數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷總分：150分）

注意事項：

1.答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)

考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題

區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)z=4-3i,則在更平面內(nèi)彳對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列說法正確的是（）

A.若弟B為單位向量，則彳=BB.若為平行向量，則a=B

C若I刈=出|,則a=ED.若3=6,則|d|二|B|

3.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.相等的線段在直觀圖中仍然相等B.平行的線段在直觀圖中仍然平行

C.垂直的線段在直觀圖中仍然垂直D.相等的角在直觀圖中仍然相等

4.小王參加射擊比賽考核，每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8,規(guī)定若第一次命中，才能進入第二次射擊，且

這兩次射擊相互獨立.第一次未命中得0分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，那么小王此

次考核得分不低于10分的概率是（）

A.0.16B.0.64C.0.8D.0.96

5.下列命題中正確的有（）個

①過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直

②過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行

第1頁/共5頁

③如果平面。不垂直于平面〃，那么平面內(nèi)a一定不存在直線垂直于平面〃

④垂直于同一條直.線的兩條直線平行

A.1B.2C.3D.4

6.某班級對60名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計，成績分布如卜.表：

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)61218159

則這次測試成績的第8（）百分位數(shù)是（）

A.84B.85C.88D.92

7.函數(shù)^=45布（皿1+0）+伏4>0,。>0）的圖象的一個最高點坐標(biāo)為（1,3）相鄰的一個最低點坐標(biāo)為

1,則夕的值分別為（）

,?！柏兀

A.4,-C.4,一D.2,—

63

8.如圖，在邊長為2的正方形/6CO中，點E是48的中點，點尸是8。的中點，將AAEDqBEFgDCF

分別沿。氏EF,。尸折起，使4B,C三點重合于點?.則三棱錐4一￡77）的外接球表面積為（）

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列推斷正確的是（）

A.A,B,Cea,A,B,CsB,且A,B,。不共線重合

B.Ita,Awl=>A史a

C.已知平面。和直線/有交點，則“直線/與平面a垂直”是“平面a內(nèi)存在兩條夾角為30。的直線〃?，〃,

使得根JL/且〃的充要條件

第2頁/共5頁

D.己知，〃，/是兩條不同的直線，巴〃是兩個不同的平面，ll.a.m//l,m//p^aLp

10.設(shè)向量）=卜051,5訪］）,3=（以）5夕與11夕），下列說法正確的是（）

4兀

A.若0=7時，則2=_5B.B與2-B垂直

c.若］〈=①時,則D,若e=o時，,在B上的投影向量為3

11.在對某中學(xué)高三年級學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)5:4的比例用分層隨機抽取9（）

名學(xué)生進行測顯.已知抽取的男生體重的平均數(shù)和方差分別為乂，2（）,抽取的女生體重的平均數(shù)和方差分

別為45,11,則（）

A.抽取的男生有50人

B,抽取的女生有50人

C.估計該校高三年級學(xué)生體重的平均數(shù)為50

D.估計該校高三年級學(xué)生體重的方差為36

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

13.”阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱

美.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息（如圖）.這些石凳是14個面的半正多面體,如果石荒的棱長為1，

則石凳的表面積是，體積是.

14.已知梯形力5CNMO//8C,48=8C=CZ>=！4）=2,點夕是梯形內(nèi)一點，且滿足

2

蘇+麗+定+而=6，則三角形面積為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.

15.若某袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球從中不放回地依次隨機摸出2個

球，記事件力="第一次摸到紅球”，事件3="第二次摸到紅球”.

第3頁/共5頁

G

小

(1)求證：4C]//EF；

(2)求證：NP1B}C]；

(3)設(shè)8片與平面￡尸。4所成角為30。，0AB=殍,BB\=2,NP=B求四棱錐8—BC/E的體

積.

19.(1)敘述正弦定理；

(2)用向量法證明正弦定理(以銳角三角形為例)；

(3)類比上述方法，解決以下問題：如圖，直線/與V4BC的邊48,4C分別相交于。，E,設(shè)

AB=c,BC=a,CA=b,/ADE=9,試用向量的方法探究。與V48c的邊角之間的等量關(guān)系.

第5頁/共5頁

樂山市普通高中2027屆高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷總分：150分）

注意事項：

1.答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)

考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題

區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設(shè)z=4-3i,則在復(fù)平面內(nèi)亍對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)平面內(nèi)點的位置判斷.

