533期【圓錐】高考考過的等角定理是什么？【知識(shí)精講】【【橢圓等角定理】過橢圓長(zhǎng)軸上任一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成的角被焦點(diǎn)所在直線平分，即.【雙曲線等角定理】過雙曲線實(shí)軸上任一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成的角被焦點(diǎn)所在直線平分，即.【拋物線等角定理】過拋物線對(duì)稱軸上任一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成的角被對(duì)稱軸平分.【證明】（只證明橢圓等角定理，雙曲線與拋物線等角定理同理可證）如上圖，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，，，則△恒成立，且，所以，由，可得，則．【高觀點(diǎn)拓展】【高觀點(diǎn)拓展】若四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列，在這四點(diǎn)所在直線外任取一點(diǎn)，所形成的的四條射線，，，，稱為調(diào)和線束.對(duì)于一組調(diào)和線束，其斜率之間所滿足的基本關(guān)系，如下面結(jié)論?！窘Y(jié)論】如下圖若調(diào)和線束，，，的方程為.那么.將此結(jié)論應(yīng)用到橢圓的等角定理中，如下圖，設(shè)直線與過點(diǎn)并且垂直軸的直線交于點(diǎn)，所以成調(diào)和點(diǎn)列，分別設(shè)直線為，那么四直線的交比,利用交比的性質(zhì)可得，又由于，故，即，又，所以證畢.【點(diǎn)睛】在下面【真題精講】例4.，選擇比較經(jīng)典的一道高考題個(gè)問題，即2013年江西高考的文理科圓錐曲線題目來作為上述拓展結(jié)論應(yīng)用的范例.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由上述證明中可進(jìn)一步歸納出下面的結(jié)論，【結(jié)論】【結(jié)論】已知橢圓，過定點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交點(diǎn)的極線于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則直線的斜率成等差數(shù)列.【真題精講】例1．例1．（2018?新課標(biāo)Ⅰ理科）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解析】（Ⅰ），，與軸垂直，，由，解得或，即或，直線的方程為，，證明：方法1（Ⅱ）當(dāng)與軸重合時(shí)，，當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，，當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，聯(lián)立和，得，設(shè)，，，，則，，且，，所以，而，進(jìn)而，故，的傾斜角互補(bǔ)，所以，綜上．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）證明：方法2（Ⅱ）由（1）知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，，，則△恒成立，且，所以，由，可得，則．例例2．（2018?新課標(biāo)Ⅰ文科）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）證明：．【解析】（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，，代入拋物線解得，所以或，直線的方程：，或：．（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得，消得，即，，則有，所以直線與的傾斜角互補(bǔ)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）即.【點(diǎn)睛】（1）解析幾何角度相等常用的定理有角平分線定理、余弦定理、斜率等.如下圖，容易看出恰為直線的傾斜角的補(bǔ)角，恰為直線的傾斜角.所以有，，結(jié)合，則有，所以，即，進(jìn)而.這就能把角度問題轉(zhuǎn)化為斜率問題.（2）由可得，通分整理得，此時(shí)先不代入直線，而是兩邊同除以，得到，利用該等式，同時(shí)把直線方程設(shè)為，用，代入消元，對(duì)解題運(yùn)算顯得更為簡(jiǎn)單.例例3．（2015?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程．（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？（說明理由）【解析】聯(lián)立，不妨取，，由曲線可得：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，其切線方程為：，即為．同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．存在符合條件的點(diǎn)，下面給出證明：設(shè)滿足，聯(lián)立，得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，，，，直線，的斜率分別為，．則，所以當(dāng)時(shí)，，直線，的傾斜角互補(bǔ)，．即點(diǎn)符合條件．如圖2，橢圓如圖2，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.（1）求橢圓的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的方程為.（2）證明：由于直線是點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，所以成調(diào)和點(diǎn)列，分別設(shè)直線為，那么四直線的交比,利用交比的性質(zhì)可得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）又由于，故，即，證畢.【點(diǎn)睛】由該例題可以總結(jié)出結(jié)論：已知橢圓，過定點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，交點(diǎn)的極線于點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則直線的斜率成等差數(shù)列.關(guān)于極點(diǎn)極線的詳細(xì)概念定義、定理、推論等可以參考小π之前推送的文章《【圓錐】極點(diǎn)與極線2定義&4定理&3推論》鏈接：/s/WNwMEvbpjR-QO5kckdCdFA《480期【圓錐】9點(diǎn)講清極點(diǎn)與極線（90頁(yè)）》，鏈接：/s/1h3doHXwQSr-dEKmj3F6WQ【典例精講】例例1．已知點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求出直線的斜率的取值范圍；（Ⅱ）橢圓的長(zhǎng)軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓的方程；設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得，由△，解得；（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得恒成立，即恒成立．設(shè)點(diǎn)，，，，由（1）知，，解得，故存在定點(diǎn)．例例2．（2015?四川）如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（Ⅰ）直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，點(diǎn)，在橢圓上，又離心率是，，解得，，橢圓的方程為：；（Ⅱ）結(jié)論：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．理由如下：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)滿足條件，則有，即．點(diǎn)在直線軸上，可設(shè)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則、的坐標(biāo)分別為、，又，，解得或．若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)坐標(biāo)只能是．下面證明：對(duì)任意直線，均有．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得：，設(shè)、的坐標(biāo)分別為，、，，△，且，，，已知點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又，，，即、、三點(diǎn)共線，．故存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．例例3．（2018秋?常州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，，其中為橢圓的離心率，過定點(diǎn)，的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，若總成立，求的值；（3）如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示；如果不存在，請(qǐng)說明理由．是否存在定點(diǎn)，（其中，使得總成立？