第6講函數(shù)的概念及其表示---2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)

習(xí)基礎(chǔ)梳理__________________________________________

■第6講函數(shù)的概念及其表示

------------------------屯知識點(diǎn)目鼠/---------------------------

【知識點(diǎn)1】函數(shù)的概念.................................................................2

【知識點(diǎn)2】函數(shù)的解析式...............................................................3

【知識點(diǎn)3】分段函數(shù)...................................................................4

-------------------------?基礎(chǔ)知識/----------------------------

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)人8是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合＞1中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系尸，在集合一中都有唯一確定的數(shù)。和它對應(yīng),那么就稱尸：4T8為從集合彳到集合8的

一個(gè)函數(shù)，記作y=F(x),xEA.

2.函數(shù)的三要素

⑴函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致.即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相

同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)

稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論】

1.直線x=a與函數(shù)y=尸(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

2.在函數(shù)的定義中，非空實(shí)數(shù)集4B,彳即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?的子集.

3.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函款.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

第1頁共5頁

康知識點(diǎn)1/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)1】函數(shù)的概念

函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法

⑴函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①4夕是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合力中的每個(gè)元素在第二個(gè)

集合8中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng).

⑵兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù).

典型例題

【例1】(2025?五華區(qū)校級模擬)已知集合力=(0,4)8=(-2,2),下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成函數(shù)的

是1)

2

A.ABfy=x-2B.AtB,y=log,xC.BtA,y=x

D.BTA,y=

【例2】(2023?青羊區(qū)校級模擬)給出下列4個(gè)函數(shù)，其中對于任意xcR均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB./'(sin3x)=F+/+工

C.f(x2+2)=\x+2\D./(f+4x)=|x+2|

【例3】(2025?廣東模擬)函數(shù)卜=上+6萬的定義域?yàn)?)

x-3

A.(-00,3)53,+<?)B.[1,3)53,+oo)

C.[1,+00)D.[3,+<?)

【例4】(2025?揚(yáng)州校級模擬)已知函數(shù))，=/(不)的定義域?yàn)閇0,I],則函數(shù)^=①也的定義

2xI1

第2頁共5頁

域?yàn)?）

A.[I,2]B,[-1,0]

C.D.（T,-；）U（-；，。）

【例5】（2025?泉州模擬）函數(shù)/（x）-2*+4的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,1]B.[0,+8）C.（l,+oo）D.[1,+oo）

.知識點(diǎn)2/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)2】函數(shù)的解析式

函數(shù)解析式的求法

⑴配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.

典型例題

【例6】(2025?臺灣四模)若/(x)為二次函數(shù)且/(0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,則/(x)的解析

式為__/(x)=x2-x+3__.

【例7】(2025?重慶模擬)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)./(X)滿足：Vx,yeR都有f(x+f(y))=f(f(x))+y

比/(0)=〃(〃為常數(shù))，則函數(shù)/(x)=_x+a_.

【例8】(2025?河北模擬)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(x-y)=f(A)f(v)+f(—-A)/(—-y),

44

且/(。)=1,試寫出一^個(gè)滿足上述條件的/(x)的解析式：_cos2x__.

【例9】(2025?昆明模擬)已知函數(shù)/(外是定義在A上的奇函數(shù)，且當(dāng)且僅當(dāng)x>0時(shí)，

第3頁共5頁

【例14】(2020?寶雞二模)若/⑶口而丁小①，則/[/⑶]=

l-2x(x>0)2

【例15】(2021?市中區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(》)=?二：，；；，”“，數(shù)列%滿足

)=/(〃)(〃￡”),且凡是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2,3)_.

第5頁共5頁

第6講函數(shù)的概念及其表示

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?南京模擬）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

A./"）=/與8（X）=。+1）2B.八工）=匚^與=

C.y（x）=土與g（x）=二D./（.X）=y/x+3->lx-3與g（x）=-9

XX

2.（2023?廣西模擬）函數(shù)/（x）=0的定義域是（）

A.{x|x<1}B.{x\x?1}C.{x|x>1}D.{x|x..1）

3.（2025?黃岡二模）已知函數(shù)/ax/的定義域力1R，值域8={9},則滿足條

件的/?。┯校ǎ?/p>

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3人D.4個(gè)