【詳解】因為z=4-3i,

所以彳=4+3i,

所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為（4,3）在第一象限.

故選：A.

2.下列說法正確的是（）

A.若7B為單位向量，則值=5B.若萬方為平行向量，則"二日

c.若|磯=歷|,則1=5D.若G=B，則|引=加|

【答案】D

【解析】

【分析】由向量相等的概念進行判斷即可.

第1頁/共17頁

【詳解】由向量相等的概念可知力=5。團1=151口萬萬方向相同

對A：I石為單位向量可得|。|=出|,但方向未必相同，故萬=B未必成立，故A錯誤；

對B：1石為平行向量，不能說明|叫=出|,也不能說明2,6方向相同，所以不能說明萬二知故B錯誤:

對c僅|即=出|,不能說明d=B，故c錯誤；

對D：若d=B，則I訪二出|正確，故D正確.

故選：D

3.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.相等的線段在直觀圖中仍然相等B.平行的線段在直觀圖中仍然平行

C.垂直的線段在直觀圖中仍然垂直D.相等的角在直觀圖中仍然相等

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測法的規(guī)則對選項逐一判斷即可.

【詳解】首先分析斜二測畫法的規(guī)則：

斜二測畫法中，平行性不變，即平行的線段在直觀圖中仍然平行；

對于線段長度，x軸方向線段長度不變，V軸方向線段長度減半，所以相等的線段在直觀圖中不一定相

等；

原來垂直的線段.在直觀圖中不一定垂直,比如平面直角坐標(biāo)系中垂直的％軸和V軸.在斜一測畫法中V

軸成45。（或135。）角，不再垂直；

相等的角在直觀圖中不一定相等，比如平面直角坐標(biāo)系中90。的角，在斜二測畫法中可能變成45。或135。

等.

故選：B.

4.小王參加射擊比賽考核，每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8,規(guī)定若第一次命中，才能進入第二次射擊，且

這兩次射擊相互獨立.第一次未命中得0分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，那么小王此

次考核得分不低于10分的概率是（）

A.0.16B.0.64C.0.8D.0.96

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合對立事件概率公式計算求解.

第2頁/共17頁

【詳解】第一次未命中得。分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，

那么小王此次考核得分低于10分的概率是0.2,

則小王此次考核得分不低于10分的概率是P=l-0.2=0.8.

故選：C.

5.下列命題中正確的有（）個

①過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直

②過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行

③如果平面a不垂直于平面力，那么平面內(nèi)a一定不存在直線垂直于平面力

④垂直于同一條直線的兩條直線平行

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】對于①②，可直接進行判斷：③可假設(shè)平面內(nèi)a存在直線垂直于平面〃，推出矛盾，得到③正確;

④可舉出反例.

【詳解】①過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直，正確；

②過直線外一點，有無數(shù)個平面與這條直線平行，錯誤；

③假設(shè)平面內(nèi)a存在直線垂直于平面/，則可以推出平面a垂直于平面夕，

所以假設(shè)不成立，故③正確；

對干④，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面，錯誤.

故選:B.

6.某班級對60名學(xué)生的?次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計，成績分布如下表：

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)61218159

則這次測試成績的第80百分位數(shù)是（）

A.84B.85C.88D.92

【答案】C

【解析】

【分析】計算出各組的頻率，根據(jù)百分位數(shù)的求解方法，即可求得答案.

第3頁/共17頁

【詳解】由題意可知[50,GO),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的頻率依次為:

—=0.1,—=0.2,—=0.3,—=0.25,—=0.15

6060606060

由于0.1+0.2+0.3=0.6,0.1+0.2+0.3+0.25=0.85,

故這次測試成績的第80百分位數(shù)位于［80,90）內(nèi),

設(shè)為x,則0.6+(工一80)x0.025=0.8,解得x=88,

故選：C

7.函數(shù)J，=4sin（?x+e）+8（%>0,3>0）的圖象的一個最高點坐標(biāo)為相鄰的一個最低點坐標(biāo)為

7兀

77'一1,則0，。的值分別為（）

A.4,-B.2,-C.4,-D.2,三

6633

【答案】D

【解析】

【分析】由題意先確定函數(shù)的最小正周期，即可求出口,利用點的坐標(biāo)可求出。，即可得答案.

