雙曲線

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激活思維

1.（人A選必一P121練習(xí)T4改）已知雙曲線，一色=1（。>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Fi與

F2,焦距為8.若M是雙曲線上的一點(diǎn)，且|MB|=5,則IMF,的值是（C）

A.1B,3

C.9D.1或9

【解析】由題意得2c=8,可得c=4,所以層=02—62=16—12=4,解得。=2.根據(jù)雙

曲線定義可得||MB|一|MB||=2a=4,即|5一豳人||=4,解得|MB|=1或|MBI=9.當(dāng)|M6I=1

時(shí)，|MR|+|MB|=6<8,不滿(mǎn)足題意，故舍去；當(dāng)陷&|=9時(shí)，陷入|十幽&|=14>8,滿(mǎn)足

題意.所以|M&|=9.

2.（人A選必一P124練習(xí)T2改）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8,離心率e=/的

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（B）

x2y2.x2y2

A.V16=1B-169=1

CD"j

J34i43

【解析】由頂點(diǎn)在X軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為今一匕>。）?因?yàn)閮身?/p>

點(diǎn)間的距離是8,e=5],所以a=4,c=5,b=3,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/言一5?=1.

2X2y2

3.（人A選必一P127習(xí)題T3）若直線丫=寸與雙曲線了一?=10>0）相交于兩點(diǎn)，

且A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為一9,則該雙曲線的離心率e=_"p_.

，yD，B（X2,丁2）,則X1-X2

—11只〃2

1~T=WJ=-9,解得/=6,所以e1=叵

3~3-

a218

4.與橢f圓蘇+金=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e5=1的雙曲線的漸近線方程為上3蘭口

【解析】依題意，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是H（—5,0）,F2（5,0）,故可設(shè)雙曲線方

jp-，555

程為^一方=1（。>0,b>0）.由雙曲線的離心率6=不可得￡=不解得。=4，所以6=3,從

b3

而雙曲線的漸近線方程為y=+-x=±^.

聚焦知識(shí)

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,B的.距離的差的絕對(duì)值一等于常數(shù)(小于戶(hù)BI)的點(diǎn)的軌跡叫做

雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做一雙曲線的焦點(diǎn)」兩焦點(diǎn)間的距離叫做.雙曲線的焦距..

集合P={MI|MB|—|MF2||=2(Z},|FIF2|=2C,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

(1)當(dāng)2a(2c時(shí),點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線；

(2)當(dāng)2a=2c時(shí),點(diǎn)尸的軌跡是兩條射線；

(3)當(dāng)242c時(shí),點(diǎn)尸不存在.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

y2x21

標(biāo)準(zhǔn)層尻一1廬=1

方程

(cz>0,b>0)(a>0,b>Q)

圖形

范圍或xW—〃，y￡Rx￡R,yW—Q或

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：一坐標(biāo)軸一;對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)Ai(—a,0),A2(〃，0)4(0,—a),42(0,CL)

ba

漸近線產(chǎn)士講

/y=±ar

離心率e=。，e￡_(l,+8)_,其中c=yjc^+b2

線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)1441=2a,線段81員叫

實(shí)虛軸做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)網(wǎng)民|=上；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，

6叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,c

<?=a2+fe2(c>a>0,c>b>0)

的關(guān)系

3.幾個(gè)常用結(jié)論

2b2

(1)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為詈.

(2)如圖，尸為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)i，B為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且/APF2=0,則△★P后

的面積為上萬(wàn)

C7

tan2

(3)焦點(diǎn)到漸近線的距離為6.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目BII雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

例1-1已知圓C1：(尤+3>+y2=i和圓C2：(無(wú)一3)2+y2=9,動(dòng)圓/同時(shí)與圓Ci及圓

C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為f一'=i(xW-1).

【解析】如圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和氏根據(jù)兩圓外切的條件,

得|MCi|—IAGI=|K4|,\MC2\-\BC2\=\MB\.因^J\MA\=\MB\,所以|MG|一|AG|=|MC21TBe2I,

即|MC21TMeI|=|BC2MAGI=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)Cz,G的距離的差是常數(shù)且小于IC1C2I

=6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與Ci的

距離小)，其中a=l,c=3,則廿=8,故點(diǎn)M的軌跡方程為％2—^-=l(xW—1).

