第1講集合與常用邏輯用語

學(xué)校____________姓名____________班級

一、知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與第合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號分別為￡和a

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常用數(shù)集及記法

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合8的魚素，那么集合A稱為集合8的子集.記作

AQ8(或83A).

(2)真子集：如果集合A是集合3的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A稱

為集合8的真子集.記作(或BA).

(3)相等：若A￡B,且里1，則A=B.

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何韭寶集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為a則集

符號表示AAB

合4的補(bǔ)集為［以

霧

圖形表示U0

AGBlea

集合表示{小WA,或x￡8}且Xd{x|x￡U,且正川

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴APIA=4,ACQ=0,AOB=BRA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AC((M=。，AU([uA)=U,(u(1uA)=A.

5.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量訶：i般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全

稱量詞，用符號“乜”表示.

(2)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，稱為存

在量詞，用符號“3”表示.

6.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中的任意一個(gè)x,有q(x)成立存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立

簡記4（x）

否定非式x)▼xGM,非〃（幻

7.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件pnq且濡p

p是q的必要不充分條件pLq且qnp

p是q的充要條件pgq

p是q的既不充分也不必要條件p^q且qUp

二、考點(diǎn)和典型例題

1、集合的性質(zhì)

【例題11】(2022.北京密云.高三期中)已知集合「=卜|0<%<4/62},且MGP,則M可以是()

A.{1,2}B.{2,4}C.{0,2}D.{3,4}

【詳解】

因?yàn)镻={x|0Vx<4,x￡Z}={i,2,3}，又MGP,所以任取XWM,MXe(l,2,3j,

所以2可能為{2,3},A對，

又00M,4WM,

???M不可能為{2,4},{0,2},{3,4},B,C,D錯(cuò)，

故選：A.

【例題12】(2022?山東聊城,二模)已知集合，={0,1,2},B={ab\aEA,bEA}f則集合B中元素個(gè)數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

【詳解】

解：因?yàn)?={0,1,2},aEA,bEA,所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4,

故B={ab\aEA,heA)={0,1,2,4},即集合B中含有4個(gè)元素；

故選：C

【例題13】(2022?海南?？?模擬預(yù)測)己知集合”={-2,0,1},N={x\x2+ax-2=0},若NGM,則

實(shí)數(shù)4=()

A.2B.1C.0D.1

【詳解】

對于集合M因?yàn)锳=Q2+8>0,

所以N中有兩個(gè)元素，且乘積為2,

又因?yàn)镹GM,所以N={-2,1},

所以-a=-2+1=—1.即a=l.

故選：氏

【例題14】(2022.湖南.雅禮中學(xué)二模)已知集合4={{0},0},下列選項(xiàng)中均為A的元素的是()

(1){0}(2){{0})(3)0(4){{0)0}

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【詳解】

集合A有兩個(gè)元素：{0}和0,

故選：B

2、集合的運(yùn)算

【例題21](2022?廣東韶關(guān)?二模)已知全集U={\,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3},則Q(4u2)=

()

A.[4,5)B.{1,2}

C.{2,3}D.{I,2,3,4)

【詳解】

4UB={1,2,3},貝|JQ(AUB)={4,5},

故選：A.

【例題22】(2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))己知全集為R,集合力叫(丁<葉”3"。

則4CiQRB=()

A.{x\x<0}B.{x|0<x<1}C.[x\x>1}D.0

【詳解】

集合A=[x|Q)X<1},解得A={x\x>0},

B=(x|->11?->1<=>—>0<=>儼(1一“9°=>0<x<l

Ilx)XXIxH0

B={x|0<X<1},CRB=(-co,0]U(1,4-co)

由集合交集運(yùn)算得到：AHCRB=MX>1].

【例題23](2022?河北唐山?二模)設(shè)全集U=R,集合A={0,1,2},B={x\x>2],則An(QB)=()

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{2}D.{x\x<2}

【詳解】

解：因?yàn)?=>2),所以I/=V2},又力={0,L2}：

所以4n(QB)={0,1};

【例題24】(2022?廣東?二模)已知集合”={石％(%-2)<0},八=3%-1<0},則MnN=()

A.(-oo,2)B.(-oo,1)C.(0,1)D.(1,2)

【詳解】

集合M={x\x(x-2)<0}={x|0<x<2},N={x\x<1],

則Mn/V={x|0<x<1}=(0,1),

故選：C

【例題25】(2022.廣東潮州?二模)已知集合力={工優(yōu)工一1或%>2},則CQ4=().