4.（2025?濰坊模擬）已知〃>0且，與x成正比例關(guān)系，其圖象如圖所示,

5.（2025?日照二模）已知函數(shù)中）=［，-3g+5。,工<1的值域?yàn)椤?，則實(shí)數(shù)〃的

logsx,x>1

取值范圍是（）

A.B.（-；）C.［；,+功D.［-。

6.（2025?福建模擬）存在函數(shù)/（x）滿足：對任意xcR都有（）

A./(x2)=xB./(sin.r)=xC.f(ex+e-x)=xD.J\ex-e-x)=x

7.（2025?惠東縣模擬）把函數(shù)y=bi（x+1）的圖象按句量而=（2,0）平移,得到），=/（x）

的圖象，貝lj/(x)=(）

A.In(x-l)B./〃(x+3)C.ln(x+1)+2D.ln(x+1)-2

8.(2024?衡陽縣模擬)新高考改革后，生物，化學(xué)，政治，地理采取賦分制度:

原始分排名前5%-3%的同學(xué)賦分95-97分.若原始分的最大值為a,最小值為

b,令/(x)為滿足/(a)=97,/(b)=95的一次函數(shù).對于原始分為x,(b.x.a)

的學(xué)生，將"X)的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分96,賦分97；

小葉原始分81,賦分95；小林原始分89,他的賦分是()

A.95B.96C.97D.96或97

9.(2025?焦作三模)已知函數(shù)的部分圖象如下，則“X)的解析式可能為(

)

AA.——+.1Br>.s—in—x+,1

x2+1x24-I

CCOS2XDCOSX

?x2+1X2+I

10.（2025?山海關(guān)區(qū)模擬）已知函數(shù)/（x）=|sinx|+|cosx|-2L智i,則/（x）的值

1+tan-x

域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[V2-l,l]B.[1,V2+1]C.[I,V2]D.[9刀

二.多選題（共4小題）

（多選）11.（2024?瓊海模擬）已知函數(shù)〃x）的定義域和值域均為｛X|XH0,

xeR},對于任意非零實(shí)數(shù)x,y,x+尸0,函數(shù)/⑴滿足：

〃x+p)(/(x)+/G))=/(x)/(y)，且/(外在(—,0)上單調(diào)遞減，/(1)=1,則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是(）

A./（1）=2

20231

B.￡/(-)=22023-2

2

C./(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減

D.“X)為奇函數(shù)

(多選)12.(2025?長沙模擬)己知八0且"八則函數(shù)/(x)=e'-R△的圖象可

m,n(m<n)?使

得/(0在區(qū)間［m,網(wǎng)上的值域?yàn)椋?%3"］,貝1」()

A./的取值范圍是(0,a)B./的取值范圍是(-co,—)

36

之1

C.32<—D.9m+9fl>—

1881

(多選)14.(2024?福州模擬)定義在R上的函數(shù)/⑴的值域?yàn)?-8,0),且

f(2x)+f(x+y)f(x-y)=0,貝I」()

A-/(0)=-1B.f(4)+[f(1)]2=0

C./(x)/(-.r)=lD?/(.t)+/(-x)?-2

三.填空題(共4小題)

15.(2025?湖北模擬)若函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(1,1),則函數(shù)/(4-幻的圖象一

定經(jīng)過點(diǎn)

x2,x>\

16.(2025?松江區(qū)三模)已知函數(shù)/(x)=4，則/(x)的值域?yàn)開___.

x+—5,0<x<1

x

17.(2025?普陀區(qū)三模)函數(shù))，=x)的定義域是.

18.(2023?大連模擬)己知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(I+x)=/(3-幻，則f(x)

的一個(gè)解析式為/(x)=—.

四.解答題(共6小題)

19.(2025?泯陽縣開學(xué))1

(1)畫出/(x)的圖象；

(2)若/(X)...—?求xfl勺范圍；

4

(3)求/(幻的值域.

20.(2025春?清遠(yuǎn)期中)求下列函數(shù)的解析式.

(1)/(x+l)=x2-2.r+3；

(2)/(x)是一次函數(shù)，且滿足〃/a))=25x+12.

21.(2024秋?哈爾濱期末)已知函數(shù)〃幻=0-是定義在〃上的奇函數(shù)

3+b

(a>0,b>0).