O

(例1-1答)

，總結(jié)提煉》

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定a,b或c,從而求出層，F(xiàn).

(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為

/=71(/IWO),再根據(jù)條件求4的值.

變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/：y=2x+10與雙曲線^=1的一條漸近

線平行，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線/上，則雙曲線的方程為Ag=L.

a=y[5,

故雙曲線的方程為后一丟=1.

【解析】由題意得《，=5b=2后

CD,

^c2=a2+b2,{c=5.

目BE雙曲線的基本性質(zhì)

視角1離心率

例2-1（1）（2024?新高考I卷）設(shè)雙曲線C：5一￡=1（。>。，6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

尸1,尸2,過(guò)B作平行于y軸的直線交C于A,2兩點(diǎn)，若國(guó)川=13,|AB|=10,則C的離心

率為三

【解析】由題可知A,B,6三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，如圖，設(shè)A在第一象限，將x=c代入

?一宗=1,得尸即4,￡）,“-￡）,故四尸等no,巾=?=5,又小-

h2

|A尸2尸2〃，得|AFI|=|AF2|+2〃=2〃+5=13,解得〃=4,代入工=5得。2=20,故，二/十廬

c63

=36,即c=6,所以e='=W=]

（例2-1（1）答）

（2）（2024?淮安、連云港期末）已知雙曲線C：胃一次=1（40,Q0）的左頂點(diǎn)為M,左、

右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,過(guò)&作X軸的垂線交C于A,2兩點(diǎn)，若為銳角，則C的離

心率的取值范圍是（B）

A.（1,?。〣.（1,2）

C.（小,+8）D.（2,+8）

【解析】令x=c,得去一方=1,解得y=±『則M（—a,0）,A（c,勺，B（c,一勺，

所以易=（c+a,MB=[c+a,一媒.因?yàn)?AMB為銳角，所以說(shuō)V曲>0,即（c+a>

—^2>0,即°2—uc—2a2<0,即e?—e—2<0,結(jié)合e>l,解得l<e<2.

〈總結(jié)提煉〉

求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a,6,c的

方程或不等式，利用和e=：轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（或不等式），通過(guò)解方程（或不等

式）求得離心率的值（或范圍）.

變式2-1（2024.荷澤一模）已知斜率為小的直線過(guò)雙曲線C：，一￡=l（a>0,b>0）的

右焦點(diǎn)F且交雙曲線右支于A,B兩點(diǎn)，A在第一象限，若|。/|=|AF|,則C的離心率為

1±亞

-3--

【解析】如圖，過(guò)A作4。，無(wú)軸，垂足為。，因?yàn)锳B的斜率為小，貝ijNAED=60。,

\AF\=\OF\=c,所以|AQ|=^c,DF=^c,A停叫坐J因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線也一方=1上，所

即'一八』擊，于是90-6&?〃=。，進(jìn)而…'+4=。,

初/=28+2市428—2市r、,心、，1+―

解骨e1——寸—或??=一丁一，又e>l,所以e―一寸一.

（變式2-1答）

視角2漸近線

例2-2（2024?韶關(guān)二模）已知雙曲線C：，一$=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為R過(guò)點(diǎn)廠

的直線/：3x+4y+?i=0與y軸交于點(diǎn)B,與雙曲線C交于點(diǎn)4A在y軸右側(cè)）.若B是線

段AF的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為（C）

VIr1

A.y=±i^-xB.y=^x

C.y=±\[3xD.y=±2x

【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為尸2,連接在△AW2中，尸O|=|OF2|,\FB\=

\BA\,MAF2//OB,且|A3|=2|OB|.由直線/：3x+4y+m=0可得其一子0J,B\0,-4J,

貝!1A停，一3.在雙曲線C：提一方=1（。>0,6>0）中，可得A（c,一3,則c=￡,一.=

—y,則有■=竽,即廬又c2=a2+b2,則有4b4—9a49a2/?2=0,整理得[?。?

