第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期中新洲區(qū)部分學(xué)校高中二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試用時(shí)：120分鐘滿分：150分2023.11第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5根木棒中任選3根，能構(gòu)成三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先羅列出能構(gòu)成三角形的情況，再應(yīng)用排列組合得到所有的情況，最后計(jì)算概率即可.【詳解】能構(gòu)成三角形的組合有三種，一共有種情況，所以能構(gòu)成三角形的概率為，故選：A2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意知向量，，，故，故選：D3.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直線的斜率，然后根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解出傾斜角的大小.【詳解】因?yàn)橹本€方程為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，所以，所以，故選：C.4.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A5.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為圓心的圓的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的一般方程為．故選：A.6.橢圓：左右焦點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線經(jīng)過(guò)交橢圓于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可求出，再根據(jù)求出，即可得解.【詳解】由的周長(zhǎng)為，得，又橢圓的焦距，則，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.7.若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，即為圓和圓相交，又由兩圓圓心距，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓相交，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算能力.8.如圖，在四棱錐中，已知：平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則四棱錐體積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用二面角的空間向量解法得到參數(shù)的關(guān)系式，最后根據(jù)體積公式得到最值即可.【詳解】因?yàn)槠矫媲遥砸詾檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，因?yàn)橐阎撬倪呅蝺?nèi)部一點(diǎn)，所以設(shè)，其中且（即點(diǎn)在平面內(nèi)部），則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面的法向量為，又因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即，由題易得，令，則，所以，因?yàn)槎娼瞧矫娼谴笮?，所以，即，解得①，因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，所以到平面的距離為，所以要使得四棱錐體積的最大，則，即要取到最大值，由①知時(shí)，此時(shí)點(diǎn)不在四邊形內(nèi)部，矛盾，故當(dāng)時(shí)體積取到最大值，此時(shí)，所以，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：碰到兩兩垂直的線段時(shí)，往往可以借助空間向量法來(lái)解決，需要在求解法向量的時(shí)候注意不求錯(cuò)即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，分直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)兩種情況討論，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，依題意直線的斜率存在，若直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線為，即，則，解得，所以直線的方程為或；若直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線為（），即，則，解得（舍去）或，所以直線方程為，綜上可得直線的方程為或或.故選：ACD10.如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用空間向量的基底表示向量，再結(jié)合空間向量線性運(yùn)算，逐一對(duì)各項(xiàng)計(jì)算判斷即可得出結(jié)果.【詳解】空間四邊形中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，所以選項(xiàng)D正確；對(duì)于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)C正確，故選：CD.11.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.過(guò)A，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為9C.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積恒為定值D.若為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】取中點(diǎn)，是與所成角或其補(bǔ)角，計(jì)算后判斷A，由平行平面的性質(zhì)作出截面等腰梯形，求出面積判斷B，由線面平行得出到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，由特殊點(diǎn)求出體積判斷C，作出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)是線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，計(jì)算后判斷D．【詳解】正方體易得，取中點(diǎn)，連接．由于是中點(diǎn)，因此，所以，所以是與所成角或其補(bǔ)角，由已知中，，，，A正確；取中點(diǎn)，連接，同理可證（由得），因此是過(guò)A，，三點(diǎn)的正方體的截面，它是等腰梯形，，，，面積為，B錯(cuò)；由于，平面，平面，所以平面，從而到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，當(dāng)與重合時(shí)，，C正確；設(shè)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則，又，顯然，，又，所以，，，顯然當(dāng)是線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，D錯(cuò)．故選：AC．12.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B.矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長(zhǎng)為C.若是橢圓的蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為D.若是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角時(shí)，或【答案】ABD【解析】【分析】利用新定義即可直接求出相關(guān)量，判斷選項(xiàng)AB，表示出三角形的面積，結(jié)合基本不等式即可判斷選項(xiàng)C，結(jié)合題意分析出當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)或重合，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓的方程知，，故蒙日?qǐng)A半徑為，則蒙日?qǐng)A的方程為，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，由題意知，矩形為圓的內(nèi)接矩形，當(dāng)為正方形時(shí)，由圓的半徑為得的邊長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為，因?yàn)?