(I)求/(x)的解析式；

(II)求當(dāng)xe[0,1]時(shí),函數(shù)ga)=/a)G+l)+9*-l的值域.

22.(2024秋?江西月考)已知函數(shù)/⑴=21函數(shù)g(.r)與函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直

線y=x對稱.

(1)求g(x)的解析式;

(2)求函數(shù)h(x)=[g(x)F-6g(x)+12在區(qū)間(2,16)內(nèi)的值域.

23.(2025春?訥河市期中)(1)已知/(x)-2/d)=3x+2,求/(》)的表達(dá)式；

（2）已知奇函數(shù)人幻的定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)/⑴的

解析式.

24.（2025春?清遠(yuǎn)期中）如圖,定義在［T,+00）上的函數(shù)〃x）的圖象由一條線

段及拋物線的一部分組成.

（1）求/（/（4））的值及/（X）的解析式;

答案

一.選擇題(共10小題)

題號12345678910

答案CDCBDDADCA

二.多選題(共4小題)

題號11121314

答案BCBCDACACD

一.選擇題(共10小題)

1.【答案】C

【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是同一函

數(shù).

【解答】解：對于力，/(.￥)=x2,xe7?,g(x)=(x+1)?,xeR,兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)

系不同，不是同一函數(shù)；

對于4,f(x)=V-X3=-Xy/-X,XG(-8,()],g(x)=Xy/-X,XG(-,0],兩函數(shù)

的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；

rI

對于C,/*(x)=-=l,.￥€(-00,0)0(0,4-oc),g(x)=—=1,xe(-oo,0)U(0,

XX

+8),兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；

對于。，f(x)=Vx+3-Vx-3=>lx2-9>xe[3,+8),g(x)=y/x2-9,x€(-00,

-3JU[3,+oo),兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).

故選：C.

2.【分析】由題意可得X-L..0,解不等式可得函數(shù)的定義域.

【解答】解：由題意兀得L.0,

解不等式可得"1

所以函數(shù)的定義域是口，+8)

故選：D.

3.【答案】C

【分析】先計(jì)算/=9,得出x=±3,再根據(jù)函數(shù)的定義即可寫出所有符合條件的

函數(shù).

【解答】解：令/(x)=/=9,則》=±3,

則/(X)=X?，xe{3}；/(x)=A-2，xe{-3}；/(x)=x2,xe{-3,3}.

故選：C.

4.【答案】B

【分析】先設(shè)a「=云，根據(jù)2=hl,求出A,再根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，可

求a的值.

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?，與x成正比例關(guān)系，所以可設(shè)/=履，

又由函數(shù)的圖象，x=l時(shí)，〃'=2,

故2=hl,則*=2.

y

由a=2x,變形可得y=log“2x=logax+loga2,

又y=Iog“x+l,所以log“2=1,必Tfa=2.

故選：B.

5.【答案】D

【分析】由已知結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/"(外=卜九)》+5。戶<1的值域?yàn)榛穑?/p>

logsX,X^\

當(dāng)x...1時(shí)，/(X)=log5x..0>

故當(dāng)x<l時(shí)，/(x)=(l-3a)x+5a單調(diào)遞減，1-3a+5a...0,

1-3?>0

即解得-XT，

\+2a>0

故選：D.

6.【答案】D

【分析】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷得解.

【解答】解：對于力，取x=l得/(1)=1,取工=一1得/(1)=-1,矛盾，A

不是；

對于4,取x=0得/(0)=0,取x=乃得/(0)=萬，矛盾，4小是；

對于C,取x=l得%+小)=1,取x=-l得/(6+/)=-1,矛盾，C不是；

對于為R上的增函數(shù)，對任意都有唯一的4=e"-"廂滿足，

則存在函數(shù)/(x)滿足，。是.

故選：D.

7.【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則即可得出答案.

【解答】解：依題意，函數(shù)/(幻的圖象是由函數(shù),=例工+1)的圖象向右平移2個(gè)

單位而得到，

則f(x)=ln(x+1-2)=ln(x-1).

故選：A.

8.【答案】D

【分析［由題意設(shè)/(x)=〃?x+〃，再根據(jù)賦分原理，列出/(96)和/(81)的范圍，并

表示/(89),根據(jù)不等式，即可求解.

