2024-2025學(xué)年高二教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

2025.07

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(x+1)'=x

C.(sinx)Z=cosxD.(e1'=xei

【答案】C

【詳解】(x+l)'=l，故A錯(cuò)誤；

=—二，故B錯(cuò)誤；

(sinx)=cosx，故C正確；

(e')'=ex，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.用1,4,7,10中的任意一個(gè)數(shù)作分子，2,5,9,11中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)成的不同真分?jǐn)?shù)的個(gè)

數(shù)為()

A.9B.10C.14D.16

【答案】B

11414714710

【詳解】由題可知：不同真分?jǐn)?shù)有:2,5,5,9,9,9，T1，T1，T1，T1,共10個(gè).

故選：B

3.下列命題為真命題的是()

A.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

B.若x與y線(xiàn)性相關(guān)越強(qiáng)，則(X”％)在線(xiàn)性回歸直線(xiàn)上的點(diǎn)越多

C.兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1

D.線(xiàn)性回歸分析中決定系數(shù)爐值越小，則模型的擬合效果越好

【答案】A

【詳解】對(duì)于A,殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故A正確；

對(duì)于B,x與y線(xiàn)性相關(guān)越強(qiáng)，(天,上)在線(xiàn)性回歸直線(xiàn)上的點(diǎn)不一定越多，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,爐值越大，則模型的擬合效果越好，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.己知函數(shù)/(X)的部分圖象如圖所示，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),則()

A.八石)>/'(%)>八七)B./'(石)>/8)>/'(%)

C.八七)>/'(%)>八為)D.八%)>/'(&)>人石)

【答案】D

，

【詳解】由/(X)的單調(diào)性可知，/(X1)<O,而/'(》2)〉0,/'(》3)〉0，

又/(x)的圖象在X2處切線(xiàn)的傾斜角大于在X3處切線(xiàn)的傾斜角，因此/'(》2)〉/(匕)，

所以/'(%)>/缶)>/'(不)，

故選：D.

5.下列四組成對(duì)數(shù)據(jù)：@(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5)；②(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),

(4,16)；③(—3,3),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,-1)；④(-2,0),(—1,百),(0,2),Q,回(2,0).其中

z(%-三)(％-7)

樣本相關(guān)系數(shù)最小的是()(附：樣本相關(guān)系數(shù)r=/"I?)

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【詳解】對(duì)于①，數(shù)據(jù)均在歹=2x+l上，故樣本相關(guān)系數(shù)為1,

對(duì)于③，數(shù)據(jù)均在歹=一工上，故樣本相關(guān)系數(shù)為-1,

對(duì)于②，可看出其數(shù)據(jù)為正相關(guān)，故樣本相關(guān)系數(shù)大于0,

對(duì)于④，顯然所有數(shù)據(jù)無(wú)法落在某一個(gè)一次函數(shù)上，故-1＜外＜1,

5555

事實(shí)上，Z(%-三)(％-7)=￡手￡%-歹2占+5?歹

i=lt=li=lz=l

55

=Zxiyi-5x-y-5x-y+5x-y=^xiyi-5x-y,

i=li=l

—555

其中x=0,2X》=0，故￡(%-元)(%-7)=￡xl.y,.-5x-y=o,

i=li=li=l

故廠(chǎng)=0,

綜上，樣本相關(guān)系數(shù)最小的是③.

故選：c

6.現(xiàn)有8道四選一的單選題，某生對(duì)其中6道題有思路，2道題完全沒(méi)有思路.有思路的題做對(duì)的概率為

0.85,沒(méi)有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為0.25.該生從這8道題中隨機(jī)選擇1題，他做

對(duì)該題的概率為()

A.0.7B.0.75C,0.8D,0.85

【答案】A

【詳解】設(shè)A表示“考生答對(duì)”，B表示“選到有思路的題”，由全概率公式得

--62

P(A)=P(B)P(A|B)+尸(8)尸(Z18)=—義0.85+—x0.25=0.7.

88

故選：A.

7.若隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為2(0＜。＜1),用隨機(jī)變量X表示A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),

1—9Q(X)

則口的最小值為()

E(X；)

A.—3B.0C.1D.3

【答案】A

【詳解】由題意可得隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,

則尸(x=l)=夕，P(x=o)=l—夕，

則￡(x)=p,Z)(x)=p(l-p),

1-9p(l-p)=9p2—9p+l=9=-3,

E(X)ppPNP

當(dāng)且僅當(dāng)92=’，即夕=工時(shí)取等號(hào)，故A正確.

