空間向量與立體幾何：空間向量法與空間位置關(guān)系問題、空間角度問題、

空間距離問題復(fù)習(xí)講義

考點一空間向量法與空間位置關(guān)系問題

【知識點解析】

1.平面的法向量的求解：已知平面ABC,且4(菁,乂,4)、B(x2,y2,z2)>C(x3,y3,z3)

(1)表示平面ABC中兩條相交直線所形成的向量.

(2)設(shè)根=(x,y,z)為平面ABC的一個法向量.

(3)利用法向量與平面ABC的所有直線垂直列方程.

(4)賦值求解法向量.

2.空間向量與空間位置關(guān)系

空間位置關(guān)系向量表示

線線平行：ABI/CDAB//CD

線面平行：AB//面CDEA3上面CD均勺法向量

面面平行：面ABC//面DEF面ABCfi勺法向量//面的法向量

線線垂直：ABLCDAB1CD

線面垂直：AB_L面CDEAB//面CQE的法向量

面面垂直：面■面￡)￡尸面AB。的法向量±面DEF的法向量

【例題分析】

1.(24-25高二下?上海楊浦?期末)在空間直角坐標(biāo)系中，d=(L2,-1)是直線/的一個方向向量，〃=(21,-2)是平面

。的一個法向量.若/_La,則/=()

A.4B.-4C.2D.-2

2.（24-25高二下?江蘇常州?期中）若平面a,4的法向量分別為a=（2,-1,0）,6=（1,2,1）,則a與夕的位置關(guān)系是

（）

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.無法確定

3.（24-25高二下?上海寶山?期末）已知平面。的法向量為“=（l,2,-l）,AB=（2,4-2）,則直線AB和平面a的位置關(guān)

系是（）

A.ABlaB.AB//aC.ABczaD.AB與a相交但不垂直

4.（2025?江西新余?模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，尸為其內(nèi)一點，4（1,1,2）,3（-2』,0）,平面的，

平面。鉆，則平面的一個法向量可以為：（）.

A.（-5,24,21）B.（-6,10,9）C.（-7,11,13）D.（-8,13,12）

5.（24-25高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)?多選）下列給出的命題正確的是（）

A.若｛。,仇c｝為空間的一組基底，則｛a+6,6+c,c-a｝也是空間的一組基底

1一_.2

B.點尸為平面A3C上的一點，^.OP=-OA+xOB+yOC（x,yeR）,則=§

C.若直線/的方向向量為“=（1,1,0）,平面a的法向量貝U//e或/ua

U

D.兩個不重合的平面見6的法向量分別是“=（-1,1,1）,相=（1,1,0），則力

6.（24-25高二下?江西?期末?多選）給出下列四個命題，其中是真命題的有（）

A.若點共面，則存在實數(shù)使得AD=XAB+〃AC

B.若m=（2兒-I）,"=（-1,2,2）分別為平面a,6的法向量，且a,尸，貝必=2

C.若a=（x,T,T）,6=（T,2,y）分別為平面a,尸的法向量，且a〃月，則x+y、

D.若4（0,0,0）,3（1,0,0）,。（0,0,1）,。（0,1,1）,則直線AD,3c所成的角為；

7.（24-25高二上?天津?期中）已知直線/的方向向量"=（L3,-2）,平面a的法向量U=（4，%1）,若/_La,則4+4

的值等于^.

8.（24-25高二下?河南商丘?期末）己知平面。的法向量為加=（2,3,5）,直線/在平面a外，且方向向量

則直線/與平面a的位置關(guān)系為.

9.（2024?江蘇淮安?模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-A用G中，AB=2,朋=3,點。為BC的中點，點尸為CQ

上一點.

（1）若平面B4GC平面Q4G=直線/,求證：A.BHI.

（2）當(dāng)平面APQ，平面AP耳時，求CP的長度.

10.（24-25高二上?福建廈門?期中）如圖，等邊三角形ABC與直角梯形A5DE所在的平面垂直，

BD//AE,BD=2AE,AE1AB.