【解答】解：設(shè)/(X)=MC+〃,96.5,,/(96).97.4,94.5?/(81)?95.4,

o7

/(89)=89w+n=—(96/?+〃)+記(81用+〃)，

Q7ft7

??.—X96.5+—X94.5?/(89)?—x97.4+—x95.4,956/(89)w96.5.

.??賦分是96或97.

故選：D.

9.【答案】C

【分析】根據(jù)圖象分別判斷/(X)的奇偶性，零點(diǎn)以及特殊值，排除即可.

【解答】解：根據(jù)圖象可知，/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以“X)是偶函數(shù)，則

/(-x)=/(x),且函數(shù)/(x)過點(diǎn)弓,0),

對于人"一上爵*』警+“('),不為偶函數(shù),不符合題意,

sin1—.

對于力，/(—)=---—+1=———+1*0,不符合題意，

22

(1)+1才+4

對于。，當(dāng)生＜》＜四時(shí)，八幻=半土＜0,不符合題意，

22x2+\

對于C,滿足/(-x)=/(x),嗎)=0,以及緊丫咚時(shí)，f(x)＞0,符合圖象特

征.

故選：C.

10.【答案】A

【分析】先結(jié)合三角恒等變形對進(jìn)行化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)及二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

【解答】解：/(x)=|sinx|+|cosx|-'21tan：.sinx|+1cosx|-1sin2x|

1+tan-x

=Jl+|sin2x|-1sin2x|=Jl+|sin2x|-(1+1sin2x|)+1,

令f=Jl+|sin2x|,yi,向

則f(x)可化為?=￡-*+1=-?-%+I

24

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，V2-l＜y?l,

所以正.

故選：A.

二.多選題(共4小題)

11.【答案】BC

【分析】賦值法可判斷4,根據(jù)等比數(shù)列求和公式判斷8,利用奇偶函數(shù)的定義

及賦值法判斷C,由函數(shù)的特例可判斷。.

【解答】解：對于力,令》=歹=；,則2/⑴/(；)=[/(；)『,

因/(；)=0，故得/(；)=2八1)=2故力正確;

對于4，由/(x+y)(J(x)+/()，))=/(》)/()，)，

令”x，貝lj/(2x)=10^=；/(x),

則嗎)=/(2x擊)=?(擊),叩/(擊)=2嗎)，

故｛/(1)｝是以/(；)=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

于是Z/d)=()=22必_2,故8錯(cuò)誤；

上?21-2

對于。，由題意，函數(shù)/(4)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+oo),關(guān)于原點(diǎn)對稱,

/(x)/(-2x)①

令y=-2x則/(-x)=

J\x)+f(-2x)'

把x,歹都取成-x,可得/(-2幻=/(一：)/(一幻=上立②,

2/(-x)2

將②式代入①式，可律/(T)=

/?⑶+午2

化簡可得/(-x)=-/(文)，即/(x)為奇函數(shù)，故。正確;

對于C,?.?/(1)在(-8,0)上單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，可得/⑶在(0,+00)上單調(diào)

遞減，

但是不能判斷"X)在定義域上的單調(diào)性，例如/?(.<)=4，故C錯(cuò)誤.

X

故選：BC.

12.【答案】BCD

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號分析原函數(shù)的單調(diào)性與最

值，逐一判斷得答案.

【解答】解：由/(x)=e'-。/〃x,得/'(x)=e'-g,

x

,.,。>0且。工0,.,.當(dāng)0<a<e時(shí)，f(1)=e-a>0t當(dāng)x—>0時(shí)，f'[x)—>—co,

故存在與c(0,1),使得八x0)=0,

當(dāng)工€(0田)時(shí)，f(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xw(x(,,4<0)時(shí)，f\x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

則/(%)=1-。加％〉0，則函數(shù)/(x)=e'-H內(nèi)的圖象可能是6，不可能是4;

當(dāng)o〉e時(shí)，f(1)=e-a<0?當(dāng)xf+8時(shí)，f\x)->+oo,

故存在x.e(l,4-o),使得f\x.)=0,

當(dāng)xe(0,演)時(shí)，八x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)工€區(qū)，+8)0寸，八i)>0,/(x)單調(diào)遞增，

fX}X|

則/(xj=e"_a!nxx,?/J(x})=0,a=xie,則f(xy)=e(1-,

當(dāng)l—x〃歷>0時(shí)，/(x,)>0,故C正確；

當(dāng)1-."對<0時(shí)，/(%,)<0,故。正確.