K

A.{x|-1<x<2}B.{x|-1<x<2}

C.{x|-1<x<2}D.4={x|xV—1或％N2}

【詳解】

因?yàn)锳={x\xW—1或%>2},所以CK/l={x|-l<x<2],

故選:B

3、量詞命題的否定、充分條件和必要條件

【例題31](2022.遼寧?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測)命題叼04(0,+8),」沏之沏一1”的否定是()

A.3x06(0,H-oo),lnx0<x0-1B.3XQ(0,+co),lnx0>x0-1

C.VxG(0,4-oo),Inx<x—1D.Vx$(0,4-oo),Inx>x—1

【詳解】

由特稱命題的否定知原命題的否定為：VxG（0,+co）,Inx<%-1.

故選:C.

【例題32】（2022?山東濟(jì)寧?二模）“x的一個(gè)充分不必要條件是（）

2233

A.inx>InyB.x>yC.x>yD.-x<-y

【詳解】

因?yàn)镮nx>Iny,所以3>y>0,由于％>y>0=x>y,而x>yRx>y>0,故A選項(xiàng)滿足題意;

令^=-2/=0,則滿足％2>>/2,但不滿足%>y,故B錯(cuò)誤；

由爐>,3得：x>y,故C選項(xiàng)是一個(gè)充分必要條件，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤：

令x=-2,y=1,則滿足：<但不滿足%>y,D錯(cuò)誤.

xy

故選：A

【例題33】（2022?江西南昌?二模（文））已知p:-l<xV2,q：2>i-x<2,則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【詳解】

對于不等式2%+iV%+2,作出曲線y=2"1與y=x+2的圖象如下圖所示：

由圖象可知，不等式*+】<%+2的解集為{%[-1<x<0},

因?yàn)閧x|—lvx<2}{x|-l<x<0},因此，p是q的必要不充分條件,

故選:B.

【例題34]（2022?陜西?安康市高新中學(xué)三模（理））直線上y=kx+1-k與函數(shù)y="中的圖象有兩個(gè)

公共點(diǎn)的充要條件為()

A./c>0B.0<k<2C.0</c<|D.-2<k<0

【詳解】

由題意知直線上y=kx+l-〃定點(diǎn)(1,1),函數(shù)y=中的圖象是以(0,0)為圓心，1為半徑的半圓,

如圖所示.易求"，。的斜率分別為。，p

由圖知，當(dāng)/介于，1與G之間(含%)時(shí)，/與函數(shù)y=G^的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，即

故選:C.

【例題35】(2022?山西呂梁?模擬預(yù)測(理))T%>0,使得QW二專7T成立”的充要條件是()

A.B.a>|C.a<|D.a>|

【詳解】

">°，°工總7?等價(jià)于0工(總期)，

max

又看=帚<亦.當(dāng)且僅當(dāng)31時(shí)等號成立，

即故

故選：A.

4、綜合應(yīng)用

【例題41](2022?陜西?武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知條件p:4={x|x2-4ax+4a2-1<

0),條件q:F={x|%2—x—2<0}.U=R.

(1)若Q=l,求Q(AnB).

(2)若q是p的必要不充分條件，求Q的取值范圍.

【解析】

(1)

由/—^ax+4a2—1<0,得2a—1W%W2Q+1,

所以{={x|2a-l<x<2a+l},

由/一x—2W0,得一1<x<2,所以8={xI-1<x<2]

當(dāng)a=1時(shí)，A={x\l<x<3}.所以力AB={x|1<x<2}

所以Q(力n8)={無|無V1或%>2}；

(2)

由(1)知，={xI2a—1<x<2a+1],B={x\—1<x<2},

???q是p的必要不充分條件，：“爐,

所以{嚴(yán)+「32解得0￡。蕓

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[Of.

【例題42】(2022?北京密云?高三期中)設(shè)n>2且neN，集合U={1,2,3,4,…,2n},若對U的任意々元子集％,

都存在a,瓦CE/,滿足：a<b<c,a+b>c,且a+b+c為偶數(shù)，則稱取為理想集，并將k的最小值記

為K.

(1)當(dāng)九=2時(shí)，是否存在理想集？若存在，求出相應(yīng)的K；若不存在，請說明理由；

(2)當(dāng)九二3時(shí)，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應(yīng)的九以及滿足條件的a,b,c：若不存在，請說明理

由；

(3)證明：當(dāng)n=4時(shí)，K=6.

【解析】

(1)

依題意，展要為理想集，kN3,

當(dāng)71=2時(shí)，U={1,2,3,4},顯然{2,3,4}GU,有2V3V4,2+3>4,而2+3+4不是偶數(shù)，即存在3元子

集不符合理想集定義，

而{1,2,3,4}GU,在{1,2,3,4}中任取3個(gè)數(shù)，有4種結(jié)果，1,2,3：1,2,4：1,3,4：2,3,4,它們都不符合理想集

定義，

所以，當(dāng)n=2時(shí)，不存在理想集.