【詳解】由題意函數(shù)y=〃sin（公r+8）+8Q>O,0>O）的圖象的一個最高點坐標(biāo)為

相鄰的一個最低點坐標(biāo)為可得函數(shù)最小正周期為7=22

<12

..27T3+13—I

故。=—=2,且4=---=2,8=----

五22

即y=2sin(2x+0)+l,將4,3]代入得3=2sin-+。)+1,即sin(烏+°)=1,

\12)66

gTT7T7T

則—+0=/+2%兀,攵eN,即0=§+2E,左€N,結(jié)合選項可知夕=§,

故選：D

8.如圖，在邊長為2的正方形468中，點E是48的中點，點尸是8c的中點，將“EDQBEFQDCF

分別沿。區(qū)EF,。尸折起，使48,C三點重合于點?.則三棱錐4-七尸。的外接球表面積為（）

第4頁/共17頁

A.47iC.8兀D.12K

【答案】B

【解析】

【分析】兩兩垂直，三棱錐H-EFD外接球就是以為長寬高的長方體的外接

球，從而求出外接球半徑，得到表面積.

【詳解】顯然，H瓦兩兩垂宜，其中4E=1/N=1H'Z）=2,

故三棱錐/-￡7力外接球就是以為長寬高的長方體的外接球,

故三棱錐4-EFD外接球表面積為4n?=6兀.

故選：B

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列推斷正確的是（）

A.J,B,Cea,A,B,Ce。,且力，B,。不共線=>a,"重合

B.11a,AwlnA史a

C.已知平面。和直線/有交點，則“直線/與平面。垂直”是“平面。內(nèi)存在兩條夾角為30。的直線〃?，〃,

第5頁/共17頁

使得5_L/且〃_L/”的充要條件

D.已知加，/是兩條不同的直線，巴力是兩個不同的平面，ILa,m〃l,m〃pna10

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)公理、定理逐項判斷即可.

【詳解】對于A.有三個不共線的點在平面a,尸中，。,尸重合，故A正確

對于B.若/1a=A,則有/仁a,4￡/,但力￡a,故B錯誤

對干C.若直線/與平面。垂直，則/垂直a內(nèi)的任意一條直線，若平面夕內(nèi)存在兩條夾角為30。的直線

機，”，則/_L〃z旦/_L〃，故充分性成立；

若平面。內(nèi)存在兩條夾角為30。的直線〃?，〃，使得〃_?!_/旦〃JJ,由線面垂直的判定定理可知直線/與平

面以垂直，故必要性成立：

所以“直線/與平面。垂直”是“平面。內(nèi)存在兩條夾角為30。的直線機，〃，使得mJ./且〃_L/”的充要

條件.故C正確.

對于D.I、則〃7j.a,又〃”|夕，設(shè)過/〃的平面與平面夕的交線為M,則〃7//疝則

WJ.a,Mu〃，所以a1/7,故D正確.

故選:ACD

10.設(shè)向量值二［85；,5由1）,3=（85仇5仙夕），下列說法正確的是（）

4兀

A.若。=丁時，則2=_石B.萬+萬與垂直

c.若=:=正時，則gD.若8=0時，,在B上的投影向量為3

23/

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系判斷A,應(yīng)用數(shù)量積公式及模長公式計算判斷B,應(yīng)用向量夾角余弦公式計算

判斷C,應(yīng)用投影向量公式計算判斷D.

4兀7t.71I1

【詳解】當(dāng)夕=——時，acos—,sin—=則萬=—B，A選項正確;

333J3

第6頁/共17頁

因為(2+3)?(不一3)=方2—52一(jcosW+sii/e)=1-1=0,

所以M+B與彳一5垂直，B選項正確：

因為同=1,同=1,所以COS0,B〉二子餐二半,〈萬向?0,可,〈不而二《，c選項錯誤；

1|a|x/)2o

當(dāng)。=。時，a=,B=(i,o)

122J

2

不在B上的投影向量為絲B=D選項正確：

|<12

故選：ABD.

11.在對某中學(xué)高三年級學(xué)生體重(單位：kg)的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)5:4的比例用分層隨機抽取90

名學(xué)生進行測量.已知抽取的男生體重的平均數(shù)和方差分別為54,20,抽取的女生體重的平均數(shù)和方差分

別為45,11,則()

A.抽取的男生有50人

B.抽取的女生有50人

C.估計該校高三年級學(xué)生體重的平均數(shù)為50

D.估計該校高三年級學(xué)生體重的方差為36

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生及女生判斷A,B,再應(yīng)用分層抽樣得出平均數(shù)及方差計算求解判

斷C,D.

