2a+---------

43444

遜述健sin2a」c°s2a+100000V3

3122236J3

(A2吟71兀7兀)

因叫。，小,則2a一：c

666;

則當(dāng)sin2。一?=1,即a='兀時(shí)，SAB點(diǎn)取值最大,

k6J33

最大值SABCD=50000,止匕時(shí)BC=BD=2006

故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大，應(yīng)使觀賞步道BC=BD=200有米.

19.設(shè)$48。的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為。，b,c,。是邊3C的中點(diǎn)，AD=

兀

(1)若人=一，求二48C面積的最大值;

3

若LABC的面積為26，且NAO3=1,求sinB的值;

(3)若8c=4,求cos/6AC的取值范圍.

解：（1）因?yàn)椤?C邊的中點(diǎn)，AD=1.

-----?|■,--2