第06講綜合與實(shí)踐：最短路徑問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①最短路徑的基本原理②利用軸對稱只是解決最短路徑問題③利用平移解決造橋選址問題掌握最短路徑的基本原理，即兩點(diǎn)之間線段最短與點(diǎn)到直線的距離最短。掌握最短路徑的幾種模型，能夠熟練的運(yùn)用軸對稱，垂直平分線的性質(zhì)解決相應(yīng)題目。知識點(diǎn)01最短路徑的基本原理最短路徑的基本原理：①兩點(diǎn)之間，線段最短。如圖，②號線最短②點(diǎn)到直線的距離最短。如圖，PC最短。③垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。如圖，MN是垂直平分線，CA=CB。知識點(diǎn)02利用軸對稱解決最短路徑問題兩點(diǎn)一線型（兩點(diǎn)在直線的異側(cè)）：問題：如圖1，直線兩側(cè)有點(diǎn)A與點(diǎn)B，在直線l上找一點(diǎn)p，使PA＋PB最小。作法：如圖2，連接AB，AB與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。結(jié)論：PA＋PB最小原理：兩點(diǎn)之間，線段最短。圖1圖2兩點(diǎn)一線型（兩點(diǎn)在直線的同側(cè)）：問題：如圖1，直線兩同側(cè)有點(diǎn)P與點(diǎn)Q，在直線l上找一點(diǎn)M，使MP＋MQ最小。作法：如圖2，作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，線段與直線的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)M。即作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)p’。連接P’Q，P’Q與直線l交于即為點(diǎn)M。結(jié)論：MP＋MQ最小。原理證明：∵P與P’關(guān)于直線l對稱∴直線l是PP’的垂直平分線∴MP＝MP’∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q?！郙P＋MQ此時(shí)有最小值，為P’Q的長度圖1圖2【即學(xué)即練1】1．如圖，一條筆直的河l，牧馬人從P地出發(fā)，到河邊M處飲馬，然后到Q地，現(xiàn)有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱得出最短路徑即可．【解答】解：使牧馬人所走路徑最短的是，故選：D．【即學(xué)即練2】2．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的中線，且AD＝6，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，BE+EF的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】解題時(shí)注意，最小值問題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．連接CE，由題意可得BE＝EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，且CF⊥AB時(shí)，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此時(shí)CF的長度為BE+EF的最小值．【解答】解：如圖：連接CE，∵△ABC是等邊三角形，AD是中線，∴AD垂直平分BC，∴BE＝EC，∴BE+EF＝EC+EF，∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，且CF⊥AB時(shí)，EC+EF值最小，即BE+EF的值最?。藭r(shí)：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，∴AD＝CF＝6，即BE+EF的最小值是6，故選：B．一點(diǎn)兩線型：問題：如圖1，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長最小。作法：如圖2，分別作點(diǎn)P關(guān)于OM與ON的對稱點(diǎn)P’與P’’，連接P’P’’。P’P’’與OM、ON的交點(diǎn)A與B即為要找到的點(diǎn)。結(jié)論：△PAB的周長最小。原理證明：證明：∵P與P’關(guān)于OM對稱，P與P’’關(guān)于ON對稱∴OM是PP’的垂直平分線，ON是PP’’的垂直平分線?！郃P＝AP’，BP＝BP’’∴＝AP’＋AB＋BP’’＝P’P’’∴△PAB的周長最小。圖1圖2【即學(xué)即練1】3．如圖，已知∠O，點(diǎn)P為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在∠O的兩邊上找點(diǎn)A、B，使△PAB周長最小的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于∠O的兩邊的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交∠O的兩邊于A，B，連接PA，PB，此時(shí)△PAB的周長最?。蔬x：D．【即學(xué)即練2】4．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP＝8．點(diǎn)M、N分別在OA、OB上，則△PMN周長的最小值為8．【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長＝P1P2，然后證明△OP1P2是等邊三角形，即可求解．【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，連接OP，則OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等邊三角形．△PMN的周長＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．故答案為：8．兩點(diǎn)兩線型：問題：如圖1，已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最小。作法：如圖2，分別作點(diǎn)關(guān)于較近直線的對稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段與邊OA與OB相交與點(diǎn)M與點(diǎn)N，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N即為要找的點(diǎn)。即作點(diǎn)Q關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C，連接DC，DC與OA交于點(diǎn)M，與OB交于點(diǎn)N，連接QM，MN，PN，PQ。結(jié)論：四邊形PQMN的周長最小。原理證明：∵Q與D關(guān)于OA對稱，P與C關(guān)于OB對稱∴OA是QD的垂直平分線，OB是PC的垂直平分線?！郙D＝MQ，NP＝NC。＝PQ＋MD＋MN＋NC＝PQ＋DC?！嗨倪呅蜳QMN的周長最小。圖1圖2【即學(xué)即練1】5．已知：∠AOB，點(diǎn)M和點(diǎn)N，試在OA、OB上分別找點(diǎn)P、Q，使四邊形MNQP的周長最短．（尺規(guī)作圖，不需寫作法，保留作圖痕跡）【分析】分別作M點(diǎn)和N點(diǎn)關(guān)于OA和OB的對稱點(diǎn)M′、N′，連接M′N′交OA于P，交OB于Q，則四邊形MNQP滿足條件．【解答】解：如圖，四邊形MNQP為所作．