P3

故選：A.

8.函數(shù)/(x)=lnx+a在區(qū)間［加河的值域?yàn)椋踖"T,e"［,則a的取值范圍為()

A.［1,+co)B.(l,+oo)C,［ee-1-l,+oo)D.(ee-1-l,+oo)

【答案】B

［詳解］易知/(x)=InX+a在阿,〃］上是增函數(shù)，

所以數(shù)/(x)=lnx+a在區(qū)間的值域?yàn)椋跧n加+a,In”+a］,

lnm+a=ew-1

又值域?yàn)椋踖"i,e"T］所以

lnn+a=ew-1

a=e'T-Inx有兩個(gè)不等的實(shí)根,

記g(x)=ex-1-Inx(x>0),則g'(x)=ex-1,

設(shè)KM=g'(x),則〃'(x)=ei+A>0,所以g(x)是增函數(shù)，又g'⑴=0,

所以0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，x〉l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g6=L而Xf+co時(shí)，g(x)->+ce,+0時(shí)，g(x)—+8，

所以a>1,

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知隨機(jī)變量X?N(O,1),y?N(0,4),則()

A.E(X)=E(y)B.D(y)=2D(X)

C,尸(X<—2)+P(X<2)=lD,P(|x|<1)>P(|y|<1)

【答案】ACD

【詳解】由題可知：X?N(O,1),y?N(0,4)

對(duì)A,E(X)=E(y)=O,故正確；

對(duì)B,￡>(y)=4,￡>(x)=l,所以。(y)=4D(X),故錯(cuò)誤；

對(duì)C,P(X<-2)=P(X>2),所以尸(X<—2)+尸(X<2)=1,故正確；

對(duì)D,由E(X)=E(y),bx<5，所以隨機(jī)變量￡的正太曲線(xiàn)更高瘦，

而隨機(jī)變量y的正太曲線(xiàn)更矮胖，所以尸(|x|wi)>尸陰wi),故正確.

故選：ACD

10.設(shè)函數(shù)/(乃=；/一3必一2》的導(dǎo)函數(shù)為/，(幻，則()

A./'(-1)=0B.x=2是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)

C./(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D./(X)在［-3,3］上的最小值為

【答案】ABD

［詳解］/(x)=x2-x-2=(x+l)(x-2).

A：因?yàn)?'(—l)=(—l+l)(-l—2)=0,所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；

B：因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí)，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)-l<x<2時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減,且/'(2)=0,

所以x=2是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；

C：f(x)=—%3—X"-2x=—x(2x2—3x—12^=0=>x=0,或2x?-3x-12=0，

3267

由2/—3x—12=0nx=土抗面,因此/(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，

4

所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；

D：當(dāng)2<x<3時(shí)，/'(x)〉O,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)—l<x<2時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)一3<x<—1時(shí),/'(x)〉OJ(x)單調(diào)遞增,所以

因?yàn)?⑵=一l，/(-3)=_1,

所以/(x)在［-3,3］上的最小值為-?，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確，

故選：ABD

11.某地新開(kāi)了一條夜市街，每晚最多能接納10萬(wàn)人.主辦公司計(jì)劃通過(guò)廣告宣傳提高客流量.通過(guò)調(diào)研，發(fā)

現(xiàn)投入的廣告費(fèi)x與每晚客流量y存在如下關(guān)系：

x/萬(wàn)元12345

V/千人568.1914.5

,—亍)8-歹)5

附6=^^—^-----------，a^y-bx,歹=8.52,2(王一元)(%一歹)=22,令/=2工，T=12.4,

之(不-可9

Z=1

55

一亍)(％一歹)=178.56,Z&—TP=595.2現(xiàn)用曲線(xiàn)C:y=?+R*2工擬合變量x與y的相關(guān)關(guān)系,

Z=1Z=1

并利用一元線(xiàn)性回歸模型求參數(shù)G的最小二乘估計(jì)，依所求回歸方程C為預(yù)測(cè)依據(jù)，則()

A.曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,8.52)

B.c,=4.8

C.若投入廣告費(fèi)9萬(wàn)元，則每晚客流量會(huì)超過(guò)夜市接納能力

D.廣告費(fèi)每增加1萬(wàn)元，每晚客流量增加3000人

【答案】BC

5

【詳解】由題可知，令f=2"T=12.4,-歹)=178.56,

7=1

5

A7)2=595.2,

Z=1

z&—f)(%—歹)

