第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年湖南省永州一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線y=?3x+3的傾斜角為A.30° B.60° C.120° D.150°2.復(fù)數(shù)z=7i3+i的虛部為(

)A.2110 B.?2110 C.213.已知cos2α=18,α∈(0,π2A.34 B.74 C.?4.已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足yx=xy”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足xA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知a=40.3，b=(0.1)0.4，c=A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b6.將函數(shù)f(x)=cos(2ωx+π?ωπ4)(ω>0)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間(πA.14 B.12 C.347.由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是(

)A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無(wú)法確定8.[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(?2)=?8，對(duì)于區(qū)間[0,2]上的任意x1，x2都有f(x1+4)?f(x2+4)x2?A.0 B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)向量a=(3,k),b=(2,?1)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.若a與b的夾角為鈍角，則k>6

B.|a|的最小值為9

C.與b共線的單位向量只有一個(gè)，為(22,?10.隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說(shuō)法正確的有(

)A.均值為101 B.極差為9

C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為10111.陽(yáng)馬和鱉臑[biēnào]是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱(圖2，圖3)，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)(圖4)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬(圖5).余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(圖6).若圖1中的長(zhǎng)方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是(

)

A.鱉臑中的四個(gè)直角三角形全等

B.塹堵的表面積等于陽(yáng)馬與鱉臑的表面積之和

C.鱉臑的體積等于陽(yáng)馬體積的一半

D.鱉臑的內(nèi)切球表面積為(3?2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有2OA?OC=2cosα?OB(α為銳角13.直線mx+(m+2)y?1=0與直線(m?1)x+my=0互相垂直，則m=

．14.如圖已知點(diǎn)A，B在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為4π，∠ASB=30°，若AB與截面SAO所成角為60°，則圓錐SO的側(cè)面積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)．

(1)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；

(2)已知P(1,5)，若點(diǎn)P到直線l的距離為d，求d最大時(shí)直線l的一般式方程．16.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知sinA(acosC?12b)=cosA(32b?asinC)．

(1)求A；17.(本小題15分)

隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來(lái)越好，越來(lái)越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是20%至25%，男性的正常范圍是15%至18%.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn).某市有關(guān)部門對(duì)全市100萬(wàn)名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖．

(1)求a；

(2)如果女性體脂率為25%至30%屬“偏胖”，體脂率超過(guò)30%屬“過(guò)胖”，那么全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”各約有多少人？

(3)小王說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰(shuí)的體脂率更低？18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

(1)證明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．19.(本小題17分)

在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為α(0<α<1).猜是反面的概率為1?α；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為β(0<β<1)，猜是正面的概率為1?β.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立．

(1)若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為P1，P2，試比較P1，P2的大小；

(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，

(i)從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：

①α+β=32；②α+β=1；③αβ=12，④αβ=14

(ii)從(i)中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件.用X表示猜測(cè)的正反文字串，將X參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.CD

12.π313.0或?114.2(15.(1)直線l：kx?y+1+2k=0化為k(x+2)?y+1=0，因此直線l恒過(guò)定點(diǎn)M(?2,1)，

若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則k≥0.即k∈[0,+∞)．

(2)由(1)知直線l恒過(guò)定點(diǎn)M(?2,1)，

當(dāng)且僅當(dāng)PM⊥l時(shí)，d取得最大值，此時(shí)直線PM的斜率kPM=5?11?(?2)=43，

因此直線l的斜率k=?34，直線l的方程為?34x?y+1+2(?16.解：(1)sinA(acosC?12b)=cosA(32b?asinC)，

故asinAcosC?12bsinA=32bcosA?asinCcosA，

即asinAcosC+asinCcosA=32bcosA+12bsinA，

由于sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，

故asinB=32bcosA+12bsinA，

由正弦定理得sinAsinB=32sinBcosA+12sinBsinA，

因?yàn)锽∈(0,π)17.解：(1)由頻率直方圖可得，5×2a+5×0.03+5×0.07+5×6a+5×2a=1，

所以a=0.01．

(2)由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”的頻率為5×0.06=0.3，

樣本中女性“過(guò)胖”的頻率為5×0.02=0.1，

所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為1000000×0.3=300000，

全市女性“過(guò)胖”的人數(shù)約為1000000×0.1=100000，

(3)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12.5×0.1+17.5×0.15+22.5×0.35+27.5×0.3+32.5×0.1=23.25，

設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，

因?yàn)?.1+0.15=0.25<0.5，0.1+0.15+0.35=0.6>0.5，

所以20<x<25，

所以0.25+(x?20)×0.07=0.5，

所以x=1657≈23.57，

所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.57，

所以小王的體脂率約為23.57，小張的體脂率為23.25，

所以小張的體脂率更低．

18.解：(1)證明：過(guò)P在平面PAD內(nèi)作直線l//AD，

由AD//BC，可得l//BC，即l為平面PAD和平面PBC的交線，

∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，

又BC⊥CD，CD∩PD=D，∴BC⊥平面PCD，

∵l//BC，∴l(xiāng)⊥平面PCD；

(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，

設(shè)Q(m,0,1)，DQ=(m,0,1)，PB=(1,1,?1)，DC=(0,1,0)，

設(shè)平面QCD的法向量為n=(a,b,c)，

則n?DC=0n?DQ=0，∴b=0am+c=0，取a=?1，可得n=(?1,0,m)，

∴cos<n，PB19.解：(1)猜測(cè)全部正確的概率為P1=αβ，

猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率為P2=(1?α)(1?β)，

因?yàn)镻2?P1=(1?α)(1?β)?αβ=1?(α+β)，

所以當(dāng)0<α+β<1時(shí)，P1<P2，

當(dāng)α+β=1時(shí)，P1=P2，

當(dāng)1<α+β<2時(shí)，P1>P2．

(2)(i)若不管扔硬幣是正面還是反面，猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，

則α>1?αβ>1?β，解得α>12β>12，所以12<α<112<β<1，所以1<α+β<2,14<αβ<1，

因此，②④一定錯(cuò)誤，

(ii)若扔四次硬幣分別為“正正反反”，事件n(X)=2包含以下三種情況：

兩個(gè)正都猜對(duì)，且兩個(gè)反都猜對(duì)，其概率為α2β2；

有且只有一個(gè)正猜對(duì)，且有且只有一個(gè)反猜對(duì)，其概率為2α(1?α)×2β(1?β)