【即學(xué)即練2】6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點(diǎn)D，E是邊AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是邊AC，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時(shí)，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°【分析】作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E'，連接D'E'分別交AC，BC于點(diǎn)M'，N'，連接ME'，ND'，EM'，DN'，推出四邊形DEMN的周長最小時(shí)，點(diǎn)M與M'重合，點(diǎn)N與點(diǎn)N'重合，再求出∠DN'M+∠EM'N即可解決問題．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E'，連接D'E'分別交AC，BC于點(diǎn)M'，N'，連接ME'，ND'，EM'，DN'，則ME＝ME'，ND＝ND'，∴四邊形DEMN的周長＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE長固定，∴點(diǎn)M與M'重合，點(diǎn)N與點(diǎn)N'重合時(shí)，四邊形DEMN的周長最小，此時(shí)∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N，由對稱性和三角形外角性質(zhì)可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），設(shè)DD'與BC交于點(diǎn)H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時(shí)，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故選：B．知識點(diǎn)03利用平移解決造橋選址問題造橋選址問題：問題：如圖1，平行河岸兩側(cè)各有一村莊P、Q，現(xiàn)在河上修建一座垂直于河岸的橋，使得村莊P到村莊Q的路程最短。作法：如圖2，在其中一個(gè)村莊作垂直于河岸的直線，使其長度等于橋的長度，連接端點(diǎn)與另一村莊，直線與另一村莊岸邊的交點(diǎn)即為選址地點(diǎn)。圖1圖2【即學(xué)即練1】7．如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，使FEPP′為平行四邊形即可，即PP′垂直河岸且等于河寬，接連P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河寬，連接QP′，與另一條河岸相交于F，作FE⊥直線l1于點(diǎn)E，則EF∥PP′且EF＝PP′，于是四邊形FEPP′為平行四邊形，故P′F＝PE，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．,題型01最短路徑作圖【典例1】小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．【分析】本題利用軸對稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【解答】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交街道所在直線于點(diǎn)C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C′，連接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最小．故選：C．【變式1】如圖，A、B是兩個(gè)居民小區(qū)，快遞公司準(zhǔn)備在公路l上選取點(diǎn)P處建一個(gè)服務(wù)中心，使PA+PB最短．下面四種選址方案符合要求的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得，在公路l上選取點(diǎn)P，使PA+PB最短．則選項(xiàng)A符合要求，故選：A．【變式2】已知：如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l同一側(cè)．求作：直線l上一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。痉治觥窟^A作直線l的垂線，在垂線上取點(diǎn)A′，使直線l是AA′的垂直平分線，連接BA′即可．【解答】作法：作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求．【變式3】如圖，直線l1、l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋，使得村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短，現(xiàn)兩位同學(xué)提供了兩種設(shè)計(jì)方案，下列說法正確的是（）方案一：①將點(diǎn)A向上平移d得到A'；②連接A'B交l1于點(diǎn)M；③過點(diǎn)M作MN⊥l1，交l2于點(diǎn)N，MN即橋的位置．方案二：①連接AB交l1于點(diǎn)M；②過點(diǎn)M作MN⊥l1，交l2于點(diǎn)N．MN即橋的位置．A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行【分析】因?yàn)楹訉捠谴_定的，要使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解決問題．【解答】解：河寬是確定的，要使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短，只要AN+BM最短即可．∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d，連接BA′，與另一條河岸相交于M，作MN⊥直線l1，由平移的性質(zhì)，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．故方案一符合題意，故選：A．【變式4】在OA、OB分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，網(wǎng)格內(nèi)有一固定點(diǎn)P，要使得△PMN周長最小，請?jiān)趫D中規(guī)范地做出M、N兩點(diǎn)的位置，并說明理由．【分析】作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)Q，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)R，連接QR分別交OA、OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N，由軸對稱及線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以此時(shí)PM+PN+MN的值最小，則點(diǎn)M、點(diǎn)N就是所求的圖形．【解答】解：取格點(diǎn)Q，格點(diǎn)R，連接QR分別交OA、OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)M、點(diǎn)N就是所求的圖形.理由：連接PQ、PR，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線OA對稱，∴OA垂直平分PQ，∴PM＝QM，∵點(diǎn)R與點(diǎn)P關(guān)于直線OB對稱，∴OB垂直平分PR，∴PN＝RN，∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，∵Q、M、N、R四點(diǎn)在同一條直線上，∴QM+RN+MN＝QR的值最小，∴PM+PN+MN的值最小，∴△PMN周長最?。咀兪?】