故選：BCD.

13.【答案】AC

【分析】由題意可得〃?，〃是方程97+/=3、的兩個(gè)根，可得方程9f一歹+/=()有2

個(gè)不相等的正根3%3",利用一元二次方程根的分布得/所滿足的條件，求解可

判斷48,利用基本不等式計(jì)算可判斷。.

【解答】解：函數(shù)/(幻=9'"+’,若存在〃?，〃(〃?<〃)，使得/co在區(qū)間［加，〃］上

的值域?yàn)椋?%30］,

因?yàn)閒(x)在［m,〃］上單調(diào)遞增>

所以所以小，〃是方程9皿+”3、的兩個(gè)根，

/(w)=9ff+,+/=3B

設(shè)尸33則3*3”是方程9y2_?+/=0的兩個(gè)根，

因?yàn)?">3桁>0,所以9y27+f=0有2個(gè)不相等的正根3%3",

2

A=(-1)-4X9/>0

根據(jù)二次方程根的存在條件可得，3，"x3"=」>0,解得Ov<_L,故力正確,

936

3m+3"」>0

9

4錯(cuò)誤.

1_____僦+〃

由基木不等式，可得二3皿+3”>2斤斤-2x3亍，

9

M+71]

所以3亍〈工，故C正確；

18

91n+9“=(T)2+(3")2=(3"+3”了一2x3'"〃=(1)2-2xi=-L-y,

因?yàn)?</<_L,所以_L<_L—巨<_1,故。錯(cuò)誤.

3616281981

故選：AC.

14.【答案】ACD

【分析】由已知，利用賦值法分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：令x=y=O,則/(0)+/2(0)=0,

函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-*0),

.*./(0)=-1,選項(xiàng)力正琬；

令X=l,y=0,則/(2)=4/(1)]2,

令.1=2,歹=0,則/(4)=4/(2)]2=4/(1)]4,選項(xiàng)8錯(cuò)誤;

令x=0,貝IJ/(0)+/(y).f(-y)=0，

'-f(y)f(-y)=-/(o)=?，即/(x)f(-x)=i,選項(xiàng)c正確;

?.?一/(”>0，-y(-r)>o,

/(x)+f(-x)=-(-/(-x))]M-2,當(dāng)且僅當(dāng)〃x)=/(-x)時(shí)取等號,

：.f(x)+-2,故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

三.填空題(共4小題)

15.【答案】(3,1)

【分析】由/(1)=1，令4-x=l,解出x的值，即可.

【解答】解：由題意知，f(1)=1,

.,.令4-x=1,則x=3,

函數(shù)./'(4-x)的圖象過點(diǎn)(3,1).

故答案為：(3,1).

16.【答案】(0,+00).

【分析】結(jié)合二次函數(shù)及對勾函數(shù)單調(diào)性及分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

x2,x>i

【解答】解：因?yàn)?(%)=?4，

xH---5,0<x<1

X

當(dāng)X...1時(shí)，/(X)=X2...1,

當(dāng)Ovxvl時(shí)，/(x)=x+±-5單調(diào)遞減，故/(x)>0,

X

則/(4)的值域?yàn)?0,4-00).

故答案為：(0,4<C).

17.【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0且對數(shù)型函數(shù)的真數(shù)大于0聯(lián)立不

等式組求解x的取值集合得答案.

【解答】解：要使函數(shù)游意義，x應(yīng)滿足：

3-x>0fx<3

"，二?,，

/%(3-x).“0[3-工..1

解得X”2.

.??函數(shù)的定義域?yàn)?-8，2].

故答案為：(-00,2].

18.【答案】sin(-x)(答案不唯一).

4

【分析】根據(jù)已知條件可得到/(》)的周期為8,結(jié)合“X)為奇函數(shù)，所以可以考

慮三角函數(shù)"x)=sin(Lt)(答案不唯一).