□份+3]=°，解得條力’則雙曲線°的漸近線方程為尸力無(wú)

（例2-2答）

<總結(jié)提煉A

（1）漸近線的求法：求雙曲線，一本=1（〃>0,匕>0）的漸近線的方法是令最一方=0,即

得兩漸近線方程為、土方=0（或尸土3）.

（2）雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點(diǎn)是漸近線方程和離心率.在雙曲線，一方=1（。>0,b>

b

0）中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率攵=±'滿(mǎn)足關(guān)系式，=1+產(chǎn).

變式2-2（2024.黃山宣城二檢）已知雙曲線E：J-p=l（?>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分

別為E，&，過(guò)尸2作一條漸近線的垂線，垂足為A,延長(zhǎng)巳A與另一條漸近線交于點(diǎn)B.若

尸I=3SAAOB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線E的離心率為（D）

A.小B.2

C.小D.乖

bh

【解析】由題意知，雙曲線E的兩條漸近線方程分別為>=夕，y=一1，過(guò)點(diǎn)B且與

hZ7

漸近線y=/x垂直的直線方程為y=-石（X-C）.如圖，聯(lián)立可解得

A（J7，表，點(diǎn)F1（—C,0）到漸近線y=一宗的距離d=—/a（m之=6.因?yàn)镾ABOFi=

ba2ab

卜卜ClCChc

3s△A05,所以點(diǎn)A到漸近線y=—下的距離為彳，所以一//即，=6。2,所以;;

C4,J/[h\JCi

=布,即雙曲線E的離心率為

（變式2-2答）

視角3最值與范圍

例2-3（2024?泰安一模）已知尸是雙曲線C：%2一9=1的右焦點(diǎn)，尸是C左支上一點(diǎn),

O

A（0,676）,當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為（D）

A.36-76B.24^6

C.18^6D.12乖

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為由雙曲線定義知，|Pf]=2a+|尸尸1],所以的

周長(zhǎng)為|B4|+|PE+|Af]=|B4|+2a+|P尸1|十|4月=|明+|「人|+|4/|+2°,由于2a+|A~是定值,

要使的周長(zhǎng)最小，要?jiǎng)e+|尸冏最小,而照|+|PB閆AHI，當(dāng)且僅當(dāng)P,A,Pi共線.因

為A（0,6^6）,Fi（-3,0）,所以直線AR的方程為金+俞=1,即x=$金一3,代入X2—

g=1,整理得丁+6、同-96=0,解得y=2#或y=—84(舍去)，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

2#,所以SAAPF=SAAFFI—SAPFFi=JX6X6#—X6X2#=12加.

目賴(lài)間直線與雙曲線

例3(2024?開(kāi)封三模)已知4(—1,0),8(1,0),對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)QW±l),

PMLx軸于點(diǎn)且|AM，1PM,|3M成等比數(shù)列.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

【解答】由題意可得1(元,0),xW±l,則|AM|=|x+l|,FMTyl，IBMTx-1|.由于HM，

|PM，IBM成等比數(shù)列，所以1PM2=以會(huì)出“|,即|y|2=|尤+1IW—1|=3=附一1|,故點(diǎn)尸的軌

跡C的方程為產(chǎn)=|/-1|。#±1).

(2)已知過(guò)點(diǎn)A的直線/與C交于。，N兩點(diǎn)，若恁?俞=8,求直線/的方程.