(2)

當(dāng)？1=3時(shí),U={1,2,3,4,5,6),由(1)知,存在3元子集{2,3,4}、4元子集口,2,3,4}均不符合理想集定義,

5元子集{1,234,6},在此集合中任取3個(gè)數(shù)，滿足較小的兩數(shù)和大于另一個(gè)數(shù)的只有2,3,4與3,4,6兩種，但

這3數(shù)和不為偶數(shù)，

即存在5元子集{1,2,3,4,6}不符合理想集定義，

而U的6元子集是[1,2,3,456},3<4<5,34-4>5,3+4+S是偶數(shù)，3<5<6,3+5A6,3+5+6是偶數(shù)，

即U的6元子集{1,234,5,6}符合理想集定義，{1,2,3,4,5,6}是理想集，

所以，當(dāng)n=3時(shí)，存在理想子集匕={123,4,5,6},滿足條件的可分別為3,4,5或3,5,6.

(3)

當(dāng)九=4時(shí),U={1,2,3,456,7,8},由⑴,(2)知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集

定義，

限要為理想集，k>6,顯然{1,234,5,6}符介理想集的定義，滿足條件的a,b,c分別為3,4,5或3,5,6,

U的6元子集中含有3,5,6的共有髭=10個(gè)，這10個(gè)集合都符合理想集的定義，

U的6元子集中含有3,5不含6的有5個(gè)，其中含有4的有4個(gè)，這4個(gè)集合都符合理想集的定義，不含4

的為{1,2,3,5,7,8},

顯然有5<7V8,5+7>8,5+7+8為偶數(shù)，即U的6元子集中含有3,5不含6的5個(gè)都符合理想集的定義,

U的6元子集中含有3,6不含5的有5個(gè)，它們是{1,2,3,467},{1,2,3,4,6,8},{1,2,3,6,7,8},

{1,3,4,6,7,8},{2,3,4,6,7,8},

它們對應(yīng)的a,4c可依次為:3,6,7；4,6,8；3,6,7；3,6,7；3,6,7,

即U的6元子集中含有3,6不含5的5個(gè)都符合理想集的定義，

U的6元子集中含有5,6不含3的有5個(gè)，它們是{1,2,4,5,6,7},{1,2,4,5,6,8},{1,2,567,8},

{1,456,7,8},{2,4,5,678},

它們對應(yīng)的a,b,c可依次為:5,6,7；4,6,8；5,6,7：5,6,7；5,6,7,

即U的6元子集中含有5,6不含3的5個(gè)都符合理想集的定義，

U的6元子集中含有3,5,6之一的有3個(gè)，它們是{1,2,3,4,7,8},{1,2,457,8},{1,2,467,8},對應(yīng)的a,瓦c可依次

為：3,7,8；5,7,8：4,6,8,

即。的6元子集中含有3,5,6之一的3個(gè)都符合理想集的定義，

因此，U的所有廢=28個(gè)6元子集都符合理想集的定義，％是理想集，

U的7元子集有以=8個(gè)，其中含有3,5,6的有5個(gè)，這5個(gè)集合都符合理想集的定義，不全含3,5,6的有3

個(gè)，

它們是{1,2,3,4,5,7,8},{1,2,3,4,6,7,8},{1,2,4,567,8},對應(yīng)的a,瓦c可依次為：3,7,8：3,7,8：4,6,8,

即。的所有8個(gè)7元子集都符合理想集的定義，嗎是理想集，

U的8元子集是{1,2,3,4,5,6,7,8},對應(yīng)的a,b,c可以為：3,7,8,因此，％是理想集，

因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6,

所以當(dāng)九=4時(shí)，K=6.

【例題43](2022?天津?漢沽一中高三階段練習(xí))不等式寮>1的解集是月，關(guān)于x的不等式婷-4m無一

5m2<。的解集是8.

(1)若巾=1,求力nB；

(2)若4UB=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(3)設(shè)p:實(shí)數(shù)X滿足/一4ax+3a2<0,其中a>o,命題q：實(shí)數(shù)工滿足[胃一/一.若〃是夕的必要不

充分條件，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【解析】

(1)

由要>1的解集是力，解得：A={x\-2<x<l}.

當(dāng)那=1時(shí)，x2-4mx-5m2<0可化為M-4x-5<0,解得B={x|-1<x<5}.

所以4rB={耳-1WxVl}.

(2)

因?yàn)锳U8=8,所以AG8.

由(1)得：A=[x\—2<x<1].