4

【解答】解：???/(X)為R上的奇函數(shù)，.?./(-x)=-F(x),

又?.?/(l+x)=/(3-x),用“3+x”替換“x”，

.?./(》+4)=/(r)=-/Q"

.?./(K+8)=_/(X+4)=/(X),

.??/1）的周期為8,

???/（x）的一個(gè)解析式可以為/（幻=sin（工x）.

4

故答案為：sin（?x）（答案不唯一）.

四.解答題（共6小題）

19.【分析】（1）利用分段函數(shù)畫出函數(shù)的圖象即可.

（2）逋過函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化求解不等式的解集即可.

（3）利用函數(shù)的圖象，求解函數(shù)的值域即可.

X",—1?X,,1

【解答】解：（1）/（X）='

1,X>1處〈一1

3-

畫出/（X）的圖象如圖：-3

（2）若,可得X2...；,解得X的范I韋（I3?y）：

（3）由函數(shù)的圖象可知：/（x）的值域[0,1].

20.【答案】（1）/*）=/一4x+6；

（2）/（x）=5x+2或f（x）=-5x-3.

【分析】（1）利用換元法可得答案;

(2)設(shè)〃x)=b+貼工0)代入“〃x))=25x+12,根據(jù)多項(xiàng)式相等可得答案.

【解答】解：(1)令，=x+l(/eR),則x=1-1,

所以/(/)=(/-1)2-2(/-1)+3=/2-4/+6,

可得/(4)=/一4%+6；

(2)設(shè)/(x)=履+伙〃工())，

所以/'(/*))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=25x+\2,

可得尸25,解得：或]：=：，

kb+b=\2b=2b=-3

所以f(x)=5x+2或/(x)=-5x-3.

2L【答案】(1)/(%)=三牛；(2)[-1,2].

【分析】(I)根據(jù)"X)是火上的奇函數(shù)得出/(l)=-/(x)，然后即可求出a,b

的值，進(jìn)而得出/*)的解析式;

(II)根據(jù)》的范圍可求出3、的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求法求出g(x)的

最大值和最小值，進(jìn)而得解.

【解答】解：(I)???/a)是H上的奇函數(shù),

\日na3?3'a-3-3'

3+b3+b

a-3r-33-y-a

力-3'+13、+力

4=3,b=\1

3-3-3'

，/(x)=

3*+1

1

(II)g(x)=3-3-3r+(3v)2-l=(3r)2-3-3x+2=(3r-^)2--j,

VX€[0,1],

：.Ve[l,3],

.?.3，=白時(shí)g(x)取最小值-：；3、=3時(shí)，g(x)取最大值2,

24

...g(x)的值域?yàn)橐?2].

4

22.【答案】(1)g(x)=log,x;

(2)[3,7).

【分析】(1)由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)即可得解；

(2)由(1)結(jié)合，=log/得〃(x)=s(f)=(-3)2+3,再結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即

可求解.

【解答】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)與函數(shù)/”)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

所以函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)互為反函數(shù)，所以g(x)=log2x.

222

(2)由(1)h(x)=[g(x)]-6g(x)+12=(log2x)-6log2x+12=(log2x-3)+3,

令"log?―若xe(2,16),則ze(l,4),

所以6(x)=s(，)=("3『+3,在fe(l,3)上單調(diào)遞減，在"[3,4)上單調(diào)遞增,

且s(1)=7,s(4)=4,s(3)=3

所以當(dāng)Ew(l,4)時(shí)s⑺w[3,7),

所以函數(shù)力⑴在區(qū)間(2,16)內(nèi)的值域?yàn)閇3,7).

23.【答案】(1)/(X)=-x---2(x*0);

x

x24-x+l,x>0

(2)/(x)4),x=().

一r+x—<0

【分析】(1)在原式中用L替換X,得/d)—2/(外=之+2,與原式聯(lián)立方程組，

XXX

求解即可.

(2)設(shè)x<0,可得出T>0,求出/(-x)的表達(dá)式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出函

數(shù)/(,￥)在X<0時(shí)的解析式.

【解答】解：因?yàn)?(劃一2/(3=3%+2,

X

所以/d)—2/Xx)=3+2,

XX

、12

消去/(-),得/(X)=-x------2(x工0).

2

所以/(x)=-x——2(XH0).

(2)因?yàn)槠婧瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以〃0)=0.