【詳解】按男、女生人數(shù)5:4的比例用分層隨機抽取90名學(xué)生抽取的男生有50人，抽取的女生有40人,

故A正確，B錯誤；

50x54+40x45

由分層隨機抽樣樣本平均數(shù)公式可得x=8：八=50,

50+40

根據(jù)分層隨機抽樣樣本方差公式/*[20+(54-50)2]+扣1+(45-50)2]=36,故C正確，D正

確.

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

第7頁決17頁

12.計算:陽+單-烏

2222L

【答案】1

【解析】

【分析】先利用平方差公式展開，再結(jié)合i2=-l即可.

1Y1百

【詳解】——1+----------1==1_(^=1_2P=14=I.

222222人22J424444

故答案為：1

13.“阿基米德多面體”也稱半正多而體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱

美.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息（如圖），這些石凳是14個面的半正多面體，如果石髡的棱長為1,

則石凳的表面積是，體積是.

【答案】①.6+273②.

【解析】

【分析】弄清楚正方形和正三角形的個數(shù)，求其表面積；弄清楚幾何體的構(gòu)造，利用正方體的體積求該幾

何體的體積.

【詳解】石凳的表面是由6個正方形和8個正三角形構(gòu)成，其邊長均為1,

所以其表面積為：6+8x@x「=6+26.

4

如圖:

該幾何休是由正方休截去8個一樣的三楂錐得到的，且正方休的楂長為72，

第8頁/共17頁

截去的小三楂錐的體積為：L△走走走=旦.

3222224

所以該幾何體的體積為：=

1J243

故答案為：6+2JJ；—

3

14.已知梯形ABCDADHBC,AB=BC=CD=2AD=2,點尸是梯形內(nèi)一點，且滿足

2

P/+P5+PC+P5=O?則三角形△Q48面枳為.

【答案】地##之6

44

【解析】

【分析】先確定梯形d8CO的具體形狀，再確定尸的準(zhǔn)確位置，即可求△P43面積.

【詳解】如圖：

在梯形43co中，因為AD//BC,AB=BC=CD=、AD=2,所以4%0=600.

2

取BC中點為E,力。中點為廠，

則而+正=2而，PA-^PD=2PF-

由強+方+無+麗=0得而+即=6.

所以尸為七廠中點.

如圖：

因為EF=也,

所以S悌形488=5乂（2+小百=3百.S.BCP=gx2x*=*,S.如=；x4x”二百,

第9頁/共17頁

）二小百

所以S^PAB=5（3梯形/瓦'力一51*1戶一S.ADP

故答案為：邁

4

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.

15.若某袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球從中不放回地依次隨機摸出2個

球，記事件4="第一次摸到紅球“，事件8="第二次摸到紅球

（1）求尸（4）和尸（8）的值；

（2）求兩次摸到的不都是紅球的概率.

22

【答案】（1）尸（4）=一，P（B）=一

55

【解析】

【分析】（1）利用首先計算樣本容量，再計算事件A和3包含的樣本點，即可求解；

（2）利用對立事件概率公式，即可求解.

【小問1詳解】

將兩個紅球編號為1,2,三個黃球編號為3,4,5.

第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果,對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果.

第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果.

將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，

第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種，即4=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）｝,

Q2

所以尸（4）二.=歹

第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8和J即4=｛（2,1）,（3,1）,（4」）,（5.1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）｝,

Q2

所以尸（3）=方=不

L\jJ

【小問2詳解】

事件"兩次摸到都是紅球”包含2個可能結(jié)果，即487（1,2）,（2,1）｝,

第10頁/共17頁

則兩次摸到都是紅球的概率二立='

故兩次摸到的不都是紅球的概率尸（彳+與）=1-P（力8）=

T_o1=-i2o

16.《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠?，票房一路高歌猛進，截至2025年5月，票房已突破158億.根據(jù)燈

塔數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)，某團隊隨機抽取looo人為樣本，統(tǒng)計他們的年齡，并繪制如卜.的頻數(shù)分布表和頻率分布

S0

035

OS.020

02

。5

01

。0

01

。005

o102030405060年齡(歲)

組數(shù)分組頻數(shù)

第一組[0,10)100

第二組[10,20)m

第三組[20,30)250

第四組[30,40)30()

第五組[40,50)n

第六組[50,60)50

（1）請求出各年齡段頻數(shù)分布表中〃?，〃的值，并補全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖;

（2）試估計觀眾年齡的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（每組年齡用中間值代替）.