178.56

所以------------

之(—)2595.2

!=1

Cj=y—c2t=8.52—0.3x12.4=4.8,故B正確;

所以C:y=4.8+0.3x2。

令x=log212.4,則y=4.8+0.3x12.4=8.52,

所以曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(log212.4,8.52),故A錯(cuò)誤；

當(dāng)x=9時(shí)，j=4.8+0.3x29=158.4,

所以若投入廣告費(fèi)9萬(wàn)元，則每晚客流量為15.84萬(wàn)人，

因?yàn)槊客碜疃嗄芙蛹{10萬(wàn)人，

所以會(huì)超過(guò)夜市接納能力，故C正確；

由C:y=4.8+0.3x2*可知，當(dāng)x=1時(shí)y=4.8+0.3x2=5.4,當(dāng)x=2時(shí)＞=4.8+0.3x22=6,

所以當(dāng)廣告費(fèi)從1萬(wàn)元增加2萬(wàn)元，每晚客流量增加6000人，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.5名大學(xué)生到新疆、青海、西藏三個(gè)地方去支教，每名同學(xué)只去1個(gè)地方，新疆安排1名，青海安排2

名，西藏安排2名，則不同的安排方法共有.

【答案】30

【詳解】先選1名去新疆，再選2名去青海，剩下的2名去西藏，方法數(shù)為C；C；C；=30,

故答案為：30.

TTTT

13.已知/(X)滿(mǎn)足/(x)=/'(§)sinX—cos2x,則/(x)在§處的導(dǎo)數(shù)為.

【答案】2百

JTTT

【詳解】/(%)=/'(§)sinx-cos2xn/'(%)=/'(j)cosx+2sin2x,所以有

故答案為：2百

14.十進(jìn)制計(jì)數(shù)法與二進(jìn)制計(jì)數(shù)法有如下轉(zhuǎn)換規(guī)律：若十進(jìn)制計(jì)數(shù)法下的"(〃eN*)滿(mǎn)足：

kklk2

n=a0x2+atx2~+a2x2~+---+akx2°,a0=1,ate{0,1},(i=1,2,3,…,左),則其在二進(jìn)制計(jì)數(shù)

法下可記為(4。避2…%)2(左WN).例如：1在二進(jìn)制中表示為⑴2,2表示為(IO1,3表示為(11月,4表

示為(100)2,7表示為(111)2.記/(〃)為生,。2,…，勾中o的個(gè)數(shù)，如/(2)=1,/(4)=2,

/(7)=0,則從1到255這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中，/(〃)=2的個(gè)數(shù)為.

【答案】56

【詳解】2°<〃<255<28=(100000000)2，要使/(〃)=2,

則"是2?7位二進(jìn)制數(shù)，恰好有兩個(gè)0,

所以有C：+C；+C：+C；+C；+C"C；=C；+C；+C：+C：+C"C；=C；=8x7x6=56個(gè)滿(mǎn)足題意

1x2x3

的〃的值.

故答案為：56.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(耳=(%-2)6".

(1)求函數(shù)/(X)的極值；

(2)畫(huà)出函數(shù)/(x)的大致圖像.

【答案】(1)極小值為/(l)=—e,無(wú)極大值.

(2)圖像見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

/(x)=(x-2)ex,函數(shù)定義域?yàn)镽,

/1X)=ex+(x-2)ex-(x-l)ev,

/，(x)<0,解得x<l；/'(x)〉0,解得x>l,

即函數(shù)/（x）在（-8,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增,

極小值為/。）=-e,無(wú)極大值.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)x<2時(shí)，/（x）<0；/（O）=-2,/（l）=-e,/（2）=0,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可畫(huà)出函數(shù)/（x）的大

致圖像，如下圖所示：

16.已知在l[x-的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

（1）求含好的項(xiàng)的系數(shù);

（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

45

【答案】（1）一；（2）答案見(jiàn)解析.

4

1n—2r

【詳解】Tr+l=C：（-^x-

⑴『=。二〃=1。

10-2r=2.」=2.,?(一；)2=?

