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第23章圖形的相似23.3

相似三角形23.3.4相似三角形的應(yīng)用問題1

判定兩三角形相似的方法有哪些？問題2相似三角形的性質(zhì)有哪些？觀察與思考導(dǎo)入新課樂山大佛世界上最高的樹

——

紅杉臺(tái)灣最高的樓

——臺(tái)北101大樓怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？世界上最寬的河

——亞馬遜河怎樣測(cè)量河寬？利用三角形相似可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的高度及兩物之間的距離問題.

據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家開勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿.借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測(cè)量金字塔的高度.

如圖，如果木桿

EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)

FD為3m，測(cè)

OA長(zhǎng)為201m，求金字塔的高度

BO.利用相似三角形測(cè)量高度BOEA(F)D新課講授解：太陽(yáng)光是平行的光線，因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高為134m.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.BOEA(F)DAFEBO┐┐還可以有其他方法測(cè)量嗎？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)

P，在河的這一邊取點(diǎn)

Q和

S，使點(diǎn)

P、Q、S共線且直線

PS與河垂直，接著在過點(diǎn)

S且與

PS垂直的直線

a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)

T，確定

PT與過點(diǎn)

Q且垂直

PS的直線

b的交點(diǎn)為

R.如果測(cè)得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度

PQ.利用相似三角形測(cè)量寬度PQSTRab因此河寬大約為90m.PQSTRab60m45m90m測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.測(cè)距的方法方法歸納

例

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和

CD=12m，兩樹的根部的距離

BD=5m，一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)

C

了？典例精析分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點(diǎn))為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點(diǎn)H，K.視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)

A的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域

Ⅰ

和Ⅱ

都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點(diǎn)了.

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E

與兩棵樹的頂端點(diǎn)A，C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴.即解得

EH=81.如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高_(dá)_____m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時(shí)刻樹的影長(zhǎng)為8米，同一時(shí)刻身高為1.5米的人的影長(zhǎng)為3米，則樹高為______米.4當(dāng)堂練習(xí)解：設(shè)正方形

PQMN是符合要求的，△ABC的高

AD與

PN相交于點(diǎn)

E.設(shè)正方形

PQMN的邊長(zhǎng)為xmm.因?yàn)镻N∥BC，所以△APN∽△ABC.所以.3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊

BC=120mm，高

AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在

BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在

AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？NMQPEDCBA解得

x=48(mm).因此

，1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：（1）測(cè)高

測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺測(cè)量）（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離）