小學生奧數還原問題輔導講義一、還原問題的本質認知還原問題是奧數中一類經典的逆推型問題，核心邏輯是：已知一個數（或量）經過若干次運算（或變化）后的最終結果，要求最初的原數（或量）。這類問題猶如“時光倒流”，需要我們從最終狀態(tài)出發(fā)，逆向推導每一步的原始狀態(tài)。舉個生活類比：如果我們知道朋友現在的位置，以及他從家到現在位置的行走路線（先向東走、再向北走……），要確定他家的位置，就需要按相反的方向（先向南、再向西……）倒推回去。二、解題核心工具：倒推法（逆推法）解決還原問題的核心方法是倒推法，即從最后一步結果出發(fā)，按照“變化的逆過程”逐步還原。關鍵在于：每一步的運算都要“逆用”——加法變減法，減法變加法；乘法變除法，除法變乘法；“多了”要減去，“少了”要補上；“給出去”要收回，“得到的”要還回。（一）單步變化的倒推例題1：一個數加上5，再乘3，結果是24。求這個數。最終結果：24（是“乘3”之后的結果）逆推第一步（還原“乘3”的逆過程：除以3）：\(24\div3=8\)（這是“加上5”之后的數）逆推第二步（還原“加5”的逆過程：減5）：\(8-5=3\)驗證：\((3+5)\times3=24\)，符合結果。（二）多步分支變化的倒推例題2：小明的零花錢，買文具花了一半多2元，買零食花了剩下的一半少1元，最后還剩5元。原來有多少元？我們從“最后剩5元”倒推：步驟1：還原“買零食”的過程買零食時，花了“剩下的一半少1元”——意味著：剩下的5元=買零食前的錢的一半+1（因為花的是“少1”，所以剩下的比“一半”多1）。因此，買零食前的錢的一半=\(5-1=4\)買零食前的錢=\(4\times2=8\)元步驟2：還原“買文具”的過程買文具時，花了“一半多2元”——意味著：買文具后剩下的8元=原來的錢的一半-2（因為花的是“多2”，所以剩下的比“一半”少2）。因此，原來的錢的一半=\(8+2=10\)原來的錢=\(10\times2=20\)元驗證：20元買文具（花\(10+2=12\)元），剩8元；8元買零食（花\(4-1=3\)元），剩5元。與題目條件一致，正確。三、典型題型拓展與技巧（一）“多個人物的還原”——列表法例題3：甲、乙、丙三人分糖果，甲給乙3顆，乙給丙5顆，丙給甲2顆后，三人都有10顆。原來各有多少顆？我們用表格法記錄每一步的“給出”與“得到”（倒推時，“給出”要收回，“得到”要還回）：人物最終狀態(tài)（顆）丙給甲2顆（逆：甲還丙2，丙收回2）乙給丙5顆（逆：丙還乙5，乙收回5）甲給乙3顆（逆：乙還甲3，甲收回3）原來數量（顆）-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------甲10\(10-2=8\)（還丙2顆）8（無乙丙間的直接變化）\(8+3=11\)（收回給乙的3顆）11乙1010（無甲丙間的直接變化）\(10+5=15\)（收回給丙的5顆）\(15-3=12\)（還甲給的3顆）12丙10\(10+2=12\)（收回給甲的2顆）\(12-5=7\)（還乙給的5顆）7（無甲乙間的直接變化）7（二）“隱藏步驟的還原”——補全邏輯鏈例題4：一筐桃子，第一次取出全部的一半多1個，第二次取出剩下的一半多2個，筐里還剩3個。原來有多少個？倒推過程：1.還原“第二次取”的過程：第二次取了“剩下的一半多2個”，即剩下的3個=（第二次取前的桃子數÷2）-2（因為取的是“多2”，所以剩下的比“一半”少2）。因此，第二次取前的桃子數的一半=\(3+2=5\)第二次取前的桃子數=\(5\times2=10\)個2.還原“第一次取”的過程：第一次取了“全部的一半多1個”，即剩下的10個=（原來的桃子數÷2）-1（因為取的是“多1”，所以剩下的比“一半”少1）。因此，原來的桃子數的一半=\(10+1=11\)原來的桃子數=\(11\times2=22\)個驗證：22個桃子，第一次取\(11+1=12\)個，剩10個；第二次取\(5+2=7\)個，剩3個。符合結果。四、鞏固練習與思維拓展（一）基礎練習1.一個數減8，再乘4，結果是24。原數是多少？2.小軍用零花錢買玩具，花了一半少3元，還剩15元。原來有多少元？（二）提高練習3.甲、乙、丙三人有畫片，甲給乙5張，乙給丙8張，丙給甲10張后，三人都有20張。原來各有多少張？4.一筐蘋果，第一次賣了一半多1個，第二次賣了剩下的一半少2個，最后剩5個。原來有多少個？（三）拓展挑戰(zhàn)5.有一杯果汁，小明先喝了\(\frac{1}{3}\)，加滿水；又喝了\(\frac{1}{2}\)，加滿水；最后全喝完。喝的果汁和水哪個多？多多少？（提示：果汁總量不變，水是兩次加的和）五、思維提升與總結1.倒推的關鍵：永遠從最后一個已知結果出發(fā)，每一步都要“逆用”運算（加變減、乘變除，“多”變“少”、“給”變“還”）。2.工具選擇：單步變化用“倒推式”，多步分支用“流程圖