浙江省慈溪市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編同步訓(xùn)練考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．32、如圖，嘉嘉在A時(shí)測(cè)得一棵4米高的樹的影長(zhǎng)為，若A時(shí)和B時(shí)兩次日照的光線互相垂直，則B時(shí)的影長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm4、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC為邊作正方形，這兩個(gè)正方形的面積和為（

）A．5 B．9 C．16 D．255、如圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b，且，大正方形的面積是9，則小正方形的面積是（

）A．3 B．4 C．5 D．66、如圖，在水塔O的東北方向24m處有一抽水站A，在水塔的東南方向18m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管AB的長(zhǎng)為（

）A．40m B．45m C．30m D．35m7、如圖，正方形ABCD中，AB＝12，將△ADE沿AE對(duì)折至△AEF，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，G剛好是BC邊的中點(diǎn)，則ED的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，某希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，且旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長(zhǎng)16m，你能求出旗桿在離底部________m位置斷裂．2、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，則BE的長(zhǎng)為________________．3、如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了__米．4、如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明將一張邊長(zhǎng)為的正方形紙片，沿著邊上一點(diǎn)與點(diǎn)的連線折疊，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，，則的面積為______．5、如圖，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為__．6、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是__．7、我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍叮ㄕ?、尺是長(zhǎng)度單位，1丈10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處，問(wèn)水的深度是多少？則水深DE為_____尺．8、若△ABC中，cm，cm，高cm，則BC的長(zhǎng)為________cm．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判定△ABC的形狀．2、《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問(wèn)繩索有多長(zhǎng)．”3、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡(jiǎn)整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時(shí)，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ354、如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留到0.1km，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）；（2）確定C港在A港的什么方向．5、有一只喜鵲在一棵高3米的小樹的樹梢上覓食，它的巢筑在距離該樹24米，高為14米的一棵大樹上，且巢離大樹頂部為1米，這時(shí)，它聽到巢中幼鳥求助的叫聲，立刻趕過(guò)去，如果它的飛行速度為每秒5米，那么它至少幾秒能趕回巢中？6、已知：在中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在同一條直線上，且，【問(wèn)題初探】（1）如圖1，若平分，求證：．請(qǐng)依據(jù)以下的簡(jiǎn)易思維框圖，寫出完整的證明過(guò)程．【變式再探】（2）如圖2，若平分的外角，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，問(wèn)：和的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎？若改變，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并證明；若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，在的條件下．若，求的長(zhǎng)度．7、如圖，，兩個(gè)工廠位于一段直線形河道的異側(cè)，工廠至河道的距離為，工廠至河道的距離為，經(jīng)測(cè)量河道上、兩地間的距離為，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠．(1)設(shè)，請(qǐng)用的代數(shù)式表示的長(zhǎng)______；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)為了使，兩廠到污水處理廠的排污管道之和最短，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出污水廠位置，并求出排污管道最短長(zhǎng)度？(3)通過(guò)以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你求出的最小值為多少？-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過(guò)平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長(zhǎng)AE，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【考點(diǎn)】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．2、A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=，∴=，令DE=x，則EF=x+8，∴，整理，得16x=32，解得x=2．故選：A．【考點(diǎn)】本題考查利用勾股定理求線段長(zhǎng)，拓展一元一次方程，正確的運(yùn)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3、B【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選B．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開——最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．4、D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，即兩個(gè)正方形的面積和為25故選：D【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5、A【解析】【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積?4個(gè)直角三角形的面積，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面積為9，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面積為：a2+b2=9，∴2ab=15?9=6，即ab=3，∴直角三角形的面積為：，∴小正方形的面積為：，故選：A．