2025年射影定理的題目及答案

一、單項選擇題1.在直角三角形中，斜邊上的高把斜邊分成的兩條線段長分別為4和9，則斜邊上的高為（）A.6B.5C.13D.12答案：A2.已知直角三角形的一條直角邊為6，斜邊為10，那么這條直角邊在斜邊上的射影長為（）A.3.6B.4C.4.8D.5答案：A3.直角三角形中，斜邊長為13，一條直角邊在斜邊上的射影為5，則另一條直角邊的長為（）A.12B.10C.8D.6答案：A4.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AD=3，BD=2，則AC的值為（）A.30B.3√5C.√15D.2√5答案：C5.若直角三角形斜邊上的高是4，斜邊上的中線是5，則這個直角三角形的面積是（）A.20B.40C.10D.5答案：A6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若BD=4，CD=6，則AD的長為（）A.9B.3C.6D.12答案：A7.已知直角三角形的斜邊為10，一條直角邊在斜邊上的射影為6，則此直角三角形的面積為（）A.24B.48C.30D.60答案：A8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，CD是AB邊上的高，則CD的長為（）A.4.8B.6C.8D.10答案：A9.直角三角形斜邊上的高把斜邊分成兩段，長度之比為1:4，則兩條直角邊的比為（）A.1:2B.1:4C.2:1D.4:1答案：A10.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若AD:BD=1:3，則AC:BC等于（）A.1:√3B.1:3C.√3:1D.3:1答案：A二、多項選擇題1.以下關于射影定理的說法正確的是（）A.射影定理適用于任意三角形B.在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項C.直角三角形的一條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項D.射影定理是由相似三角形推導出來的答案：BCD2.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式成立的有（）A.AC2=AD×ABB.BC2=BD×ABC.CD2=AD×BDD.AC×BC=AB×CD答案：ABCD3.已知直角三角形ABC，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，若AC=3，BC=4，則（）A.CD=2.4B.AD=1.8C.BD=3.2D.AB=5答案：ABCD4.關于射影定理在實際問題中的應用，正確的有（）A.可以用于測量不可直接測量的物體高度B.能幫助計算直角三角形中線段的長度C.可用于解決一些建筑工程中的角度問題D.在光學中也有一定的應用答案：ABD5.若在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB邊上的高，AD=4，BD=9，則（）A.CD=6B.AC=2√13C.BC=3√13D.AB=13答案：ABCD6.下列條件能運用射影定理的是（）A.已知直角三角形的兩條直角邊B.已知直角三角形的斜邊和一條直角邊C.已知直角三角形斜邊上的高和斜邊D.已知直角三角形的一個銳角和斜邊答案：ABC7.在射影定理相關圖形中，以下結論正確的是（）A.以斜邊為直徑的圓與高所在直線相切B.直角邊與它在斜邊上的射影、斜邊構成相似三角形C.斜邊上的高把直角三角形分成的兩個小直角三角形相似D.直角三角形兩條直角邊在斜邊上射影之和等于斜邊答案：BCD8.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若AC=5，AB=13，則（）A.BC=12B.AD=25/13C.BD=144/13D.CD=60/13答案：ABCD9.射影定理在幾何證明中的作用有（）A.證明線段成比例B.求線段長度C.證明垂直關系D.確定三角形的形狀答案：ABC10.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB邊上的高，下列說法正確的是（）A.AC2+BC2=AB2B.若已知AD和BD，則可求出所有邊的長度C.三角形面積S=1/2AC×BC=1/2AB×CDD.若AC＞BC，則AD＞BD答案：ABC三、判斷題1.射影定理只適用于等腰直角三角形。（×）2.在直角三角形中，一條直角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的乘積。（√）3.若直角三角形斜邊上的高把斜邊分成兩段長度相等，則該直角三角形是等腰直角三角形。（√）4.射影定理是基于全等三角形的性質推導出來的。（×）5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=6。（√）6.直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半。（×）7.已知直角三角形的斜邊和一條直角邊在斜邊上的射影，能求出另一條直角邊。（√）8.射影定理可以用于證明勾股定理。（√）9.在射影定理的圖形中，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個小直角三角形與原三角形都相似。（√）10.若直角三角形兩條直角邊在斜邊上的射影相等，則該直角三角形是等腰直角三角形。（√）四、簡答題1.簡述射影定理的內容。答案：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。即：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，則CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB。2.如何運用射影定理求直角三角形中線段的長度？答案：首先確定直角三角形及斜邊上的高，明確已知條件。若已知直角邊在斜邊上的射影和斜邊，可根據直角邊是射影與斜邊比例中項求出直角邊；若已知斜邊上被高分成的兩段線段長度，可根據高是兩段射影比例中項求出高，進而利用相似關系和其他比例式求出其他邊的長度。3.舉例說明射影定理在實際生活中的一個應用場景。答案：比如在測量旗桿高度時，在有陽光的情況下，旗桿在地面上形成影子，同時可以找一個已知長度的標桿垂直于地面，標桿也會有影子。此時旗桿、標桿與它們的影子構成直角三角形模型。利用射影定理相關比例關系，通過測量標桿長度、標桿影子長度和旗桿影子長度，就能計算出旗桿高度。4.請說明射影定理與相似三角形之間的聯(lián)系。答案：射影定理是由相似三角形推導得出的。在直角三角形中，斜邊上的高把原直角三角形分成兩個小直角三角形，這兩個小直角三角形與原直角三角形兩兩相似。通過相似三角形對應邊成比例的性質，就能得出射影定理中的三個等式，所以相似三角形是推導射影定理的基礎。五、討論題1.射影定理在解決復雜幾何問題時，通常會與哪些定理或方法結合使用？請舉例說明。答案：射影定理常與勾股定理、三角函數(shù)等結合使用。比如在一個已知直角三角形斜邊長和一條直角邊在斜邊上射影長度的問題中，先用射影定理求出另一條直角邊在斜邊上的射影長度，進而求出這條直角邊長度，再結合勾股定理求出未知直角邊長度。在涉及角度計算時，可結合三角函數(shù)，利用直角邊與斜邊的關系求出角度的三角函數(shù)值，進而確定角度大小。2.當直角三角形的形狀發(fā)生變化時，射影定理的結論是否仍然成立？請闡述理由并舉例說明。答案：射影定理的結論仍然成立。因為射影定理是基于直角三角形的相似關系得出的，只要是直角三角形，斜邊上的高把它分成的三角形與原三角形相似關系不變。例如等腰直角三角形，設直角邊為a，斜邊為√2a，斜邊上的高為√2a/2，根據射影定理，高的平方等于斜邊上兩段射影之積，直角邊平方等于射影與斜邊之積，經計算驗證依然成立，所以形狀變化不影響射影定理結論。3.在平面直角坐標系中，如何利用射影定理解決與直角三角形相關的坐標問題？答案：在平面直角坐標系中，若有直角三角形頂點坐標已知，可先求出直角邊長度和斜邊長度。通過射影定理確定直角邊在斜邊上的射影長度，進而確定斜邊上高的位置。比如已知直角頂點坐標和斜邊端點坐標，可根據距離公式求出邊長，利用射影定理找到高與斜邊交點坐標，再根據相似關系求出其他相關點坐標，為解決諸如三角形面積、直線方程等問題提供幫助