（1）若P為C。的中點，求證：￡F_L平面BCD；

AN

⑵在線段AC上是否存在點N,使CD〃平面3E7V?若存在，求行的值；若不存在，請說明理由.

11.（24-25高二上?廣東廣州?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL^ABCD,ABDC,DA±AB,AB=AP=2,

2

ZM=OC=1,E為PC上一點，且=（請用空間向量法予以證明）

（1）求證：平面P8C；

⑵求證：PA//平面BOE.

12.(24-25高二上?天津?期中)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，24,底面ABC。，E是PC的

中點，已知鉆=2,24=2.

⑴求證：AE.LPD；

(2)求證：平面PBD_L平面PAC.

BC

考點二空間向量法與空間角度問題

【知識點解析】

1.空間向量與空間角度問題

空間角度問題向量表示

若求直線與直線CD所稱之角

(1)表示A、B、C、。四點的坐標(biāo).

異面直線所成之角(線線角)

(2)表示與CD.

cos（A3,CO）=1AB-CD\

(3)記直線A3、CD所成之角為。，cos6=

4BCD

若求直線AB與平面CDE所成之角

(1)表示A、B、C、D、E五點的坐標(biāo).

(2)表示AB與平面CDE兩條相交直線所形成的向量.

直線與平面所成之角(線面角)

(3)設(shè)平面CDE的一個法向量為機(jī)=(無,％z),利用法向量與平面CDE的所

有直線垂直列方程，賦值求解.

ABr1

(4)記直線與平面CDE所成之角為6,sin0=cosAB,in^--

AB-n

若求平面ABC與平面DEF所成之角

(1)表示A、B、C、D、E、/五點的坐標(biāo).

(2)分別表示平面ABC與平面DEF兩條相交直線所形成的向量.

平面與平面所成之角(二面角)

(3)設(shè)平面AfiC的一個法向量為m=(尤,％z),利用法向量與平面ABC1勺所

有直線垂直列方程，賦值求解，同理求平面Q印的一個法向量”

|m-n|

⑷記平面ABC與平面DEF所成之角為6,cos。=卜。5(m,“，=

m?n

【例題分析】

1.（24-25高二下?福建廈門?期末）在正四面體ABC。中，3AE=AB,則直線CE與直線AD所成角的余弦值為（）

A.2B.克C.-ID.且

3377

2.（24-25高一下?河北承德?期末）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱AB。-A耳G2,其中底面A2CD是正方

形，CG=C。=4,NC'CB=ZC.CZ）=60°,則直線AQ與ADt所成角的余弦值為（)

rV5八拒

A.\_z.-------1_Z.------

10lo-52

3.（24-25高二下?河南開封?期末）在正方體ABC。-A瓦GR,中，E是AD的中點，則CE與平面ABE所成角的正

弦值為（）

4.（24-25高二下?安徽亳州?期末?多選）在長方體438-4與￡2中，AB=2,AD=AAi=l,則（）

A.cosZD.AC=—

110

2

B.平面A。。1與底面ABC。夾角的余弦值為］

C.直線AO與平面ACR所成角的余弦值為:

2

D.點4到平面AC2的距離為］

5.（24-25高二下?福建漳州?期末?多選）如圖，正方體ABCD-4用弓2的棱長為1,下列說法正確的是（）

A.直線AQ與AG所成的角為60°

B.直線AG與平面A41A。所成角的余弦值為好

3

c?點4到平面AG2的距離為當(dāng)

D.二面角R-AB-C的大小為60°

6.（2025?湖南?三模）如圖1,已知球。的半徑R=?.在球。的內(nèi)接三棱錐。-ABC中.，平面ABC,AC,3C,

AC=y[2BC，BD=遙.P,。分別為線段AC,8c的中點，G為線段8。上一點（不與點8重合），如圖2.則平

面08c與平面GPQ夾角的余弦值的最大值為

7.（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測）如圖，在正方體ABC。-A4GR中，點及尸,G分別在棱AA-上，E

為AA1的中點，DA=3DF,2G=3RG,記平面EFG與平面A4CD的交線為小.則直線機(jī)與平面A5CD所成

角的正切值為.