，即為蒙日?qǐng)A的直徑，所以，所以，又因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線與橢圓的蒙日?qǐng)A交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立解得或，不妨令，，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，為直角，且，，所以直線的斜率為或，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.某高校的入學(xué)面試中有道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是．若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第次為止．那么，李明最終通過(guò)面試的概率為_(kāi)__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可求得無(wú)法通過(guò)面試的概率，根據(jù)對(duì)立事件概率的求法可求得結(jié)果.【詳解】李明無(wú)法通過(guò)面試的概率為，李明最終通過(guò)面試的概率為.故答案為：.14.已知點(diǎn)，直線與圓：交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則直線的方程為_(kāi)_____寫(xiě)出一條即可【答案】（或或）【解析】【分析】分、和討論即可得解.【詳解】由圓：，得圓心，半徑，，在圓上，若，可得過(guò)圓心且，又，，直線的方程為，即；若，可得過(guò)圓心且，則,可得的直線的方程為，聯(lián)立圓方程，解得或，可得的坐標(biāo)為或，根據(jù)圓的對(duì)稱性易知，直線方程為或，即或；若，由的等價(jià)性可知該情況與一致；綜上：直線方程為：或或．故答案為：（或或）.15.如圖，正方形和的邊長(zhǎng)都是1，且平面，點(diǎn)、分別在、上移動(dòng)，若，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】正方形和的邊長(zhǎng)都是1，且平面，因?yàn)椤停?，所以為平面與平面夾角的平面角，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，則，故當(dāng)時(shí)，取的最小值，最小值為.故答案為：16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，則________.【答案】1【解析】【分析】利用橢圓定義以及余弦定理推出，根據(jù)，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得出答案.【詳解】由題意得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，故，且，即，得，則；由O為的中點(diǎn)，得，故，故，即，故答案為：1四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)黃球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.（1）求第二次取到黃球的概率；（2）求兩次取到的球顏色相同的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)已知確定樣本總量，并確定不同事件對(duì)應(yīng)容量，再應(yīng)用古典概型的概率求法、互斥事件加法求對(duì)應(yīng)概率.【小問(wèn)1詳解】從10個(gè)球中不放回的隨機(jī)取出2個(gè)球共有（種）可能，即.記事件“兩次取出的都是紅球”，則；記事件“第一次取出紅球，第二次取出黃球”，則；記事件“第一次取出黃球，第二次取出紅球”，則；記事件“兩次取出的都是黃球”，則；事件，，，兩兩互斥，故第二次取到黃球的概率；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：兩次取到的球顏色相同的概率.18.已知直線：和圓：.（1）求與直線垂直且經(jīng)過(guò)圓心的直線方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)直線為，將圓心坐標(biāo)代入，求得a的值，即得答案；（2）設(shè)直線為，根據(jù)直線和圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求出c，即得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與直線垂直的直線為圓可化為，圓心為，又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，故所求直線方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)與直線平行的直線為.又因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以，或5，故所求直線方程為或.19.已知空間中三點(diǎn)，，.設(shè)，.（1）求和；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的加減運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算，即可求解.（2）分別先算出、利用垂直求實(shí)數(shù)的值即可.【小問(wèn)1詳解】∵，，，，.∴，于是，，.【小問(wèn)2詳解】∵，，又與互相垂直，∴.即.∴，.20.已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、.（1）當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段長(zhǎng)度的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分析可知圓的半徑，設(shè)，利用勾股定理求出，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，分析可知，、、、四點(diǎn)共圓，求出以為直徑的圓的方程，可求出圓和圓的公共弦所在直線的方程，求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，結(jié)合勾股定理可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：由題可知，圓的半徑，設(shè)，因?yàn)槭菆A的一條切線，所以，所以，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，因?yàn)椤⑹菆A的兩條切線，所以，所以、、、四點(diǎn)共圓，且以為直徑，設(shè)圓心為，易知，則，圓的半徑為，則其方程為，即①，又圓②，①②得圓與圓相交弦所在直線方程為，即，由可得，所以，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故.21.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，為邊的中點(diǎn)，，，.（1）證明：；（2）試判斷線段上是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，若存在求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)在五等分點(diǎn)的二等分點(diǎn)處（靠近）【解析】【分析】（1）連接，通過(guò)證明平面來(lái)證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用二面角的余弦值求得點(diǎn)的位置.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)椋?，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，∴，因?yàn)椋?，因此，即，又因?yàn)?，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，?