第04講平方差公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平方差公式掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，幾何意義，并能夠在題目中熟練應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01平方差公式平方差公式：＝。即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方的差。平方差公式的特征：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘。若他們其中一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，則他們的結(jié)果等于相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)項(xiàng)的平方。平方差公式的幾何意義：如圖：將圖①的藍(lán)色部分移到圖②的位置。圖①的面積為：；圖②的面積為：；圖①與圖②的面積相等。所以【即學(xué)即練1】1．計(jì)算：（1）（a+b）（a﹣2）；（2）；（3）（m+n）（m﹣n）；（4）（0.1﹣x）（0.1+x）；（5）（x+y）（﹣y+x）．【分析】根據(jù)平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以用平方差公式計(jì)算的式子的特點(diǎn)是：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．相乘的結(jié)果應(yīng)該是：右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）．即可解答本題．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣2）＝a2+ba﹣2a﹣2b，（2）（x﹣）（x+）＝，（3）（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，（4）（0.1﹣x）（0.1+x）＝0.01﹣x2，（5）（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2．【即學(xué)即練2】2．已知x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，則x+y等于5．【分析】根據(jù)平方差公式得出x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）代入已知求出即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝10，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）＝10，∴x+y＝5．故答案為：5．【即學(xué)即練3】3．計(jì)算：1232﹣124×122．【分析】先把124×122寫(xiě)成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式計(jì)算，去掉括號(hào)后再合并即可．【解答】解：1232﹣124×122，＝1232﹣（123+1）（123﹣1），＝1232﹣（1232﹣12），＝1．【即學(xué)即練4】4．如圖（1），在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖（2），此過(guò)程可以驗(yàn)證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【分析】分別表示圖（1）和圖（2）中陰影部分的面積即可得出答案．【解答】解：圖（1）中陰影部分的面積為：a2﹣b2，圖（2）中陰影部分的面積為（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：C．題型01利用平方差公式計(jì)算【典例1】下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（）A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2）【分析】根據(jù)平方差公式分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、（x+1）（﹣x﹣1），不可以用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)A不符合題意；B、（2+a2）（2﹣a2），可以用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)B符合題意；C、（﹣x+y）（x﹣y），不可以用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)C不符合題意；D、（x2+y）（x﹣y2），不可以用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【變式1】計(jì)算：（1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）．【分析】（1）直接運(yùn)用平方差公式展開(kāi)；（2）先根據(jù)平方差公式展開(kāi)得到原式＝（x3）2﹣22，然后根據(jù)冪的乘方法則運(yùn)算；（3）先提負(fù)號(hào)得到原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n），然后根據(jù)平方差公式計(jì)算．【解答】解：（1）原式＝x2﹣9y2；（2）原式＝（x3）2﹣22＝x6﹣4；（3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n）＝﹣（4m2﹣n2）＝﹣4m2+n2．【變式2】利用乘法公式計(jì)算下列各題：（1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）．【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）二次利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（4）先把第一項(xiàng)和第三項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算，然后再次利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2；（2）（x+5y）（x﹣5y）＝（x）2﹣（5y）2＝x2﹣25y2；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；（4）（x﹣）（x2+）（x+）＝（x2﹣）（x2+）＝x4﹣．【變式3】計(jì)算：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）；（2）；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）；（4）；（5）．【分析】根據(jù)平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即可解答本題．【解答】解：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）＝25﹣4a2；（2）（+）（﹣）＝；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）＝9x2﹣25a2b2；（4）（）（）﹣（x+8），＝﹣4﹣﹣2x，＝﹣2x﹣4；（5）（x﹣y）（）﹣（）（），＝（x﹣y）（）﹣（），＝．