浙江省東陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題分類（平行線的證明）匯編難點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題16分）一、單選題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④2、如圖，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（）A．180° B．240° C．300° D．360°3、兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點(diǎn)M．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4、將一副學(xué)生用的三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，則OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．35、在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．斜三角形6、如圖，把沿線段折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處；若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7、如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°8、給出下列命題，正確的有（

）個(gè)①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題84分）二、填空題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度數(shù)等于_____．2、如圖，，的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推，則的度數(shù)是___________（用含與的代數(shù)式表示）．3、如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數(shù)為_______．4、如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得，則________度．5、“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是_________．6、已知△ABC，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，則∠G=______°．7、把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、如圖，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求證：∠ACB＝∠DEB．2、已知：如圖，O是內(nèi)一點(diǎn)，且OB、OC分別平分、．（1）若，求；（2）若，求；（3）若，利用第（2）題的結(jié)論求．3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．4、已知：如圖，△ABC是任意一個(gè)三角形，求證：∠A+∠B+∠C=180°．5、請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大?。?、如圖：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，則∠A＝∠F嗎？請(qǐng)說明理由．7、如圖所示，已知，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出，即可判斷④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出②．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正確；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠BCG，故②錯(cuò)誤；故選C．【考點(diǎn)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2、A【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，兩式相加再減去∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可求解．【詳解】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠AGF+∠AFG+∠A），又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=180°，故選A．【考點(diǎn)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和等于180度是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．【考點(diǎn)】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．4、D【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根據(jù)角平分線的定義可判定OC平分∠AOB．【詳解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠BOD=∠AOC，故②正確；如圖，AB與OC交于點(diǎn)P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正確；如果OB平分∠DOC，則∠DOB=∠BOC=45°，則∠AOC=∠BOC=45°，故OC平分∠AOB，故④正確；由②知：∠AOC＝∠BOD，故當(dāng)∠AOC=∠BOD=45°時(shí)，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否則不成立，故①不正確；綜上，②③④正確，共3個(gè)，故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了余角以及三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知余角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．5、B【解析】【分析】因?yàn)椤螦﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即為鈍角三角形．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0o），那么△ABC是鈍角三角形．故選：B．【考點(diǎn)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到∠A一定大于90°．6、C【解析】【分析】由于折疊，可得三角形全等，運(yùn)用三角形全等得出，利用平行線的性質(zhì)可得出則即可求．【詳解】解：∵沿線段折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：C．【考點(diǎn)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是，理解折疊就是得到全等的三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等就可以解決．7、C【解析】【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得從而解題．【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得．又，，，∴，故選：C【考點(diǎn)】此題綜合運(yùn)用了平角的定義、折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．8、B【解析】【詳解】解：①等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②等腰三角形兩腰上的高相等，本選項(xiàng)正確；③等腰三角形最小邊不一定底邊，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等，本選項(xiàng)正確；⑤等腰三角形可以是鈍角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B二、填空題1、110°##110度【解析】【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分線的定義得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．故答案為：110°．【考點(diǎn)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握．2、【解析】【分析】由∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，而P1B、P1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，于是有∠A＝2∠P1，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，因此找出規(guī)律．【詳解】∵P1B、P1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，而∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠P1，∴∠P1＝∠A，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，∴∠A＝2n∠Pn，∴∠Pn＝．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，難度適中．3、【解析】【分析】作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，可證得，由對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等可得出，進(jìn)而可求出，則．【詳解】作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，∵又∵，∴∵，F(xiàn)A=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，作輔助線HF垂直于FE是解題的關(guān)鍵．4、【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義，由BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，得∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠A1=∠A1CD-∠A1BC，那么∠A1=∠ACD?ABC=∠A．再根據(jù)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此題．【詳解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，∴∠A1=∠ACD?ABC=∠A．同理可證：∠A2=∠A1．∴∠A2=?∠A=()2∠A．以此類推，∠An=()n∠A．當(dāng)n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022?m°=()°．故答案為：．【考點(diǎn)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．5、銳角三角形是等邊三角形【解析】【分析】交換題目中的題設(shè)和結(jié)論即可．【詳解】解：原命題“等邊三角形是銳角三角形”的條件是“一個(gè)三角形是等邊三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形是銳角三角形”，互換條件和結(jié)論可得到逆命題“如果一個(gè)三角形是銳角三角形，那么這個(gè)三角形是等邊三角形”．簡(jiǎn)化為“銳角三角形是等邊三角形”，故答案為：銳角三角形是等邊三角形．【考點(diǎn)】本題考查了命題與逆命題，能準(zhǔn)確找到命題中的題設(shè)和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．6、115【解析】【分析】由三角形外角的性質(zhì)即三角形的內(nèi)角和定理可求解∠DBC+∠ECB=260°，再利用角平分線的定義可求解∠FBC+∠FCB=130°，即可得∠GBC+∠GCB=65°，再利用三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°，∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，∴∠FBC=∠DBC，∠FCB=∠ECB，∴∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠ECB）=130°，∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，∴∠GBC=∠FBC，∠GCB=∠FCB，∴∠GBC+∠GCB=（∠FBC+∠FCB）=65°，∴∠G=180°-（∠GBC-∠GCB）=180°-65°=115°．故答案為：115．【考點(diǎn)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，求解∠FBC+∠FCB=130°是解題的關(guān)鍵．7、如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等【解析】【詳解】根據(jù)命題的特點(diǎn)，可以改寫為：“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”故答案為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等．【考點(diǎn)】本題考查了命題的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論．三、解答題1、見解析【解析】【分析】利用鄰補(bǔ)角定義得到∠2與∠BDC互補(bǔ)，再由∠1與∠2互補(bǔ)，利用同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EF與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠DEF＝∠A，等量代換得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到DE與AC平行，利用兩直線平行同位角相等即可得證．【詳解】證明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠BDC，∴EF∥AB，∴∠DEF＝∠BDE，∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB＝∠DEB．【考點(diǎn)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2、（1）；（2）；（3）【解析】【分析】證明∠BOC＝90°＋∠A，（1）（2）（3）利用這個(gè)公式計(jì)算即可解決問題；【詳解】解：∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ACB，∵∠BOC＝180°?（∠2＋∠4），∴∠BOC＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A．（1）∵∠A＝48°，∴∠BOC＝90°＋×48°＝114°．（2）∵∠A＝n°，∴∠BOC＝90°＋n°，∴.（3）∵∠BOC＝130°，∴130°＝90°＋∠A，∴∠A＝80°．【考點(diǎn)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明∠BOC＝90°＋∠A．3、(1)65°；(2)25°．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD=130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠F=∠CEB=25°．【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．【考點(diǎn)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4、證明見解析【解析】【分析】過點(diǎn)A作EFBC，利用EFBC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代換可證∠BAC+∠B+∠C=180°．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作EFBC，∵EFBC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．【考點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，作輔助線把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角上是解題的關(guān)鍵．5、(1)三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）；(2)見解析；(3)70°【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求證；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．(1)解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）(2)證明：連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠2分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4