【解析】（1）橢圓過點(diǎn)，，，解得，，橢圓方程為．（2）橢圓的準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)直線與軸垂直或與軸重合時(shí)，；當(dāng)直線與軸不垂直且不重合時(shí)，設(shè)的方程為，，設(shè)，，，，由，得，，，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）總成立，又，斜率存在，故，的斜率和總為0，對(duì)，，恒成立，即對(duì)，，恒成立，即，，恒成立，代入式并整理得．（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，，（其中滿足條件，則，的斜率同時(shí)存在且和為0，即，根據(jù)題意，只需要考慮直線與軸不垂直也不重合的情形，結(jié)合（2）中式有：為定值，這樣的點(diǎn)如果存在，其坐標(biāo)只可能為，，，滿足條件，坐標(biāo)為，．【提升訓(xùn)練】1．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）首先根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，l的方程為.由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則.從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與橢圓相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時(shí)候，需要注意方法比較簡(jiǎn)單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問，在做題的時(shí)候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論.2．如圖,已知橢圓:（）的離心率,短軸右端點(diǎn)為,為線段的中點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程;（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.【答案】(1)（2）在軸上存在定點(diǎn),使得.【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即得，再根據(jù)離心率，解得，（2），等價(jià)于，.設(shè)，，，利用斜率公式及直線方程，化簡(jiǎn)得，即，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得，即得.【詳解】(Ⅰ)由已知，又，即，得，所以橢圓方程為.(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.當(dāng)⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有，即；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：.設(shè)，，則，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），∵.若，則，即，整理得，∵，∴.綜上在軸上存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).3．橢圓的離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點(diǎn)滿足題意.【分析】（1）由橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為列方程組求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，由得，，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可得，令，可得符合題意.【詳解】（1）∵，∴，橢圓方程化為：，由題意知，橢圓過點(diǎn)，∴，解得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，由得，，設(shè)，假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，∵，∴，∴，∵上式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒等于零，∴，即，∴，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，顯然此時(shí)，綜上，存在定點(diǎn)滿足題意．4．已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否在點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)離心率為，點(diǎn)在橢圓上聯(lián)立方程組解得答案.（2）設(shè)存在定點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)系式，推出，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】解：（1）由題可知又，解得，，所以，，即所求為（2）設(shè)存在定點(diǎn)，并設(shè)，由聯(lián)立消可得所以，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）因?yàn)?，所以，即所以，整理為所以可得即，所以所以存在定點(diǎn)滿足題意【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，定點(diǎn)問題，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.5．已知橢圓：，直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）若直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為，求橢圓的方程；（2）在（1）的條件下，軸上是否存在定點(diǎn)使得當(dāng)變化時(shí)，總有（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得，得到，根據(jù)∴，求得，即可得到橢圓的方程；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，且設(shè)，由得，得到，再由（1），代入求得的值，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由得，顯然，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，，，則，，∴，.∴.∴.所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，且設(shè)，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴.∴.所以存在定點(diǎn)使得.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)的性質(zhì)求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.6．已知橢圓C的焦點(diǎn)為(，0)，(，0)，且橢圓C過點(diǎn)M(4，1)，直線l：不過點(diǎn)M，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線MA，MB與x軸總圍成一個(gè)等腰三角形．【答案】（1）（2）詳見解析【分析】（1）利用橢圓的定義先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之間的關(guān)系求出b的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)來證明結(jié)論成立．【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）將代入并整理得，則，.∵直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，∴，解得，∴直線，的斜率存在且不為零.設(shè)直線，的斜率分別為和，只要證明.設(shè)，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）.故原命題成立.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查韋達(dá)定理法在橢圓綜合問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．7．已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、，交拋物線于另兩點(diǎn)、，記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為，直線的傾斜角為，求證：與互補(bǔ).【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，同理可得，進(jìn)而得到，再利用點(diǎn)差法得直線的斜率，利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率，進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】（1）由題意設(shè)直線的方程為，令、，聯(lián)立，得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）根據(jù)拋物線的定義得，又，故所求拋物線方程為.