8.（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐E-ABCD中，EALnABCD,AD//BC,ZABC^90°,AD=2,

EA=AB=BC=1.

(1)證明：平面E4C_L平面ECD；

⑵若點/在側(cè)棱EC上，EF=2FC,求平面與平面皿(夾角的余弦值.

9.(2025?陜西漢中?模擬預(yù)測)如圖1,在矩形中，AD=2AB=2,P是BC的中點，連接AP,將_乃45沿直

線AP翻折，使得平面平面APC。(如圖2),連接BC,BD,。是棱5D的中點.

⑴證明：AB_L平面尸5￡)；

(2)證明：CQ〃平面R4B；

(3)求直線PQ和平面PBC所成角的正弦值.

圖1圖2

10.（2025?河北?模擬預(yù)測）等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=AD=DC=2,BC=4,沿對角線AC將△ZMC翻

折形成三棱錐尸-ABC（點。翻折到點尸的位置），點E、尸分別為棱AC,的中點.

⑴證明：AC_L平面尸EF；

（2）當(dāng)直線AB與直線PE成60。角時，求四棱錐尸-ABEE■的體積；

（3）在翻折過程中求平面R4B與平面PEF夾角余弦值的取值范圍.

CB

11.（2025?云南紅河?模擬預(yù)測）如圖1,等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=4,CD=6,瓦F分別為AB,CD的

中點，且EF=&,將梯形AEED沿翻折至梯形4跖2,使得平面平面跳FC,得到如圖2的多面體

ABERCF.

⑴證明：A，氏C，四點共面；

⑵在2c上取一點P,使得平面EEP,平面A8CQ,求平面跳P與平面跳FC夾角的余弦值.

AEEB

圖1圖2

12.（2025?北京?模擬預(yù)測）在如圖所示的多面體中，ABI/CD,四邊形ACFE■為矩形，AB=AE=1,AD=CD=2.

⑴求證：Z%//平面ME；

（2）AB±AD,平面AEDL平面ABC。，求直線￡）歹與平面5EF所成角的正弦值.

13.（24-25高三下?山西大同?期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,AB=^CD,ABLAD,E為棱PC的

中點，且

⑴證明：3E〃平面PAD；

（2）若PA=AD=1,PD=E，AB=1.求平面ABE與平面3EP夾角的余弦值.

P

>D

B

C

14.(24-25高三下?云南麗江?階段練習(xí))在三棱柱ABC-A瓦G中AC=懼==4,NA8C=90,NAAC=60.

⑴證明:平面AACCJ平面ABC.

(2)若BA=BC,求直線AG與平面AB4A所成角的正弦值.

15.(2025?云南玉溪?模擬預(yù)測)如圖，在多面體A8CDEE中，四邊形CDEF為正方形，AB//EF,AD=AE=BC=BF=3,

EF=2AB^.

⑴設(shè)平面AOEn平面BC7M,證明：U/CF-,

(2)直線。E上是否存在點G,使得平面ABG?若存在，確定點G的位置并說明理由；若不存在，請說明理由;

(3)若EG=ZED，Xe[0,l],求平面2FG與平面。上1夾角的余弦的取值范圍.

考點三空間向量法與空間距離問題

【知識點解析】

1.空間向量與空間距離問題

空間距離問題向量表示

若點尸為平面a外一點，點”為平面a內(nèi)任一點，平面a的法向量為九，

點到平面的距離

則d="尸.cosIMP,=\MP\-叱：=.

11x'11MP-n.

