大一數(shù)學(xué)期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(0\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f(x)=\)（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(0\)6.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=-x^2\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^{-x}\)7.曲線(xiàn)\(y=x^2+1\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的切線(xiàn)方程是（）A.\(y=2x\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=x+1\)D.\(y=x\)8.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)9.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對(duì)收斂的10.微分方程\(y'=x\)的通解是（）A.\(y=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(y=x^2+C\)C.\(y=\frac{1}{2}x^2\)D.\(y=x^2\)答案：1.C2.B3.C4.A5.A6.B7.A8.A9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)2.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)3.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)D.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)4.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極值點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)6.對(duì)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說(shuō)法正確的有（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)B.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微D.函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)一定存在7.下列微分方程中，是一階線(xiàn)性微分方程的有（）A.\(y'+2y=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'=y^2\)D.\(xy'+y=e^x\)8.曲線(xiàn)\(y=x^2\)與直線(xiàn)\(y=2x\)所圍成圖形的面積可以用（）表示A.\(\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx\)B.\(\int_{0}^{2}(x^2-2x)dx\)C.\(\int_{0}^{2}|2x-x^2|dx\)D.\(\int_{0}^{2}(2x+x^2)dx\)9.下列關(guān)于極限的說(shuō)法正確的有（）A.\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定有定義B.\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在當(dāng)且僅當(dāng)\(\lim_{x\toa^-}f(x)=\lim_{x\toa^+}f(x)\)C.若\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，則\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)10.設(shè)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)（\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)）答案：1.ABD2.ABC3.ABD4.AC5.ABD6.CD7.AD8.AC9.BCD10.BCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\(x\geq1\)且\(x\neq2\)。（）2.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是\(y'=3x^2\)，它在\(R\)上單調(diào)遞增。（）5.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)就是把\(y\)看作常數(shù)時(shí)，\(z\)對(duì)\(x\)的導(dǎo)數(shù)。（）7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）8.微分方程\(y'+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)（\(C\)為任意常數(shù)）。（）9.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）10.函數(shù)\(y=\lnx\)在定義域內(nèi)是凸函數(shù)。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^4-2x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)。令\(y'=0\)，得\(x=-1,0,1\)。當(dāng)\(x\lt-1\)或\(0\ltx\lt1\)時(shí)，\(y'\lt0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(-1\ltx\lt0\)或\(x\gt1\)時(shí)，\(y'\gt0\)，函數(shù)遞增。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)。答案：\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)。在點(diǎn)\((1,2)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=4\)。則全微分\(dz=2dx+4dy\)。4.求微分方程\(y'-2y=0\)的通解。答案：這是一階線(xiàn)性齊次微分方程，分離變量得\(\frac{dy}{y}=2dx\)，兩邊積分\(\int\frac{dy}{y}=\int2dx\)，得\(\ln|y|=2x+C_1\)，即\(y=Ce^{2x}\)（\(C=e^{C_1}\)為任意常數(shù)）。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x+1)=1\)，\(f(0)=1\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)。左導(dǎo)數(shù)\(f_-'(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\)，右導(dǎo)數(shù)\(f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不等，所以在\(x=0\)處不可導(dǎo)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的斂散性（\(p\)為常數(shù)）。答案：當(dāng)\(p\leq0\)時(shí)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\neq0\)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)\(0\ltp\leq1\)時(shí)，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足萊布尼茨定理?xiàng)l件，級(jí)數(shù)收斂，但\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。3.結(jié)合實(shí)際例子，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：比如在生產(chǎn)中，要制作一個(gè)無(wú)蓋圓柱形水桶，在材料一定的