【考點(diǎn)】此題主要考查了完全平方公式及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式及勾股定理是解題關(guān)鍵．6、C【解析】【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【詳解】解：∵OA是東北方向，OB是東南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故選：C．【考點(diǎn)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．7、C【解析】【分析】連接AG，證明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE對(duì)折至△AEF，則EF＝DE，設(shè)DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，則Rt△EGC中根據(jù)勾股定理列方程可求出DE的值．【詳解】如圖，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE對(duì)折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共邊，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G剛好是BC邊的中點(diǎn)，∴BG＝FG＝，設(shè)DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根據(jù)勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的長(zhǎng)是4，答案選C．【考點(diǎn)】本題考查了正方形和全等三角形的綜合知識(shí)，根據(jù)勾股定理列方程是本題的解題關(guān)鍵．二、填空題1、6【解析】【分析】設(shè)，則,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【詳解】解：如圖，由題意知，，，設(shè)，則,在中，，即，解得，因此旗桿在離底部6m位置斷裂．故答案為：6．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．2、．【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)折疊性質(zhì)，可得=AB=3，=BE，∠B=∠=90°，然后設(shè)BE=，根據(jù)勾股定理，列出，求解即可．【詳解】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，在Rt△ABC中，，將△ABC沿AE折疊，∴=AB=3，=BE，∠B=∠=90°，則，設(shè)BE=,EC=4-,，在Rt△中，由勾股定理得：，即，解得，∴BE＝．故答案為．【考點(diǎn)】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等關(guān)系．3、9．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD=AB-AD可得BD長(zhǎng)．【詳解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．4、##【解析】【分析】根據(jù)題意，，進(jìn)而求得，勾股定理求得，即可求得的面積．【詳解】解：折疊，，，，∵四邊形是正方形∴中．．故答案為：【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】過(guò)作，為垂足，通過(guò)已知條件可以求得，，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過(guò)作，為垂足，，又，，又，，在與中，，，，∴，在中，，設(shè)，則由勾股定理可得即解得故答案為．【考點(diǎn)】此題主要考查了三角形全等的證明方法和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，利用已知條件合理構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．6、2.5【解析】【分析】首先先過(guò)點(diǎn)D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長(zhǎng)度即可求出．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．7、12【解析】【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．【詳解】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12．【考點(diǎn)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．8、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不確定，應(yīng)分情況進(jìn)行討論：（1）高在內(nèi)部；（2）高在外部，依此即可求解．【詳解】解：如圖（1）cm，cm，，則，，則；如圖（2），由（1）得，，則．則的長(zhǎng)為或．故答案為或．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理，本題需注意高的位置不確定，應(yīng)根據(jù)三角形的形狀分兩種情況討論．三、解答題1、△ABC為直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC為直角三角形或等腰三角形．2、尺【解析】【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長(zhǎng)為尺．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．3、A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則求出A，進(jìn)而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時(shí)，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；當(dāng)n2﹣1＝35時(shí)，n＝±6（負(fù)值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．【考點(diǎn)】本題考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．4、（1）A、C兩地之間的距離為14.1km;（2）C港在A港北偏東15°的方向上．【解析】【分析】（1）根據(jù)方位角的定義可得出∠ABC=90°，再根據(jù)勾股定理可求得AC的長(zhǎng)為14.1.（2）由（1）可知△ABC為等腰直角三角形，從而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而確定C港在A港的什么方向.【詳解】（1）由題意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．答：A、C兩地之間的距離為14.1km．（2）由（1）知，△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏東15°的方向上．【考點(diǎn)】本題考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正確理解方位角是解題的關(guān)鍵.5、它至少5.2秒能趕回巢中.【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).求出AF,EF,再根據(jù)勾股定理求出AE，從而求出時(shí)間.【詳解】解：如圖所示，米，米，米，米.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).在中，米，米，所以.所以喜鵲離巢的距離米.喜鵲趕回巢所需的時(shí)間為（秒）.即它至少5.2秒能趕回巢中.【考點(diǎn)】考核知識(shí)點(diǎn)：勾股定理和逆定理運(yùn)用.構(gòu)造直角三角形是解題