3

10-2r

(2)Q------eZ.-.r=2,5,8

3

245/45

展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為qjX=-，--C-；0（一；）5=￡'*（一；）8》

4256/

17.臺(tái)兒莊古城景區(qū)面向全國(guó)應(yīng)屆中、高考學(xué)生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免費(fèi)暢游古

城活動(dòng).景區(qū)為了解這些學(xué)生游客對(duì)其開(kāi)展的“國(guó)風(fēng)畢業(yè)照”活動(dòng)的滿(mǎn)意度，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到

如下2x2列聯(lián)表：

調(diào)查

結(jié)展

不滿(mǎn)意滿(mǎn)意合計(jì)

組別

高考生游客80120200

中考生游客13070200

合計(jì)210190400

(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析滿(mǎn)意情況是否與學(xué)生的組別有關(guān)；

(2)在高考學(xué)生游客的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪(fǎng)談,

求這3人中滿(mǎn)意人數(shù)X的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

附：〃(ad-bc￥,

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/N左)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)滿(mǎn)意情況與學(xué)生的組別有關(guān)

(2)答案見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榘艘籛e#—=400x(80x70—120x130)2。2506〉w,

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)200x200x210x190

所以滿(mǎn)意情況與學(xué)生的組別有關(guān);

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知:

選出5人中，滿(mǎn)意人數(shù)為5義120=3,不滿(mǎn)意人數(shù)為5-3=2,

80+120

由題意可知：X=1,2,3,

尸(x=l)=當(dāng)CY=上3

\'C510

3

一)=

15

C3C01

尸(X=2)=*」

l/C；10

所以這3人中滿(mǎn)意人數(shù)X的概率分布列為:

X123

331

P

To5To

331

￡(用=—xl+-x2+—x3=1.8,

10510

3371

°(x)=—x(l-1.87)+-x(2-1.8)+—x(3-1.87)=0.36

1

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx+〃--1+(〃_1)X(QeR).

x

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程：

(2)若/(x)20,求。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，記/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),證明：對(duì)Vxe(O,+。)，不等式/'(x)<+2x—3恒成

立.

【答案】⑴>=0

(2)ae[l,+oo)

(3)證明見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

由題意得/(X)的定義域?yàn)?0,+8)，

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=xlnxH----1,則/'(x)=l+lnx——,

XX

所以/'(1)=0,又/(1)=0,

所以所求切線(xiàn)方程為y=0.

【小問(wèn)2詳解】

由題得/'(%)=Inx——+ci,x>0,

JC

令g(x)=/'(x)，則g，(x)=L?=V^,

XXX

若a",則g[x)>0,即/'⑴在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增;

因?yàn)?'(1)=0,所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，()

令0(x)==l+lnx-J-3x+3,

x

m"”、12、—3x3+x~+2

則"(x)=_+F_3=------------

XXX

-3(X3-1)+(X2-1)

=P

3(x-l)(^x2+x+l^-(x-l)(x+l)

=P

(x-l)(3x?+2x+2)

x3

因?yàn)?—+2x+2〉0恒成立，所以由"(x)>0,得0<x<l,由。'(x)<0,得x>l,

所以夕(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則夕(X)WQ(1)=0,所以/'(X)<3(X_1).

綜上可知，/,(x)<3(x-l)<eA-1+2x-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立，

所以/'(x)〈ei+2x—3.

19."隨機(jī)游走”在空氣中的煙霧擴(kuò)散等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外

力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位.

(1)求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次后位于(3,3)的概率；

(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(XJ),記xy的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)記第。秒末質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為夕

⑴求夕2，夕4；

(ii)求力?

參考公式：S(c：)2=q?.

左=0

【答案】(1)—

1024

(2)分布列見(jiàn)解析，期望為0；

191[(2〃)丁

⑶⑴%二—八

16"(〃!),

【小問(wèn)1詳解】

質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次后位于(3,3),6次移動(dòng)中只能有3次向右，3次向上，因此概率為

k4y

【小問(wèn)2詳解】

因在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點(diǎn)處，故在第2秒末可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

(-1,1),(1,1),(1-1),(T-1)各兩種情形，(0,2),(2,0),(0,-2),(—2,0)各一種情形，(0,0)有4種情形,共計(jì)

16種情形,

隨機(jī)變量X表示肛的取值，故X的可能取值為0,1,-1,

4+414141

對(duì)應(yīng)的概率分別為：P(X=0)=——=—,P(X=1)=—=-,P(X=-1)=—=-,