如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（保留作圖痕跡）【分析】根據(jù)題意，P點(diǎn)既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔P的位置．【解答】解：作出線段AB的垂直平分線，與∠COD的平分線交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)為所求．【變式6】如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，要求指出最短路徑．同學(xué)甲：牧馬人從A地出發(fā)，把馬牽到草地與河邊的交匯處N點(diǎn)，牧馬又飲馬，然后回到B處．同學(xué)乙：作A點(diǎn)關(guān)于直線MN對稱的A′點(diǎn)，再作B點(diǎn)關(guān)于直線l對稱的B′點(diǎn)，連接A′B′交直線MN于Q點(diǎn)，交直線l于P點(diǎn)，則路徑A→Q→P→B為最短路徑．你認(rèn)為哪位同學(xué)指出的最短路徑正確？畫出圖形，并說明理由．【分析】作出點(diǎn)A的關(guān)于草地的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B的關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對稱點(diǎn)，交于草地于點(diǎn)Q，交河邊于點(diǎn)P，連接AQ，BP，即可得到結(jié)論【解答】解：同學(xué)乙指出的最短路徑正確．理由：如圖，在直線MN上任意選一點(diǎn)Q1，在直線l上任意選一點(diǎn)P1，連接AQ1，A′Q1，BP1，B′P1．由軸對稱性質(zhì)，易得AQ1＝A′Q1，BP1＝B′P1．∵A′Q1+P1Q1+B′P1＞A′B′＝A′Q+QP+PB′，∴AQ1+P1Q1+BP1＞A′B′，當(dāng)A′，Q1，P1，B′共線時(shí)，∴A′Q1+P1Q1+B′P1＝A′B′＝A′Q+QP+PB′∵AQ+PQ+BP＝A′Q+QP+PB′∴AQ+PQ+BP是最短路徑．題型02最短路徑的計(jì)算【典例1】如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線且AD＝12，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為．【分析】作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出CN，根據(jù)對稱性求出CF+EF＝CM，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．【解答】解：作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD＝12，∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN，∴CN＝＝＝，∵E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，∴EF＝FM，∴CF+EF＝CF+FM＝CM，根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥，即CF+EF的最小值是，故答案為：．【變式1】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD＝60°，即可得出結(jié)果．【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN＝6，∴DM+CN+MN＝6，即CD＝6＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，故選：B．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分別是BC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠B＝58°，當(dāng)△DMN的周長最小時(shí)，∠MDN的度數(shù)是（）A．122° B．64° C．62° D．58°【分析】延長DA到E使DA＝AE，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF交AB于N，交BC于M，此時(shí)，△DMN的周長最小，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，設(shè)∠MDN＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：延長DA到E使DA＝AE，延長DC到F，使CF＝DC，連接EF交AB于N，交BC于M，此時(shí)，△DMN的周長最小，∵∠A＝∠C＝90°，∴DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝58°，∴∠ADC＝122°，設(shè)∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣α，∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣α），∴a+2（122°﹣α）＝180°，解得：α＝64°，故選：B．【變式3】如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與PE的和最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是60°．【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解決問題；【解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案為60°．【變式4】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC的面積為12，BC＝4，則△BDM周長的最小值是8．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為BM+MD的最小值，∴△BDM的周長最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．故答案為：8．【變式5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×8×AD＝20，解得AD＝5，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝5+×8＝5+4＝9．故選：B．【變式6】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝8cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長的最小值是8cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD＝60°，即可得出結(jié)果．【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周長的最小值是8cm，∴PM+PN+MN＝8，∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，故選：A．【變式7】如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為10．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故答案為：10．【變式8】已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．