題型02利用平方差公式求值【典例1】如果a2﹣b2＝12，a+b＝4，則a﹣b＝3．【分析】先根據(jù)平方差公式分解，再代入求出即可．【解答】解：∵a2﹣b2＝12，∴（a+b）（a﹣b）＝12，∵a+b＝4，∴a﹣b＝3，故答案為：3．【變式1】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，則a+b的值為（）A．5 B．2 C．10 D．無(wú)法計(jì)算【分析】a2﹣b2＝10，即（a+b）（a﹣b）＝10，把a(bǔ)﹣b＝2代入即可求得答案．【解答】解：∵a2﹣b2＝10，∴（a+b）（a﹣b）＝10，∵a﹣b＝2，∴a+b＝5．故選：A．【變式2】已知x2﹣y2＝﹣1，x+y＝，則x﹣y＝﹣2．【分析】先對(duì)已知等式的左邊利用平方差公式分解因式，然后再利用積、因數(shù)的關(guān)系可得答案．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝，∴x﹣y＝＝﹣2．故答案為：﹣2．【變式3】若a+b＝3，則a2﹣b2+6b的值為（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】將所求的代數(shù)式變形處理，將已知條件整體代入即可．【解答】解：∵a+b＝3，∴a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b＝3a﹣3b+6b＝3（a+b）＝3×3＝9．故選：C．【變式4】已知m﹣n＝1，則m2﹣n2﹣2n的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)，把m﹣n＝1整體代入即可得出答案．【解答】解：∵m﹣n＝1，∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n＝m+n﹣2n＝m﹣n＝1，故選：A．題型03利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算【典例1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算103×97時(shí)，變形正確的是（）A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32【分析】利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，把原式化為103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32，從而可得答案．【解答】解：103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32．故選：B．【變式1】20132﹣2012×2014的計(jì)算結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【解答】解：20132﹣2012×2014＝20132﹣（2013﹣1）（2013+1）＝20132﹣20132+1＝1．故選：A．【變式2】利用平方差公式計(jì)算：（1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997．【分析】這是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，把這兩個(gè)二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．相乘的結(jié)果應(yīng)該是：右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）．【解答】解：（1）（30+1）（30﹣1），＝900﹣1，＝899；（2）（10﹣0.1）（10+0.1），＝100﹣0.01，＝99.99；（3）（100﹣2）（100+2），＝10000﹣4，＝9996；（4）（1000+3）（1000﹣3），＝1000000﹣9，＝999991．【變式3】已知M＝20242，N＝2023×2025，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能確定【分析】利用平方差公式把N＝2023×2025變形后即可判斷．【解答】解：∵M(jìn)＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1，20242﹣（20242﹣1）＝1＞0，∴M＞N．故選：A．【變式4】計(jì)算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042．﹣2009010【分析】本題是平方差公式的應(yīng)用．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]，利用平方差公式12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]＝﹣[（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+（6﹣5）（6+5）+…+（2002﹣2001）（2002+2001）+（2004﹣2003）（2004+2003）]＝﹣（3+7+11+15+…+4003+4007）＝﹣＝﹣2009010．【變式5】計(jì)算：…．【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【解答】解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝××××…××＝×＝．題型04平方差公式的幾何意義【典例1】如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形；如圖②，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2【分析】由圖1可知剩余部分的面積，由圖2可求長(zhǎng)方形的面積，兩部分面積相等即可求解．【解答】解：由圖1可知剩余部分的面積為：a2﹣b2，由圖2可求長(zhǎng)方形的面積為：（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：C．【變式1】如圖，陰影部分是在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過(guò)割、拼，形成新的圖形．給出下列2種割拼方法，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（）A．① B．② C．①② D．①②都不能【分析】利用面積法，分別計(jì)算左圖與右圖的陰影部分面積進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：如圖①，左圖的陰影部分的面積為a2﹣b2，右圖的陰影部分是上底為2b，下底為2a，高為（a﹣b）的梯形，因此面積為（2b+2a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此圖①方法可以驗(yàn)證平方差公式，如圖②，左圖的陰影部分的面積為a2﹣b2，右圖的陰影部分是底為（a+b），高為（a﹣b）的平行四邊形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此圖②方法也可以驗(yàn)證平方差公式，故選：C．【變式2】王大爺改建一個(gè)邊長(zhǎng)為x（x＞3）米的正方形養(yǎng)殖場(chǎng)，計(jì)劃正方形養(yǎng)殖場(chǎng)縱向增加3米，橫向減少3米，則改建后養(yǎng)殖場(chǎng)面積的變化情況是（）A．面積減少3m2 B．面積減少9m2 C．面積增加3m2 D．