（2）依題意，設(shè)，，設(shè)的方程為，與聯(lián)立消去得，，同理，直線的斜率=切線的斜率，由，即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線斜率的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．8．已知，動(dòng)點(diǎn)M滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；（2）設(shè)A，B是上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，若的傾斜角互補(bǔ)，求證直線斜率為定值.【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）由題得所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，即得解；（2）設(shè)直線方程代入橢圓方程，得，求出，的坐標(biāo)，由此能證明直線的斜率為定值．【詳解】（1）由題得，所以所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，所以，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線方程：得，代入，得設(shè)，，，．點(diǎn)在橢圓上，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），，又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得，，直線的斜率．即直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值的證明，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9．已知橢圓:,直線:過的右焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是下頂點(diǎn)到直線的距離的2倍.(Ⅰ)求橢圓的方程.(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得當(dāng)變化時(shí),總有(為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)在軸上存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.【分析】(Ⅰ)利用已知條件,建立方程組,即可解出,.(Ⅱ)當(dāng)時(shí),顯然存在,當(dāng)時(shí),聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理,即可解出.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為,直線恒過定點(diǎn),所以.當(dāng)時(shí),直線:,橢圓的下頂點(diǎn)到直線的距離,由題意得,解得,.所以橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)時(shí),顯然在軸上存在點(diǎn),使得.當(dāng)時(shí),由消去可得.設(shè),,則,.設(shè)點(diǎn)滿足題設(shè)條件,易知,的斜率存在,則,則,即,時(shí),上式恒成立.所以在軸上存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.【點(diǎn)睛】本題考查直線、橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系.10．在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）已知直線與相交于，兩點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.【答案】(1)；(2)（i）或.（ii）見解析.【分析】（1）先設(shè)，，，根據(jù)，以及題意，得到，再由，兩式聯(lián)立，即可得出結(jié)果；（2）（i）先由題意得到方程組有兩不同實(shí)數(shù)解，消去，根據(jù)判別式，以及題中條件，列出不等式求解，即可得出結(jié)果；（ii）假設(shè)存在是符合題意的點(diǎn)；設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，計(jì)算，只需，即可得.【詳解】（1）設(shè)，，，由題意可得：，則，從而，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）因?yàn)辄c(diǎn)為弦的中點(diǎn)，所以，即，又直線過點(diǎn)，所以，則，即，而必在拋物線的內(nèi)部，從而，即.故的方程為.（2）（i）因?yàn)橹本€與相交于，兩點(diǎn)，所以方程組有兩不同實(shí)數(shù)解，由消去，得，即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，只需且，即且，解得：或.所以的取值范圍是或；（ii）假設(shè)存在是符合題意的點(diǎn)；設(shè)，.將消去，得，故，，由（i）知：或；從而，因此，當(dāng)，即時(shí)，，又為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即存在點(diǎn)符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查求拋物線弦中點(diǎn)的軌跡，以及直線與拋物線位置關(guān)系的綜合，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.11．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，焦點(diǎn)，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)．（1）若線段的中點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．【答案】（1）；（2）存在這樣的點(diǎn)Q滿足題意，且坐標(biāo)為，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)幾何性質(zhì)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，利用分別表示，根據(jù)以及成等差數(shù)列可求得結(jié)果.（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，且設(shè)，又，聯(lián)立直線與橢圓，得到，，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)斜率公式以及，化簡(jiǎn)變形可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又，，所以，，所以，設(shè)，則（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），因?yàn)?，所以，同理，所以，又成等差?shù)列，故，.（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，且設(shè)，又，聯(lián)立消去并整理得，所以，即，，因?yàn)?，所以與傾斜角互補(bǔ)，所以，，，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，故存在這樣的點(diǎn)，且．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）將分別用的橫坐標(biāo)表示是解題關(guān)鍵；（2）將轉(zhuǎn)化為，利用斜率公式和，變形化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.12．在直角坐標(biāo)系中，拋物線：與直線：交于，兩點(diǎn).（1）設(shè)，到軸的距離分別為，，證明：與的乘積為定值.（2）軸上是否存在點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在,【分析】（1）先將代入，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先設(shè)設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，由，得當(dāng)變化時(shí)，恒成立，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：將代入，得.設(shè)，，則，從而為定值.（2）解：存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.從而.當(dāng)時(shí)，有對(duì)任意恒成立，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、以及拋物線中的定點(diǎn)問題，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理等求解，屬于?？碱}型.13．