（1）如圖1，點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對稱點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對稱點(diǎn)是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝100°；②若PO＝5，連接GH，請說明當(dāng)∠MON為多少度時(shí)，GH＝10；（2）如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，求∠APB的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)軸對稱可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，進(jìn)而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，∠GOH＝180°，此時(shí)點(diǎn)G，O，H在同一直線上，可得GH＝GO+HO＝10；（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OM、ON對稱點(diǎn)分別為P′、P″，當(dāng)點(diǎn)A、B在P′P″上時(shí)，△PAB周長為PA+AB+BP＝P′P″，此時(shí)周長最小．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可求出∠APB的度數(shù)．【解答】解：（1）①∵點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對稱點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對稱點(diǎn)是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案為：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，∠GOH＝180°，∴點(diǎn)G，O，H在同一直線上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點(diǎn)A、B，連接PA、PB，則AP＝AP'，BP＝BP“，此時(shí)△PAB周長的最小值等于P′P″的長．由軸對稱性質(zhì)可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．1．如圖，在正方形網(wǎng)格中有M，N兩點(diǎn)，在直線l上求一點(diǎn)P使PM+PN最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【分析】首先求得點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′，連接M′N，即可求得答案．【解答】解：如圖，點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接M′N，則M′N與直線l的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，此時(shí)PM+PN最短，∵M(jìn)′N與直線l交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)P應(yīng)選C點(diǎn)．故選：C．2．如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的中線AD＝6，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，EB+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】解題時(shí)注意，最小值問題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．連接CE，由題意可得BE＝EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，且CF⊥AB時(shí)，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此時(shí)CF的長度為FE+EB的最小值．【解答】解：如圖：連接CE，∵△ABC是等邊三角形，AD是中線，∴AD垂直平分BC，∴BE＝EC，∴BE+EF＝EC+EF，∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，且CF⊥AB時(shí)，EC+EF值最小，即BE+EF的值最?。藭r(shí)：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，∴AD＝CF＝6，即EB+EF的最小值是6，故選：A．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果點(diǎn)D，E分別為BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)A'E⊥AB，交BC于點(diǎn)D．則AD＝A'D，所以AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值為A'E．【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)A'E⊥AB，交BC于點(diǎn)D.則AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值為A'E．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，AA'＝12，∵S△AA'B＝，∴A'E＝＝＝9.6，即AD+DE的最小值為9.6．故選：B．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ＝PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用S△ABC＝AB?CM＝AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC＝AB?CM＝AC?BC，∴CM＝＝，即PC+PQ的最小值為．故選：B．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊AC的垂直平分線MN分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上任意一點(diǎn)，連接PD、PC，若∠A＝40°，則當(dāng)△PCD周長最小時(shí)，∠CPD＝（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】連接AP．根據(jù)MN垂直平分AC，推出PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，所以PC+PD＝PA+PD，當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，PA+PD最小，最小值為AD．據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖，連接AP．∵M(jìn)N垂直平分AC，∴PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，∴PC+PD＝PA+PD，當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，PA+PD最小，最小值為AD．∴△PCD周長最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD．∵AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠CAD，∴∠CPD＝∠BAD＝40°．