當(dāng)xvO時(shí)，-》>0,又當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2+x+l,

所以/(-X)=(T>-工+1=丁-x+l，

所以/(X)=—/(—X)=—x~+X—1.

x2+x+l,x>0

故/(》)=,0/=0

-x2+x-l,x<0

24.【分析】(1)運(yùn)用特定系數(shù)法設(shè)出解析式，再把己知點(diǎn)代入求解即可;

(2)分段求解，符合題意的保留，不符合題意的舍去.

【解答】解：(1)根據(jù)圖象可知/(4)=0,.-./(/⑷)=/(0)=1,

設(shè)歹=h+6

因?yàn)檫^點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(-1,0)代入可得：b=\,k=l

即y=x+l

當(dāng)x..0時(shí)，y=ax2+bx+c,

因?yàn)檫^點(diǎn)(0,0)(4,0)(2,-1)代入可得：

x+1,-1”x?0

所以；y='

(2)/(x)=-,

當(dāng)X+1」時(shí)，X=--,符合題意；

22

當(dāng)L?7=1.時(shí)，即》=2+太，x=2-卡(舍去)

42

故％=」，x=2+c

2

?第6講函數(shù)的概念及其表示

向知識點(diǎn)目￡/

【知識點(diǎn)1】函數(shù)的概念.................................................................2

【知識點(diǎn)2】函數(shù)的解析式...............................................................5

【知識點(diǎn)3】分段函數(shù)...................................................................8

-------------------------?基礎(chǔ)知識/----------------------------

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)人8是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合＞1中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系尸，在集合一中都有唯一確定的數(shù)。和它對應(yīng),那么就稱尸：4T8為從集合彳到集合8的

一個(gè)函數(shù)，記作y=F(x),xEA.

2.函數(shù)的三要素

⑴函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致.即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相

同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)

稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論】

1.直線x=a與函數(shù)y=尸(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

2.在函數(shù)的定義中，非空實(shí)數(shù)集4B,彳即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?的子集.

3.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函款.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

第1頁共10頁

■知識點(diǎn)1/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)1】函數(shù)的概念

函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法

⑴函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①4夕是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合力中的每個(gè)元素在第二個(gè)

集合8中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng).

⑵兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù).

典型例題

【例1】(2025?五華區(qū)校級模擬)已知集合力=(0,4),8=(-2,2),下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成函數(shù)的

是1)

2

A.Afy=x-2B.AB,y=log,xC.BAfy=x

D.BTA,y=(1/

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于力，xw(0,4),則蚱(-2,2),按照對應(yīng)關(guān)系丁=戈-2,集合力中每個(gè)元素，在集合8中都有

唯一元素與之對應(yīng)，故力正確；

對于4,取x=L則尸-故4錯(cuò)誤：

8

對于C,取x=0,則y=0右力，故C錯(cuò)誤；

對于。，xe(-2,2),y€(l,4)c按照對應(yīng)關(guān)系y=g);集合8中每個(gè)元素，在集合4中都有

唯一元素與之對應(yīng)，故。正確.

故選：AD.

第2頁共10頁

【例2】(2023?青羊區(qū)校級模擬)給出下列4個(gè)函數(shù)，其中對于任意xw火均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB./(sin3x)=x3+x2+x

C./，+2)=|x+2|D.f(x2+4x)=\x+2\

【答案】D

【分析】從函數(shù)的定義出發(fā)進(jìn)行分析，仔意x只能對應(yīng)唯一的)，，否則不滿足，由此可排除選

項(xiàng)4,B,C.

【解答】解：對于4,取x=0,則/(())=(),取x=q,則有/(0)=疝9，故不成立；

對于4,取x=O,則/(0)=0,取x=￥,則/(0)=(馬3+(￡>+1,故不成立；

3333

對于C,取x=2,則/(6)=4,取工=-2,則/(6)=0,故不成立；

對于。，令z=|x+2|,(Z>0),則由/(f+4)=|x+2|,

可得f[(x+2>-4]=|x+21,即f(t2-4)=/,

故/'(x)=Jx+4,故成立.

故選：D.

【例3】(2025?廣東模擬)函數(shù)),==二+在斤的定義域?yàn)?)

x-3

A.(-00,3)D(3,+oo)B.[1,3)53,+<?)

C.[1,+8)D.[3,+oo)

【答案】B

【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,分式的分母不為0,聯(lián)立不等式組求解.