【答案】（1）m=200,/?=100,直方圖見解析

（2）眾數(shù)為35,中位數(shù)為28,平均數(shù)為27.5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算頻率，進而可得到頻數(shù).

（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的知識進行求解即可.

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【小問1詳解】

???第二組的頻率為0.02x10=0.2,

.-.717=0.2x1000=200,

/.?=1000-100-200-250-300-50=100,

補全頻率分布直方圖如下：

頻率

麗

0.030

0.025

0.020F-【小問2詳解】

0.015

0.010

0.005

0102030405060年齡（歲）

觀眾年齡的眾數(shù)為空絲=35,

2

設(shè)年齡的中位數(shù)為X,?/0.14-0.2=0.3<0.5,0.14-0.2+0.25=0,55>0.5,

?.?中位數(shù)位于［20,30）.

則0.3+0.025（1一20）=0.5,解得x=28,

年齡的平均數(shù)亍=5x0.1+15x0.2+25x0.25+35x0.3+45x0.1+55x0.05=27.5.

17.VNBC的三個內(nèi)角4B,。的對邊分別是a,b,c,且a=4siM,ccosC=JI.

（1）求C：

（2）若0<Cv四，邊力4上的高為求V45C的周長.

4

7T7T

【答案】（1）或。=不

63

（2）4+273

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡，再應(yīng)用二倍角正弦計算求出角；

（2）應(yīng)用面積公式求出4b=4#，再結(jié)合余弦定理求出邊即可得出周長.

【小問1詳解】

ac/

?/----=----,a=4sinJ,

sin/sinC

二.c=4sinC,

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,/ccosC=J5，

.e.4sinCcosC=V3?BPsin2C=—,

2

?/0<C<7t,

63

【小問2詳解】

?二o<Y，，Y

ccosC=V3,/.c=2?

???邊48上的高為百,

「.一?c?y/3=一ab-sinC?則ab=4-^3，

22

又由余弦定理得c?=/+力2-2。反osC，

+力2=16，

又ab=46，

Q=2a=25/3

L或'

h=2y[3b=2

s.^ABC的周長。十。+c=4十2方.

18.如圖，已知三棱柱48。一4四G的底面是正三角形，側(cè)面88CC是矩形，”,N分別為BC,

的中點，P為上一點，過與G和p的平面交力8于￡,交,4C于F.

(1)求證：81cl//EF；

(2)求證：NP工B\C］；

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（3）設(shè)8片與平面所成角為30。，且AB=2區(qū),BB\=2,NP=6.求四棱錐8-BC/E的體

3

積.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析（3）1

【解析】

【分析】（1）先用線向平行判定定理證明用GII平面48C，冉用線面平行的性質(zhì)定理即可；

（2）先用線面垂直的判定定理證明BC_L平面ZMN4,再根據(jù)線面垂直的定義得出BC_LNP,結(jié)合

BC//B.C,,可得NPLBCi；

（3）先找到直線8片與平面ER；片所成的角乙MVP,用余弦定理求出"0=1,再根據(jù)線面垂直判定定

理得出用平面片G在\找到棱錐時-4G在1的高，計算底面梯形的面積，最后根據(jù)錐體體積公式計

算即可.

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形BBCC是矩形，

/.用G//BC

乂用GU中平面43C,8。（=平面48。，

/.//平面4BC,又因為AQu平面4C/E，

平面B￡FEc平面4BC=EF,

/.B￡//EF

【小問2詳解】

在等邊45。中，為的中點，

AM1BC

?.?側(cè)面8。。1用為矩形，.?.3C_L44.

?;MN〃BC1MN

又AMcMN=M,平面4MN4

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/.8C_L平面

?.?NPu平面4MMii，

BC1NP

又BC〃BG，

；.NPLBG.

【小問3詳解】

過M作尸N的垂線，垂足為“，

由(1)(2)可知EF〃BC,BC工平面4MN4,

/.EF1平面AMNA]

又平面力MN4,

：.E