故選：D．6．如圖，已知∠AOB＝α，C是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，且OC＝3，點(diǎn)D、E分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△CDE周長的最小值等于3，則α＝（）A．45° B．40° C．35° D．30°【分析】設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為P，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)E、F在射線PD上時(shí)，△CDE的周長為CD+CE+DE＝PF，此時(shí)周長最小，根據(jù)OC＝3可求出α的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)F，連接PF，交OA于D，OB于E．此時(shí)，△CDE的周長最小．連接OP，OF，CD，EF．∵點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP，同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC．∴∠POF＝2α．又∵△CDE的周長＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝3，∴OP＝OC＝OF＝3，∴△POF是等邊三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故選：D．7．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．100° B．90° C．70° D．80°【分析】要使△AEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，即可得出答案．【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．∵∠C＝40°，∴∠DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，故選：A．8．如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PBD的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【分析】如圖，連接PC．利用三角形的面積公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值為4，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，連接CP，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝AD＝3，∵S△ABC＝?AB?CD＝12，∴CD＝4，∵EF垂直平分BC，∴PB＝PC，∴PB+PD＝PC+PD，∵PC+PD≥CD，∴PC+PD≥4，∴PC+PD的最小值為4，∴△PBD的最小值為4+3＝7，故選：B．9．如圖，點(diǎn)N在等邊△ABC的邊BC上，CN＝6，射線BD⊥BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MP+NP的值最小時(shí)，CM＝7，則AC的長為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根據(jù)等邊三角形到現(xiàn)在得到AB＝BC，∠C＝60°，作點(diǎn)N關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)G，過G作GM⊥AC于M，交BD于P，則此時(shí)，MP+PN的值最小，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠G＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CG＝2CM＝14，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠C＝60°，作點(diǎn)N關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)G，過G作GM⊥AC于M，交BD于P，則此時(shí)，MP+PN的值最小，∵∠C＝60°，∠CNG＝90°，∴∠G＝30°，∵CM＝7，∴CG＝2CM＝14，∴NG＝8，∴BN＝GG＝4，∴AC＝BC＝10，故選：C．10．如圖，等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的點(diǎn)，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為（）A．7 B．8 C．10 D．12【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈礟E+QE＝PE+EQ′＝PQ′，【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∵D為AC中點(diǎn)，AQ＝4，QD＝3，∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈礟E+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，∴QD＝DQ′＝3，∴CQ′＝BP＝4，∴AP＝AQ′＝10，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等邊三角形，∴PQ′＝PA＝10，∴PE+QE的最小值為10．故選：C．11．如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），M是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），則CM+MN的最小值為．【分析】作CG⊥AB于點(diǎn)G，由×5CG＝×4×3＝S△ABC，求得CG＝，作NE⊥AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)E，連接CE交AD于點(diǎn)I，連接ME、IN，可證明點(diǎn)E與點(diǎn)N關(guān)于直線AD對稱，則MN＝ME，IN＝IE，可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)I重合時(shí)，CM+MN＝CE，則當(dāng)CE的值最小時(shí)，CM+MN的值最小，即可求得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，CE取得最小值，則CM+MN的最小值為．【解答】解：作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠C＝90°，∴AB?CG＝AC?BC＝S△ABC，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴×5CG＝×4×3，∴CG＝，作NE⊥AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)E，連接CE交AD于點(diǎn)I，連接ME、IN，∴∠AFN＝∠AFE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠FAN＝∠FAE，在△FAN和△FAE中，，∴△FAN≌△FAE（ASA），∴FN＝FE，∴點(diǎn)E與點(diǎn)N關(guān)于直線AD對稱，∴MN＝ME，IN＝IE，∴CM+MN＝CM+ME，∵當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)I重合時(shí)，CM+MN＝CM+ME＝CI+IN＝CI+IE＝CE，∴當(dāng)CE的值最小時(shí)，則CM+MN的值最小，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，則CE＝CG＝，此時(shí)CE取得最小值，∴CM+MN的最小值為，故答案為：．