面積增加9m2【分析】求出變化前后面積差即可．【解答】解：變化前正方形的面積為x2平方米，變化后的長(zhǎng)為（x+3）米，寬為（x﹣3）米，因此面積為（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米，所以變化后面積減少9平方米，故選：B．【變式3】如圖，邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為3，則另一邊長(zhǎng)是（）A．2a+3 B．2a+6 C．a(chǎn)+3 D．a(chǎn)+6【分析】設(shè)另一邊長(zhǎng)為x，然后根據(jù)剩余部分的面積的兩種表示方法列式計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)另一邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意得，3x＝（a+3）2﹣a2，解得x＝2a+3．故選：A．【變式4】如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是（）A．80 B．40 C．20 D．10【分析】設(shè)BC＝a，BD＝b，由拼圖可知AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40，再利用三角形面積公式分別用代數(shù)式表示兩個(gè)陰影三角形的面積和，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：設(shè)BC＝a，BD＝b，則AE＝a﹣b，a2﹣b2＝40，所以S陰影部分＝a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）＝×（a2﹣b2）＝×40＝20．故選：C．1．下列各式不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b）【分析】根據(jù)（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2平方差公式逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：A．（y+2x）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，故能夠用平方差公式計(jì)算；B．（﹣x﹣3y）（x+3y）不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，故不能夠用平方差公式計(jì)算；C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）＝4x4﹣y4，故能夠用平方差公式計(jì)算；D．（4a+b）（4a﹣b）＝16a2﹣b2，故能夠用平方差公式計(jì)算；故選：B．2．已知x﹣y＝5，則x2﹣y2﹣10y的值是（）A．10 B．15 C．20 D．25【分析】先把x2﹣y2﹣10y變形為：（x+y）（x﹣y）﹣10y，把x﹣y＝5代入，再整理為：5（x﹣y），再把x﹣y＝5代入計(jì)算，即可得出答案．【解答】解：∵x﹣y＝5，∴x2﹣y2﹣10y＝（x2﹣y2）﹣10y＝（x+y）（x﹣y）﹣10y＝5（x+y）﹣10y＝5x+5y﹣10y＝5x﹣5y＝5（x﹣y）＝5×5＝25．故選：D．3．若（a+1）（a﹣1）＝35，則a的值為（）A．±6 B．±3 C．6 D．3【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，∴a2﹣1＝35，∴a2＝36，∴a＝±6，故選：A．4．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，則a2﹣b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平方差公式即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．故選：C．5．計(jì)算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）等于（）A．a(chǎn)4﹣b4 B．a(chǎn)6+b6 C．a(chǎn)6﹣b6 D．a(chǎn)8﹣b8【分析】根據(jù)平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求解即可得到答案．【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4）＝（a4﹣b4）（a4+b4）＝a8﹣b8，故選：D．6．若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加2cm，則面積相應(yīng)增加了32cm2，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）A．6cm B．5cm C．8cm D．7cm【分析】設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意由面積相增加了32cm2列出方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，由題意得（x+2）2﹣x2＝32，解得x＝7．故選：D．7．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，則x+y的值為（）A．3 B．±3 C．﹣3 D．±5【分析】根據(jù)題中條件，掌握解方程的基本方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．令x+y＝m，得出（m+1）（m﹣1）＝8，求出m2＝9，得出m＝±3，即可得出答案．【解答】解：令x+y＝m，∵（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，∴（m+1）（m﹣1）＝8，∴m2﹣1＝8，解得：m2＝9，∴m＝±3，∴x+y＝﹣3，x+y＝3，故選：B．8．如圖，從邊長(zhǎng)為a+1的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線剪開(kāi)，再拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則該矩形的面積是（）A．4a B．2a C．a(chǎn)2﹣1 D．2【分析】根據(jù)拼圖用代數(shù)式表示拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而利用長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)拼圖可知，拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+1）+（a﹣1）＝2a，寬為（a+1）﹣（a﹣1）＝2，因此面積為2a×2＝4a，故選：A．9．如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為（a+2）的小正方形（a＞2），將剩余部分剪開(kāi)，密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（）A．3a2﹣4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．3a2+4a+4【分析】直接用大正方形的面積，減去小正方形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：該平行四邊形的面積為（2a）2﹣（a+2）2＝4a2﹣a2﹣4a﹣4＝3a2﹣4a﹣4，故選：C．10．