§2.10指、對、冪的大小比較重點解讀函數(shù)“比大小”是非常經典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞.每年高考基本都會出現(xiàn)，難度逐年上升.高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序.這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質與圖象解答.題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質例1(2024·鄂爾多斯模擬)已知a=0.734，b=log834，c=4A.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c命題點2找中間值例2設a=0.20.5，b=log53，c=50.2，則a，b，c的大小關系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b命題點3特殊值法例3已知a>b>1，0<c<12，則下列結論正確的是(A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“1，0，12，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，進而可估計log23是一個1~2之間的小數(shù)，從而便于比較跟蹤訓練1(1)(2024·寧河模擬)設a=20.5，b=120.3，c=log0.50.3，則a，b，c的大小關系為(A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b(2)(2025·天津模擬)設a=log2π，b=log12π，c=π2，則(A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質化簡比較大小命題點1作差法例4設a=log62，b=log123，c=log405，則()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b命題點2作商法例5(2025·成都模擬)若a=3-14，b=32-13，c=log122A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a命題點3乘方法例6已知a=log35，b=log57，c=43，則(A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或對數(shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性判斷出指數(shù)或對數(shù)的大小關系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質，盡量將比較的對象轉化為某一部分相同的形式.跟蹤訓練2(1)已知正數(shù)a，b，c滿足2024a=2025，2025b=2024，ec=2，下列說法正確的是()A.logac>logbcB.logca>logcbC.ac<bcD.ca<cb(2)若a=4log232，b=log147，c=log12A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案精析例1A[由于y=0.7x是R上的減函數(shù)，則0<0.734<0.70=1，所以0<由于y=log8x是(0，+∞)上的增函數(shù)，則log834<log81=0，所以b<0由于y=4x是R上的增函數(shù)，則434>40=1，所以c所以b<a<c.]例2A[0<a=0.20.5=55<2.521>b=log53>log5512=c=50.2>50=1，所以a<b<c.]例3C[取特殊值，令a=4，b=2，c=14則ac=414，bc=214，∴ac>babc=4×214=294，bac=2×∴abc>bac，故B錯誤；logac=log414=1，logbc=log214=alogbc=8，blogac=2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤.]跟蹤訓練1(1)B[因為a=20.5，b=120.3=20.易知函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，又0.5<0.3<0，所以a<b<20=1，又易知y=log0.5x在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以c=log0.50.3>log0.50.5=1，綜上，a<b<c.](2)C[依題意，a=log2π>log22=1，b=log12π<log121=0，0<c=π2<π0=1，所以a>例4D[∵1b=log312=1+log3=1+lg4=1+2lg2lg3，1=1+log58=1+lg8=1+3lg2lg5∴1b1c==2lg2=lg2(2lg5-3lg3)=lg2(lg25-lg27)lg3×∴1b<1又b>0，c>0，∴b>c；∵1c=1+log58<1+log5=1+log5532=52，∴c∵1a=log26=1+log23>1+log2=1+log2232=52，∴a∴a<c.∴a<c<b.]例5D[因為0<a=3-14<30<b=32-13令ab=3-14=3112×而3112×2-13=3×24=316<1即3112×2-13<1又因為c=log1225=log12410>log12例6D[因為53=125>(343)3所以log35>log3343=43，即因為73=343<(54所以7<54所以log57<log5543=43，即所以a>c>b.]跟蹤訓練2(1)D[∵2024a=2025，2025b=2024，ec=2，∴a=log>1，b=log<1，c=ln2<1，∴a>1，0<b<1，0<c<1，∴l(xiāng)ogac<0，logbc>0，∴l(xiāng)ogac<logbc，故A錯誤；∵0<c<1，a>b，∴l(xiāng)ogca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C錯誤，D正確.](2)A[a=4log232=22logb=log147=1log142=1ln2ln14，c=log126=1log122=1l