【解答】由(1)知點(diǎn)P的軌跡C的方程為：當(dāng)x>l或x<—1時(shí)，％2—丁=1,當(dāng)一l<x

<1時(shí)，-+y2=i.如圖.由題意可知直線/的斜率存在，且斜率左W±1.設(shè)/的方程為y=?x

+D.聯(lián)立A\y=—k(yx2+l=)i,(x<T或Qi),消去y得(1—嚴(yán)后—2七—乃一1=°'則卬。=

一於一1F+1佯+1

]_后，因?yàn)閄A=-1,所以XQ=「吩,故10=4]_'+1v+i

二春所以d一s,

fy=Z(x+l),^一1

聯(lián)立彳2,2“,1、消去y得(l+F)f+2&+Q—1=0,則XUN=I因?yàn)橛?/p>

［靖+y=i(—1<x<1),1十/r

=-1,所以XN=］+,，故加=%(］+嚴(yán)+1)=］+p所以M1+M，］+儲(chǔ))由AQ，AN

二(5?+1)(］；31+1)+］為-解得/=/今左=±乎,故直線/的方程為了=士坐

(x+1).

(例3答)

〈總結(jié)提煉〉

數(shù)形結(jié)合思想在判斷直線與雙曲線位置關(guān)系中的應(yīng)用：

（1）當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)

系確定其位置關(guān)系.

（2）當(dāng)直線斜率一定時(shí)，通過(guò)平移直線，比較直線斜率與漸近線斜率的大小關(guān)系來(lái)確定

其位置關(guān)系.

新視角I橢圓和雙曲線的第三定義

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)4（—a,0）,A2（a,0）連線的斜率的乘積等于常數(shù)/—I的點(diǎn)的軌跡叫

做橢圓或雙曲線，其中兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓或雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).當(dāng)e2—1>0時(shí)，軌跡為雙曲

線，當(dāng)e2—1G（—1,0）時(shí)，軌跡為橢圓.

22

例4（1）（2022.全國(guó)甲卷）已知橢圓C：方=13>匕>。）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，。均在

C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直線AP,的斜率之積為今則C的離心率為（A）

A.坐B(niǎo).坐

C.3D.g

【解析】方法一:（設(shè)而不求）設(shè)P（%i,%）,則。（一xi,yi）.由MP?0Q=2，A（—〃，0）,

/（/一君）

得合=T^=：.由3+￡=l,得U廳）,所以::=.即

xi-ra一為十〃4〃。/a-xi-ra4

泊所以橢圓C的離心率《弋=\^1=坐

方法二：（第三定義）設(shè)右頂點(diǎn)為B,連接PA由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知而B(niǎo)=—00，故kpA,kpB

=嬴（一m）=—由橢圓的第三定義得kpA-kpB=e2—\=—^,所以e=2-

（2）已知過(guò)原點(diǎn)。的直線A/N與雙曲線C：，一方=1交于N兩點(diǎn)，P是雙曲線C

上異于的點(diǎn)，若直線的斜率之積作必?趨w=/則雙曲線C的離心率e=（A）

A.|

B-4

C.D,2

【解析】方法一：設(shè)P（xo,jo）,M（x\,ji）,則N（—xi，—yi）.由可得'

'%0X]X。~~X1

=土，即1又因?yàn)槭荆?，Mx1，X）均在雙曲線上,所以當(dāng)一患=1,3一臺(tái)=1,作

差可得焉〃2才;〉方y(tǒng),所以*=1，所以雙曲線。的離心率為e=，=、/l+*=\

53

方法二：（第三定義）由雙曲線第三定義得作區(qū)?作w=/—1=不又e>l,故e=].

〈總結(jié)提煉〉

若M,N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)（PM,PN的斜率都存在），

7,2b2

則kpM-kpN=—^2=e2—1,在雙曲線中此結(jié)論為kpqkpN=7=層—1.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?茂名二模X多選）已知雙曲線C：4%2-/=1,直線/：>=丘+1（%>0）,則下列說(shuō)

法正確的是（ABD）

A.若左=2,貝IJ/與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

B.若k=2y[2,則/與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

C.若/與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，貝。2<%<2也

D.若/與C沒(méi)有公共點(diǎn)，則k>2吸

h

【解析】因?yàn)殡p曲線的方程為底一步=1,其漸近線方程為尸±務(wù)，即尸±2x.當(dāng)2

J4X2—y2=l,

2時(shí),/與漸近線平行，則直線/與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確;聯(lián)立

\y=kx+\,

消去y得（4—M）X2—2乙一2=0,當(dāng)直線/與雙曲線C相切時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，/=（2與2

+8（4—m）=0,且4一出片0,解得左=±2g，所以當(dāng)左=2g時(shí)，直線/與雙曲線C有且只

’4一R#0,

有一個(gè)交點(diǎn)，故B正確；若/與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，則又Q>0,解

/=(2與2+8(4—F)>0,

’4一產(chǎn)N0,

得0<k<2或2<k<2?故C錯(cuò)誤；若/與C沒(méi)有公共點(diǎn)，貝（/=（2?2+8（4—F）<0,

Q0,

解得k>2巾,故D正確.