若點P為直線機(jī)外一點，M為直線加上一點，直線機(jī)的方向向量為加，

點到直線的距離

則公產(chǎn)甲

異面直線的距離

已知直線AB與CD為異面直線，與與CD均垂直的向量為〃，直線與

CD上各取一點形成加，d=M

《H

【例題分析】

1.（24-25高三上?上海楊浦?期末）已知空間中三點4（2,0,0）,*0,2,0）,C（2,2,2）,則點C到直線A3的距離為（）

A.2B.76C.述D.3

2

2.（24-25高二上?浙江杭州?期中）已知直線/經(jīng)過點A（2,3,1）,且〃=（1,2,1）是/的方向向量，則點P（4,3,2）至I]/的距

離為（）

A.邁B.-C.恒D.V14

2227

3.（24-25高二上?山東日照?期末）如圖所示，直四棱柱ABCD-4瓦。自底面ABCD是正方形，AB=2,9=4,M,N

分別是BC,CG的中點，則點C到平面4WN的距離為（）

D.逅

BX--.----

-I23

4.（24-25高二上?江蘇常州?期中）如圖，在棱長為2的正方體A3CO-ASCQ中，E為BC的中點，點P在線段

上，點P到直線A4的距離的最小值為（）

C.|A/5D.-A/5

5

5.（2025?山西?三模?多選）如圖，正方體ABCD-AAGD的棱長為2,E,尸分別是棱CQ和耳￡的中點.則（）

A.B.D±EF

B.平面4環(huán)與側(cè)面A4QQ的交線長為2后

2

C.點C到平面A//的距離為1

D.耳。與平面AE/所成角的余弦值為趙

9

6.（24-25高三下?安徽?階段練習(xí)?多選）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-ABCQ中，E,尸分別為線段。2,2目的

中點，則（）

A.點4到直線AE的距離為平

B.直線人用與直線所所成的角為:

2

C.點尸到平面人耳￡的距離為1

D.直線跖與平面4月￡所成角的正弦值為正

7.（2025?上海徐匯?二模）已知24,平面ABC,ABC是直角三角形，且AB=AC=2,PA=4,則點尸到直線8c

的距離是.

8.（24-25高三下?河北保定?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。是矩形，PD_L平面A2CD

PD=CO=1,點E是棱PC的中點，點尸是棱尸8上的一點，且現(xiàn)FPB.

（1）求證：PBLDF；

2

（2）若平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值為y,求點A到平面DBE的距離.

9.(2025?天津北辰?三模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，側(cè)棱尸￡＞，底面

■84。=。。=24。=4,后是尸。的中點，點尸是棱用上靠近2的四等分點.

⑴求證：R4//平面￡03；

(2)求直線BF與平面EDB所成角的正弦值；

⑶求點廠到直線的距離.

10.(2025?安徽六安?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABC。是菱形，AB=2,ZBAD60°,三角

形PAD是正三角形，〃是棱PC的中點.

⑴證明：BCYDM；

(2)若二面角尸-AD-8為60。，求點M到平面的距離.

AB

11.（2025?天津?二模）如圖，在直三棱柱ABC-AB|G中，AB=BBt=l,AC=BACLAB,。是棱A片的中

點，E是棱8C上一點，且。

⑴求證：BC=8BE；

⑵求平面ADE與平面ACGA的夾角的大小;

⑶求點C到直線OE的距離.

12.（2025?天津河西?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底面A8C。是矩形，點E在棱尸C上（異于點P,C）,

平面ABE與棱PD交于點F.

⑴求證：AB//EF-

（2）若AFJ_￡F,求證：

⑴平面24。_L平面ABCD

旬若B1=PD=AB=3,PF=；PD,直線尸8與平面ABC。所成角的正切值為胃，求點C到平面ABE的距離.

AB

高考真題演練

1.（2025?全國一卷?高考真題?多選）在正三棱柱A8C-A4G中，。為BC中點，則（）

A.ADVA.CB.BC_L平面

C.AD11%B\D.CG〃平面

2.（2024?新課標(biāo)II卷?高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5#）,ZADC=90°,ZBAD=30",

21

點E,F^^AE=-AD,AF=-AB,將△AEF沿跖翻折至！PEF,使得PC=4壞.

⑴證明：EF±PD；

（2）求平面PCQ與平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

3.（2024?天津?高考真題）如圖，在四棱柱A8CD-ABCQ中，平面AB。，AB1AD,AB//DC,

AB=AAI=2,AD=DC=1.M,N分別為￡>2用￡的中點,

⑴求證：A