當(dāng)n>0時(shí)，由/一4m為一5m2W0可解得8={x|—m4x工5?TI}.要使AG8,只需{、:，解得：

m>2；

當(dāng)n=0時(shí)，由"一4mx—5m2工o可解得8={o}.不符合力qB,舍去；

當(dāng)n<0時(shí)，由/-4mx-5m2<0可解得8={x|5m<%<一n).要使力GB,只需，二^~\,解得：7九<

15ms-/

-1:

所以，mW—1或m22.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為：(-00,-1]u[2,+oo).

(3)

設(shè)關(guān)于x的不等式/一4ax+3a2Vo(其中的解集為M，則M=(Q,3Q)；

不等式組，^]；一?3：的解集為乂則N=(2,3]：

4-2x-8>0

要使〃是，/的必要不充分條件，只需NM,即{1J；，解得：1VQW2.

即實(shí)數(shù)。的取值范圍(1,2].

r

【例題44】(2022?北爾豐臺?二模)設(shè)/]=[%,&],k=[。2,力21，…，，n=[an,bn],，n+i=[^n+i*^n+11

是九+l(n6/)個(gè)互不相同的閉區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)為o使得&G/&=1,2，…,n+1),則稱這幾+1個(gè)閉區(qū)間

為聚合區(qū)間，％為該聚合M間的聚合點(diǎn).

(1)已知A=［l,3］,/2=［-2聞m］(0〈￡〈江)為聚合區(qū)間,求/的值；

(2)已知/］=［%,瓦］，=［。2，匕2］，…，，n=［%，％］，，n+T=［每+1，匕+1］為聚合區(qū)間?

(i)設(shè)與，尢是該聚合區(qū)間的兩個(gè)不同的聚合點(diǎn).求證：存在鼠/€{1,2，…,"+1},使得［以,與］仁

/i(i=1,2,...,n+1)；

(ii)若對任意p,q(p。q旦p,q€{1,2，…,n+1}),都有％,“互不包含.求證：存在不同的ijG{1,2,

…，n+1},使得人t-\>-^―(加一Hj).

【解析】

(1)

由0Vt<H?可得0Vsint工1,又/】，，2為聚合區(qū)間，由定義可得AC。H。，故當(dāng)且僅當(dāng)sint=1時(shí)成立，

故V

(2)

(i)由％o，%是該聚合區(qū)間的兩個(gè)不同的聚合點(diǎn)，不妨設(shè)&<y0?因?yàn)椋?￡h(i=1,2,...,n+1),故

alta2...an+1<x0,又y°G/&=1,2,...,n+1),故y()<瓦，尻…%+i，不妨設(shè)藥,。2…a〃+i中的最大值為

瓦，匕2…%+i中最小值為好則內(nèi),。2…冊+i<ak<x0<y0<<bltb2...bn+1,即…即+i<ak<

bjW瓦,%…bn+i,故存在區(qū)間［Q,V，bj］G/i(i=1,2,...,n+1)

(ii)若存在a$=af(s=#t),則人G/1或"1/s?與已知條件矛盾

不妨設(shè)由<a2<...an+1,則瓦<M+i(k=1,2,…n)

否則，若為之與+i，則4與已知條件矛盾

取/=min{ci2—%，。3一02???斯+1一冊，》2一瓦，仇一尻…九+1一%}，設(shè)mc{l,2,…，n+1j

當(dāng)Gm+1-Qm=2時(shí)，bm-瓦=(bin-hTn_1)+...(b2->(m-1)Z,

即+1-而=(冊+1-%)+…(Qm+1-am)>(n-m+l)l

又瓦>an+1,所以即+i—瓦<0,所以4n-am>(bm-匕J+(an+i-%?)N獻(xiàn)，

即&m+l—Q?n工所以b/n-am+l=~am~(am+l-。加)之彳(An-Qm)，

此時(shí)取i=m,j=m+1,則加-dj>~~(^i~%)，

當(dāng)4n+i—b7rl=［時(shí)，同理可取i=771+l,j=m,使得瓦一aj>?(瓦一a。，

綜上，存在不同的i,/6{1,2,…，n+lj,使得九一句N5^(瓦一Q。

【例題45】(2022?北京朝陽?一模)對非空數(shù)集X,y,定義X與y的和集X+y={x+y|xWX,yWV}.對任

意有限集4記|川為集合4中元素的個(gè)數(shù).

(1)若集合X={0,5,10},r={-2,-1,0,1,2),寫出集合X+X與X+Y；

(2)若集合X=…,滿足/V%2<…V%n，>3,且|X+X|<2|X|,求證:數(shù)列修，"2，…，是

等差數(shù)列；

(3)沒集合X={/,％2,…，馬}滿足V%2<…<今，n>3,且看EZ(i=1,2,…，n)，集合B=伙￡

Z\-m<k<m](m>2,