2.（2025?青島期初）已知雙曲線C：，一g=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為H，以

F13為直徑的圓和C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)A,直線AFi交C的另一條漸近線于點(diǎn)B,

F\B=BA,則C的離心率為（C）

A.啦B.小

C.2D.3

【解析】如圖，因?yàn)閺V電=或，所以點(diǎn)8為線段EA的中點(diǎn)，且則

可得因?yàn)橹本€。4,OB是雙曲線的漸近線，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知NAOB

=/FiOB,所以NAQp2=NPiOB=NAOB=^,可得直線。4的斜率為，=tan冷=小，則e

yjl+（^f=y/T+3=2,所以雙曲線C的離心率為2.

（第2題答）

3.（2025?杭州一模）已知雙曲線G，。2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1），離心率分別記為ei，及，設(shè)雙曲

線G,。2的漸近線分別為y=±k述和尸土%如若左的=1,則言=」一?

【解析】當(dāng)左1=女2=1時(shí)，61=改，則/'=1.當(dāng)上2時(shí)，不妨設(shè)0Vk1V1V左2,Cl：（y

匕2

27

—kix）（y+kix）=m,因?yàn)殡p曲線G經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,所以加=1—后，所以Ci：J［；-j*-=

1后一

1.因?yàn)?＜俗＜1,所以后＜1,則雙曲線Ci的焦點(diǎn)在y軸上，所以ei

72

同理C2：/了一Qy=i,因?yàn)楹螅?,所以舄＞1,則雙曲線C2的焦點(diǎn)在X軸上，所以e2

1一后2

,所以艮噎=1.綜上所述,小

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?全國(guó)甲卷）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0,4）,（0,—4）,點(diǎn)（一6,4）在該雙曲

線上，則該雙曲線的離心率為（C）

A.4B.3

C.2D.小

22

【解析】設(shè)尸1(0,-4),F2(0,4),p(—6,4),則尸上2|=2C=8,|PFI|=A/6+(-4-4)

=10,|PF2I=^/62+(4—4)2=6,則2〃=|尸丹］一|尸尸21=10—6=4,則e=|^=^=2.

2.（2025?漳州期初）已知雙曲線CV—,2=4,點(diǎn)/為。上一點(diǎn)，過(guò)M分別作。的兩條

漸近線的垂線，垂足分別為A,B,則四邊形。4M5（O為原點(diǎn)）的面積為（B）

A.1B.2

C.4D,6

【解析】如圖，雙曲線C：x2~y2=4,即：―9=1,為等軸雙曲線，漸近線的夾角為

90°,則四邊形。4M3為矩形.設(shè)點(diǎn)ri）,且機(jī)2一層=4,點(diǎn)柩機(jī)，幾）到漸近線了一,=

。的距離為與襄，點(diǎn)M>,幾）到漸近線x+y=0的距離為丹青州,則四邊形OAM5的面積

\m-n\\m-\~n\|m2—n2|

為小,巾=F-=2.