12．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面積為24．點(diǎn)E在邊AC上，點(diǎn)F在邊AB上，且EF垂直平分AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段EF上移動(dòng)，連接CM，DM，則△CDM的周長的最小值為10．【分析】連接AD，由AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)可得AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再判斷出點(diǎn)M在AD上時(shí)，AM+CM最小，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，AM，∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AM＝CM，當(dāng)點(diǎn)M在AD上時(shí)，CM+MD最小，最小值為AD，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝＝＝10．故答案為：10．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN周長最小，此時(shí)∠MAN＝80°，則∠BAD的度數(shù)為130°．【分析】作A點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)F，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E，連接EF交CD于N，交BC于M，連接AM、AN，此時(shí)△AMN的周長有最小值，由對稱性求出∠BAM+∠FAN＝50°，則有∠BAD＝130°．【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)F，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E，連接EF交CD于N，交BC于M，連接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周長＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此時(shí)△AMN的周長有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠EAM+∠MAN+∠NAD）＝180°﹣（∠E+∠F）﹣80°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠BAD＝80°+50°＝130°，故答案為：130°．14．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)是110°．【分析】延長AB到點(diǎn)G，延長AD到點(diǎn)H，使GB＝AB，HD＝AD，連接AE、AF，則AM＝GM，AN＝HN，連接GH交BC于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)H，連接AE、AF，則AE＝GE，AF＝HF，由GM+MN+HN≥GH，得AM+MN+AN≥GE+EF+HF，可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合并且點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，△AMN周長最小，可求得∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°，于是得到問題的答案．【解答】解：延長AB到點(diǎn)G，延長AD到點(diǎn)H，使GB＝AB，HD＝AD，連接AE、AF，∵BC垂直平分AG，DC垂直平分AH，∴點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于直線BC對稱，點(diǎn)A與點(diǎn)H關(guān)于直線DC對稱，∴AM＝GM，AN＝HN，∴AM+MN+AN＝GM+MN+HN，連接GH交BC于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)H，連接AE、AF，∵AE＝GE，AF＝HF，∴AE+EF+AF＝GE+EF+HF＝GH，∵GM+MN+HN≥GH，∴AM+MN+AN≥GE+EF+HF，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合并且點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，△AMN周長最小，∵∠EGA＝∠EAG，∠FHA＝∠FAH，∴∠AEF＝∠EGA+∠EAG＝2EGA，∠AFE＝∠FHA+∠FAH＝2∠FHA，∴∠AEF+∠AFE＝2（∠EGA+∠FHA），∵∠EGA+∠FHA＝180°﹣∠BAD＝180°﹣125°＝55°，∴∠AEF+∠AFE＝2×55°＝110°，∴∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°，故答案為：110°．15．已知：如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β．當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β﹣α＝60°．【分析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN＝，∴∠QPN＝＝＝（180°﹣α）∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+∠AQN'＝∠AOB+＝30°+（180°﹣β），∴（180°﹣α）＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝240°﹣β，∴β﹣α＝240°﹣180°，∴β﹣α＝60°，故答案為60°．16．如圖，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB內(nèi)一點(diǎn)，連接PO后測得PO＝10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個(gè)三角形花壇PQR，點(diǎn)Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求△PQR周長的最小值．【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)M，N，連接OM，ON，MN，MN交OA，OB于點(diǎn)Q，R，連接PR，PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN，利用軸對稱的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)M，N，連接OM，ON，MN，MN交OA，OB于點(diǎn)Q，R，連接PR，PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．由軸對稱性質(zhì)可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×30°＝60°，則△MON為等邊三角形，即NM＝ON＝OP＝10cm．即△PQR周長的最小值等于10cm．17．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完