Y-]0

【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得"I且工工3.

X-3H0

函數(shù)y=+的定義域?yàn)閇1,3)U(3,+00).

x-3

故選：B.

第3頁共10頁

【例4】（2025?揚(yáng)州校級模擬）已知函數(shù)），=/"）的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)歹=4￡土12的定義

2J+1

域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.[-1,0]

C.0]D.

【答案】C

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組，即可求得答案.

【解答】解：因?yàn)閥=/（x）的定義域是[0,1],所以0,,國1,

根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法，在函數(shù)中，

2x4-1

0Wx+141e.八口1

、八，解得-1,,x”。且XW-；，

[21+1工（）2

則定義域?yàn)?

故選：C.

【例5】（2025?泉州模擬）函數(shù)/（用=2'+4的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.f0,I]B.f0,+8）C.（l,+oo）D.[1,+oo）

【答案】D

【分析】求出函數(shù)定義域，再利用單調(diào)性求出值域.

【解答】解：函數(shù)/（幻=2、+、G的定義域?yàn)閇（）,+oo）,

又/（X）在[0,+8）上單調(diào)遞增，

故/（X）的值域?yàn)閇1,+00）.

故選：D.

目知識點(diǎn)2/

第4頁共10頁

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)2】函數(shù)的解析式

函數(shù)解析式的求法

⑴配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.

典型例題

【例6】(2例5?臺灣四模)若/(x)為二次函數(shù)且"0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,則/*)的解析

式為_/(X)=%2-X4-3_.

【答'案】f(x)=x2-x+3.

【分析】利用待定系數(shù)法和對應(yīng)思想的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)/(x)=ax2+bx+c,

由于/(0)=3,所以c=3,

又因?yàn)?(x+2)—/(x)=4x+2,

所以/(x+2)—/(x)=4ax+4q+?=4x+2,

故卜"=4,解得卜印，

[4a+2b=2[b=-\

所以/(幻二/一x+3.

故答案為：f(x)=x2-x+3.

【例7】(2025?重慶模擬)設(shè)定義域?yàn)榛鸬暮瘮?shù)/(x)滿足：V.r,yeR都有/(x+/(_)，))=/(/(x))+y

且f(0)=〃(a為常數(shù))，則函數(shù)/Xx)=_x+a_.

【答案】x+〃.

【分析】由已知函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用賦值法可求解.

【解答】解:定義域?yàn)榧暗暮瘮?shù)/(x)滿足:Vx,ywK都有/(x+/Xy))=/(/(x))+y,

第5頁共10頁

由f(x+/(?))=/(/(x))+歹①，

令X=0可得/(/()，))=/(/(0))+y②，

在②中，令—則A/V(砌)=/(/(0))+〃⑼③,

由②可得,/(/(/(⑼))=/(/(/(0))+m)④，

由①可得，/(/(/(0))+，?)=/(/(〃，))十八。)⑤，

由②可得，/(/(〃?))+/(0)=/(/(0))+m+/(0)⑥，

則由③④⑤⑥可得,/(/(0))+f(m)=/(/(0))+m+/(0),即/(⑼=m+/(0),

因/(。)=a,貝"/(x)=x+a.

故答案為：x+a.

[例8](2025?河北模擬)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(x-y)=f(x)f(y)+

44

且/(0)=1,試寫出一個(gè)滿足上述條件的/(x)的解析式：一cos2x一.

【答案】/(x)=cos2x(答案不唯一).

【分析】根據(jù)函數(shù)/")的遞推關(guān)系，可猜想函數(shù)為/G)=8S2X,驗(yàn)證即可.

【解答】解：根據(jù)題意可知，f(x—y)中間符號為“「，/(X)/(),)+/(2一)前后兩個(gè)代

44

數(shù)式中間符號為“+”，

.?.美比兩角差的余弦公式cos(a-p}~cosacos夕+sinasinp,

但cos(-y-a)=sina,.,.猜測/(x)的一個(gè)解析式為/(x)=cos2x.

檢臉，f(x-y)=cos2(x-y)=cos(2x-2y)=cos2xcos2y+sin2ysin2y,

f(：c)f(y)+>0=cos2xcos2y+cos2(--x)cos2(--y)=