（第2題答）

3.（2024.天津卷）已知雙曲線盤(pán)一卓=1伍>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為吊，F(xiàn)i，P是雙

曲線右支上一點(diǎn)，且直線尸尸2的斜率為2,△PEB是面積為8的直角三角形，則該雙曲線

的方程為（C）

【解析】由題可知，點(diǎn)P必落在第四象限，/BPF2=90。.設(shè)|PBI=〃z,NPF2FE1,

2

ZPFIF2=02,由枕/2=tana=2,得5皿4=下.因?yàn)?尸1尸產(chǎn)2=90°,所以dB?內(nèi)明2=—1,

求得kPFi=—^,

Sin

即tan6*2=2,出飛由正弦定理可得仍碎：1PBi：|FiF2|=sin仇：sin

&：sin900=2：1：小，則由尸6|=%，得|PFI|=2/W,?EI=2c=小"2,由5APFIF2=1

|PBHP&I=T%2根=8,得根=2吸，則|「外|=2吸，|「西|=4啦，|為歹2|=2。=2也，c=①.

由雙曲線第一定義可得|PFi|一|尸尸2|=2a=2吸，a=yf2,二^=2吸，所以該雙曲線的

方程為作=1.

Zo

(第3題答)

4.(2023?全國(guó)乙卷)設(shè)A,8為雙曲線f一5=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中

點(diǎn)的是(D)

A.(1,1)B.(-l,2)

C.(1,3)D.(-1,-4)

【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,選項(xiàng)均不符合.當(dāng)心B存在時(shí)，

丁1+丁2

設(shè)A(xi,Jl),B(X2,>2),則A5的中點(diǎn).2,"),可得=koM=-T—=

2

p-^=l,22

桂藍(lán).因?yàn)锳,B在雙曲線上，所以］之法兩式相減得(看一場(chǎng)一書(shū)逆=0,所以

y=9x—8,

kAB，koM=%_號(hào)=9.對(duì)于A,可得koM=1,左AB=9,則直線AB：y=9x—8,聯(lián)立，

x§=i,

消去y得72~—2X72x+73=0,此時(shí)/=(-2><72)2—4X72X73=—288<0,所以直線A8

oQ

9

與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,可得無(wú)OM=-2,kAB=-2則直線AB：y=—^x—

95

尸一了一

|,聯(lián)立，

,消去y得45/+2X45x+61=0,此時(shí)/=(2X45)2-4X45X61=

fl,

-4X45X16<0,所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,可得如”=3,kAB

=3,則直線AB：y=3x,由雙曲線方程可得a=l,b=3,則直線AB：y=3x為雙曲線的漸

,,、9

近線，所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,koM=4,fcw=4，則直線AB：

消去y得63_?+126x—193=0,此時(shí)1=1262+4X63X193

>0,故直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

二、多項(xiàng)選擇題

72

5.(2024?邯鄲三調(diào))已知雙曲線C：三一三=1，貝1kAC)

zIoJz

A"的取值范圍是(一6,3)

B.C的焦點(diǎn)可在尤軸上也可在y軸上

C.C的焦距為6

D.C的離心率e的取值范圍為(1,3)

y2v2_

【解析】對(duì)于A,因?yàn)镮—X—^=1表不雙曲線，所以(4+6)(3—2)>0,解得一6</

ZIOJ-Z

<3,故A正確；對(duì)于B,由A項(xiàng)可得一6<U<3,故%+6>0,3—2>0,所以C的焦點(diǎn)只

能在x軸上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,設(shè)C的半焦距為c(c>0),則，=4+6+3T=9,所以c

,.3

=3,即焦距為2c=6,故C正確；對(duì)于D,離心率]因?yàn)橐?<AV3,所以0V

y[I+6<3,所以e的取值范圍是(1,+-),故D錯(cuò)誤.

6.(2024?蘇中蘇北七市二調(diào))己知雙曲線C："一縈=l(b>0)的右焦點(diǎn)為凡直線/：龍+

外=0是C的一條漸近線，P是/上一點(diǎn)，貝1(AD)

A.C的虛軸長(zhǎng)為2^2

B.C的離心率為優(yōu)

C.FN的最小值為2

D,直線尸尸的斜率不等于一堂

【解析】雙曲線C：，一%=1的漸近線方程為公±2y=0,依題意得一方=一是解得》

■\]a2+b2^6

=也.對(duì)于A,C的虛軸長(zhǎng)為2b=2吸，故A正確；對(duì)于B,C的離心率6=

a—2，

/y廠2=也,即產(chǎn)川的

故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,點(diǎn)F(加，0)到直線/：尤+巾y=0的距離為

/2+(也)2

最小值為也，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,直線/：x+也y=0的斜率為一半，而點(diǎn)尸不在/上，點(diǎn)

P在/上，則直線尸尸的斜率不等于一半，故D正確.

