23.1.1成比例線段（難點練）一、單選題1．（2021·全國九年級專題練習）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（）A． B． C． D．2．若線段a=6cm,b=3cm,且c是a,b的比例中項,則線段c的長度為()A．3cm B．±3cm C．±18cm D．18cm3．如圖,有三個直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,則線段OA,OD的比例中項線段的長度為()A． B． C．± D．4．如圖，是線段的黃金分割點，四邊形、四邊形都是正方形，且面積分別為、，四邊形、四邊形都是矩形，且面積分別為、，下列說法正確的是（）A． B． C． D．5．如果線段b是線段a，c的比例中項，，那么下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．6．如圖,線段,點是線段的黃金分割點(),點是線段的黃金分割點(),點是線段的黃金分割點(),..,依此類推,則線段的長度是（）A． B． C． D．7．（2020·貴州畢節(jié)市·九年級）已知AB＝2，點P是線段AB上的黃金分割點，且AP＞BP，則AP的長為（）A． B． C． D．8．（2020·山西）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（，稱為黃金分割比例），如圖，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是（）A． B． C． D．9．（2020·浙江）著名畫家達·芬奇用三個正方形和三個全等的直角三角形拼成如下圖形證明了勾股定理，其中，，連結(jié)，得到4個全等的四邊形，四邊形，四邊形，四邊形．分別交，于點M，N，若，且，則的長為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，點是對角線的中點，是線段上的動點（不與點，重合），交于點，于點．則對于下列結(jié)論：①；②；③；④，其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題11．（2020·江蘇）如圖，在△ABC中，AB＝3，D是AB上的一點（不與點A、B重合），DE∥BC，交AC于點E，則的最大值為_____．12．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學九年級）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，且點D是平行四邊形的對角線與的交點，連接，若，．則k的值為__________．13．（2020·成都市實驗外國語學校五龍山校區(qū)）在平面直角坐標系中，關于的一次函數(shù)，其中常數(shù)k滿足，常數(shù)b滿足b＞0且b是2和8的比例中項，則該一次函數(shù)的解析式為______．14．若都是正整數(shù)，且，則的最小值是________．15．（2020·上海上外附中九年級月考）如圖，在中，的內(nèi)、外角平分線分別交及其延長線于點，則___________16．（2020·全國）如圖，直線y＝3x＋3與x軸交于點A，與y軸交于點B．過點B作直線BP與x軸正半軸交于點P，取線段OA，OB，OP，當其中一條線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，點P的坐標為____________．17．（2020·安徽九年級學業(yè)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=15，點D，E，P分別是邊AC，AB；BC上的點，且AD=4，AE=4EB．若是等腰三角形，則CP的長是__________．三、解答題18．如圖（1），、是兩條線段，是的中點，，、分別表示、、的面積．當時，則有①．（1）如圖（2），是的中點，與不平行時，作、、分別垂直于、、三個點，問結(jié)論①是否仍然成立？請說明理由．（2）若圖（3）中，與相交于點時，問、和三者之間存在何種相等關系？試證明你的結(jié)論．19．材料1：在設計人體雕塑時，存在一個分隔點，使雕塑的上部（腰以上）與下部（腰以下）之比，等于下部與全部（全身）之比，可以增加視覺美觀，數(shù)學上把這個點叫“黃金分割點”．為了研究這個點，我們在線段AB上取點C（如圖1），點C把AB分成AC和CB兩段，其中BC是較小的一段，現(xiàn)要使即可．為了簡便起見，設AB=1，AC=x，則CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人們把這個數(shù)叫黃金分割數(shù)，點C叫“黃金分割點”．材料2：由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1＜S2），如果，那么稱直線l為該圖形的“黃金分割線”．（1）如圖2，點C是線段AB的黃金分割點（AC>CB），取線段AB的中點O，作點C關于點O的對稱點，則；繼續(xù)取線段AC的中點，作點關于點的對稱點，試猜想點是否線段A的黃金分割點，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）如圖3，在平面直角坐標系中，A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中經(jīng)過點C的“黃金分割線”解析式．20．（2020·銀川外國語實驗學校九年級月考）作出線段的黃金分割點（不寫作法，保留作圖痕跡）21．（2020·全國九年級專題練習）（1）如圖所示，已知點是線段的黃金分割點（），試用一元二次方程的求根公式驗證黃金比．（2）如圖所示，在（1）的條件下，取線段的黃金分割點（），判斷點是否為線段的另一黃金分割點，并說明理由．（3）如圖所示，在（2）的條件下，再取線段的黃金分割點（），并且，試用的正整數(shù)次冪的形式表示線段，，的長度．（4）已知，試求以下代數(shù)式的值（只要求直接寫出結(jié)果）：．22．（2021·云南九年級）如圖，點A坐標是(0，0)，點C坐標是(2，2)，現(xiàn)有E、F兩點分別從點D(0，2)和點B(2，0)向下和向右以每秒一個單位速度移動，Q為EF中點．設運動時間為t．（1）在運動過程中始終與線段EC相等的線段是；四邊形CEAF面積＝．（2）當t＝1秒時，求線段CQ的長．（3）過點B作BP平行于CF交EC于點P．當t＝時，線段AP最短，此時作直線EP與x軸交于點K，試證明，點K是線段AB的黃金分割點．23．（2021·全國九年級專題練習）材料一：北師大版數(shù)學教材九年級上冊第四章，對“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點D也是線段AB的黃金分割點．材料二：對于實數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a