已知圓和定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，所以有，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，再根據(jù)橢圓的定義即可得答案；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，再將平分轉(zhuǎn)化為直線與直線的斜率之和為零，最后將式子帶入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）圓，圓心，由線段的垂直平分線交于點(diǎn)得，又，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以，所以由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程，則，，所以，，所以曲線.（2）設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程消得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得①，②，由題設(shè)知平分直線與直的傾斜角互補(bǔ)，即直線與直線的斜率之和為零，即，即，即③，把①、②代入③并化簡(jiǎn)得，即④，所以當(dāng)變化時(shí)④成立，只要即可，所以存在定點(diǎn)滿足題設(shè).【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法求橢圓的方程，橢圓中的定點(diǎn)問題，考查運(yùn)算能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.14．在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，分別求拋物線在點(diǎn)和處的切線方程；（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.【答案】(1)過點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程分別為.(2)存在點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）將直線l的方程代入拋物線C的方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再聯(lián)立方程，判別式為零，可求出拋物線C在點(diǎn)M、N處的切線方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為符合題意的點(diǎn)，將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式計(jì)算直線PM和直線PN的斜率之和為0，求出的值，即可解決該問題．【詳解】（1）由題意知時(shí)，聯(lián)立，解得，．設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立得：，由題意：，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性，過點(diǎn)的切線斜率為，所以過點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程分別為.（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，得，故，，從而．當(dāng)時(shí)，有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法在拋物線綜合問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．15．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求弦長(zhǎng)；（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)滿足要求，理由見解析.【分析】（1）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算；（2）問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，設(shè)為符合題意的點(diǎn)，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和斜率公式表示直線和直線的斜率，代入化簡(jiǎn)整理，根據(jù)恒成立的意義求出的值，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立∴，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）∴，，∴.（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，，，聯(lián)立∴，則，∴，.∵，∴，即.所以，整理得：，所以，所以對(duì)任意成立，所以，所以存在點(diǎn)滿足要求.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，涉及弦長(zhǎng)問題，斜率問題，定點(diǎn)定值問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法，考查計(jì)算能力，屬于中等題．16．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)和處的切線方程；（Ⅱ）若軸上存在點(diǎn)，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有,試求出坐標(biāo).【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）過的切線斜率為切線方程為：，與聯(lián)立方程得，,由得,同理求N點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立直線和拋物線再結(jié)合韋達(dá)定理代入上式，可得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程得或，不妨取和，設(shè)過的切線斜率為，則其切線方程為：，與聯(lián)立方程得，，由得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）分所以曲線在的切線方程為：，同理，曲線在的切線方程為：.綜上在點(diǎn)和處的切線方程分別為和，（Ⅱ）聯(lián)立方程，消去整理得，設(shè)，斜率分別為，則由根與系數(shù)關(guān)系得，由題意，當(dāng)時(shí)，，將代入整理得恒成立，所以．所以軸上存在點(diǎn)，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．17．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線：交于，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的面積的取值范圍.（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在符合題意的點(diǎn)，詳見解析【分析】（1）設(shè)，，將代入C得方程整理得，．利用△MON的面積．可得MON的面積的取值范圍．

（2）直線，的斜率分別為，，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式可得?直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)?∠OPM＝∠OPN．即可證明．【詳解】解：（1）將代入，得，設(shè)，，則，，從而.因?yàn)榈降木嚯x為，所以的面積.因?yàn)椋?（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.從而.當(dāng)時(shí)，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18．已知圓圓動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.（I）求的方程.（II）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，問是否在軸上存在一點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)總有?若存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（I）；(II)．【分析】（I）利用兩圓外切的性質(zhì)和橢圓的定義得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)橢圓，再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解進(jìn)行求解；（II）假設(shè)存在滿足，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和進(jìn)行求解．【詳解】（1）圓的圓心為半徑圓的圓心半徑設(shè)圓的圓心為半徑為因?yàn)閳A與圓外切并與圓內(nèi)切，所以由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為.（2）假設(shè)存在滿足.設(shè)聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有①，其中恒成立，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由(顯然的斜率存在)，故即②，由兩