三、填空題

/2

7.(2024.新鄉(xiāng)三模)若雙曲線E：齊定一婿v｝=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則實(shí)數(shù)。=」_.

(a2+a+2=22,

【解析】顯然4+。+2>0恒成立，則雙曲線E的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，于是,

[2?+3>0,

所以。=1.

8.(2025?湛江期中)已知雙曲線C：^~^2—l(a>0,b>0)的焦距為2c,直線/：*+言=

1與C的交點(diǎn)為A,若點(diǎn)A到C的左焦點(diǎn)的距離不小于點(diǎn)A到C的右焦點(diǎn)的距離的5倍,

則c的離心率的最大值為_(kāi)也_.

【解析】記C的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)尸2,所以IAEI—|4尸2|

=2a①，由/："巖=1的斜率為《可得cos/A出尸產(chǎn)包老胡部叢=幼，聯(lián)立①②，

Cizcciz^\r\.r2|乙cc

■一〃23〃2+。23次+,_〃2

解得|A&I=F-,|AF1I=一^,故F^N5X—k，解得?W陋，則C的離心率的最

大值為也.

9.（2024.鄭州三模）已知雙曲線C：，一%=l（a>0,b>0）的離心率為吸，A,8分別是

它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合），點(diǎn)P在雙曲線C上且第+初=2成，

△A0B的面積為6,則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)2痘.

【解析】如圖，由可得4=6，故雙曲線C：a―5=1的漸近線

方程為y=±x,不妨設(shè)A（xi,xi）,B（X2,一冗2）,因?yàn)椤?+。8=20尸，則點(diǎn)尸為A5的中點(diǎn)，

則P忤3，將其代入x2—y2=a2中，整理得益%2=。2.又|。4|=也|刈，|03|=也僅2|,

且041.08,則△AO8的面積為《Xp|xi|X小悶=6,即片=6,解得。=#,故雙曲線的

實(shí)軸長(zhǎng)為2乖.

四、解答題

10.（2025?濰坊期初節(jié)選）已知雙曲線C：'—胃=l（a>0,b>0）的焦距為4,離心率為

2,Fi，B分別為C的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A（無(wú)1，yi），8（X2,竺）都在C上.

（1）求雙曲線C的方程；

<2(7=4,

【解答】由題意可得<5=2,故雙曲線。的方程為f一丁=

^a2+b2=c2,

1.

(第10題答)

(2)若成2=2工B,求直線AB的方程.

【解答】根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線AB的方程為x=my+2,由第2=

x=my-\-2,

2不得”=—2y2,A,8都在右支上，聯(lián)立｛,y2消去X可得⑶層-l)y2+12/"y+9

卜一3=1，

—12"/9

—0,易知3病一1W0,其中/=36機(jī)2+36>0怛成=，y\yi=~^~27，~27，代入

5m—15m—1

八、*一/曰12m~9y/12m丫—9廿^^35

yi=—2/，消兀侍”=藐口，帔9=一病一1)，所以底K=2(3-2—1)，解侍m=±35，

滿(mǎn)足/>0,所以直線AB的方程為x土隔一2=0.

11.(2024.廣州沖刺訓(xùn)練(一))己知4(-1,0),2(1,0),平面上有動(dòng)點(diǎn)P,且直線AP的

斜率與直線BP的斜率之積為1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q的方程.

【解答】設(shè)尸(%,y),xWl,貝U0—加=]；[%二]]=1，故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方

程為x2—》2=1(乃￡±1).

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線與。交于點(diǎn)在第一象限)，過(guò)點(diǎn)5的直線與。交于點(diǎn)N(N在第

三象限)，記直線AM,5N的斜率分別為質(zhì)，ki,且％1=4后.試判斷△AMN與△5MN的面積

之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】由題知kAM,