如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱(chēng)該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過(guò)2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554【分析】設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），求出和諧數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)和諧數(shù)不超過(guò)2017，列出不等式，求得n的范圍，進(jìn)而可以知道最大的n，求出此時(shí)的相鄰兩個(gè)奇數(shù)，然后把這些和諧數(shù)加起來(lái)計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根據(jù)題意得：8n≤2017，∴n≤252，∴n最大為252，此時(shí)2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：A．11．給出下列式子：①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有①②③⑥（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由平方差公式的結(jié)構(gòu)特征可得，①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；②（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；③（y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；④（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；⑤（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；故答案為：①②③⑥．12．計(jì)算＝250．【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可，【解答】解：原式＝＝＝＝250，故答案為：250．13．一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（2a+3b），寬為（2a﹣3b），則長(zhǎng)方形的面積為4a2﹣9b2．【分析】先根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式，再根據(jù)平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2直接求解即可得到答案．【解答】解：由長(zhǎng)方形的面積公式可列式：（2a+3b）（2a﹣3b），根據(jù)平方差公式得：（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2．故答案為：4a2﹣9b2．14．已知a2+a＝2，則代數(shù)式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值為0．【分析】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算，代數(shù)式的求值，先計(jì)算整式的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)，再結(jié)合分配律整體代入求值即可．【解答】解：由題意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2）＝a2﹣4+a2+2a＝2a2+2a﹣4＝2（a2+a）﹣4，∴當(dāng)a2+a＝2時(shí)，原式＝2×2﹣4＝4﹣4＝0．故答案為：0．15．兩個(gè)小長(zhǎng)方形如圖①擺放，重疊部分是邊長(zhǎng)為b的正方形，陰影部分的面積為S，四個(gè)小長(zhǎng)方形如圖②擺放，左上角形成的是邊長(zhǎng)為b的正方形，此陰影部分面積為S1，另一陰影部分的面積為S2，則S，S1，S2之間的數(shù)量關(guān)系為S＝S1+S2．【分析】利用圖①用含有a、b的代數(shù)式表示S，在圖②用含有a、b的代數(shù)式表示S1+S2，比較得出答案．【解答】解：圖①中，陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，因此面積為：S＝（a﹣b）2；圖②中，兩個(gè)陰影部分的面積和為邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形面積減去4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形的面積差，即S1+S2＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，所以S＝S1+S2，故答案為：S＝S1+S2．16．運(yùn)用平方差公式計(jì)算．①（3a+b）（3a﹣b）②（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）③（a﹣b）（﹣a﹣b）④59.8×60.2⑤（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）【分析】①②③利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；④把59.8×60.2寫(xiě)成（60﹣0.2）×（60+0.2），然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；⑤利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【解答】①解：（3a+b）（3a﹣b），＝（3a）2﹣b2，＝9a2﹣b2；②解：（﹣x+2y）（﹣x﹣2y），＝（﹣x）2﹣（2y）2，＝x2﹣4y2；③解：（a﹣b）（﹣a﹣b），＝（﹣b）2﹣（a）2，＝b2﹣a2；④解：59.8×60.2，＝（60﹣0.2）×（60+0.2），＝602﹣0.22，＝3600﹣0.04，＝3599.96；⑤解：（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y），＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4y）2+（3x）2，＝4x2﹣9y2﹣16y2+9x2，＝13x2﹣25y2．17．利用乘法公式計(jì)算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再連續(xù)用平方差公式可算出答案；（2）逆用平方差公式，再求和即可．【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1＝256﹣1＝255；（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）＝100+99+98+97+...+2+1＝＝5050．18．觀察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…（1）請(qǐng)用含n的式子表示an；（n為大于0的自然數(shù)）（2）探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論．【分析】（1）觀察不難發(fā)現(xiàn)，an為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方的差，寫(xiě)出即可；（2）利用平方差公式整理