一、有理數(shù)巧算的核心思想有理數(shù)巧算的本質(zhì)是通過觀察數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，靈活運用運算律（加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律）和數(shù)學(xué)公式，將復(fù)雜運算轉(zhuǎn)化為簡便運算，既提升計算效率，又培養(yǎng)數(shù)感與邏輯推理能力。二、常見巧算方法與實戰(zhàn)技巧（一）湊整法：化零為整，簡化運算核心思路：利用數(shù)的“互補性”（如和為整十、整百，或差為整數(shù)），通過加法交換律、結(jié)合律將數(shù)分組湊整，減少計算量。例題1：計算$(-3.75)+5\frac{1}{4}+(-6.25)+4\frac{3}{4}$觀察到$3.75+6.25=10$，$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，利用加法交換律和結(jié)合律分組：$$\begin{align*}\text{原式}&=[(-3.75)+(-6.25)]+\left(5\frac{1}{4}+4\frac{3}{4}\right)\\&=(-10)+10\\&=0\end{align*}$$練習(xí)1：計算$(-2.5)+3\frac{1}{3}+\left(-1\frac{2}{3}\right)+2.5$（二）裂項相消法：拆分抵消，化繁為簡核心思路：將分?jǐn)?shù)拆分為兩個數(shù)的差（或和），使中間項相互抵消，僅保留首尾項，適用于分?jǐn)?shù)數(shù)列求和。常見裂項模型：分母為連續(xù)整數(shù)乘積：$\boldsymbol{\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$（如$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）分母為等差數(shù)列乘積：$\boldsymbol{\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)}$（如$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)$）例題2：計算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{99×100}$利用裂項模型$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分：$$\begin{align*}\text{原式}&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\\&=1-\frac{1}{100}\\&=\frac{99}{100}\end{align*}$$練習(xí)2：計算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{97×99}$（提示：參考等差數(shù)列裂項模型）（三）錯位相減法：等比求和，錯位相消核心思路：對于等比數(shù)列求和（形如$S=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^n$），通過“乘以公比$q$后與原式相減”，消去中間項，簡化計算。例題3：計算$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{10}$設(shè)$S=1+3+3^2+\dots+3^{10}$①，兩邊乘以公比$3$，得$3S=3+3^2+\dots+3^{11}$②，②-①得：$3S-S=3^{11}-1$，即$2S=3^{11}-1$，因此$S=\frac{3^{11}-1}{2}$（可進一步計算數(shù)值，此處保留形式）。練習(xí)3：計算$1+4+4^2+\dots+4^9$（四）分組結(jié)合法：規(guī)律分組，化亂為序核心思路：將數(shù)列按符號、周期或規(guī)律分組，使每組運算結(jié)果統(tǒng)一，再匯總結(jié)果。例題4：計算$1-2+3-4+\dots+99-100$數(shù)列以“+-”為周期，每2項為一組：$$\begin{align*}\text{原式}&=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)\\&=(-1)+(-1)+\dots+(-1)\quad(\text{共50組})\\&=-50\end{align*}$$練習(xí)4：計算$1+2-3-4+5+6-7-8+\dots+2021+2022-2023-2024$（五）公式法：活用公式，直擊本質(zhì)核心思路：利用平方差、完全平方、等差數(shù)列求和等公式，將運算轉(zhuǎn)化為公式形式，簡化計算。常見公式：平方差：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$等差數(shù)列求和：$\boldsymbol{S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}}$（$n$為項數(shù)，$a_1$為首項，$a_n$為末項）例題5：計算$100^2-99^2+98^2-97^2+\dots+2^2-1^2$利用平方差公式拆分每對項：$$\begin{align*}\text{原式}&=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+\dots+(2-1)(2+1)\\&=1×199+1×195+\dots+1×3\end{align*}$$觀察得：數(shù)列$3,7,\dots,195,199$是等差數(shù)列，首項$a_1=3$，末項$a_n=199$，公差$d=4$，項數(shù)$n=50$（因共100項，每2項一組，共50組）。由等差數(shù)列求和公式：$$S_{50}=\frac{50×(3+199)}{2}=50×101=5050$$練習(xí)5：計算$20^2-19^2+18^2-17^2+\dots+2^2-1^2$三、總結(jié)與提升建議有理數(shù)巧算的關(guān)鍵在于“觀察—聯(lián)想—轉(zhuǎn)化”：1.觀察數(shù)的結(jié)構(gòu)（是否有互補數(shù)、重復(fù)規(guī)律、公式特征）；2.聯(lián)想對應(yīng)的巧算方法（湊整、裂項、錯位相減等）；3.轉(zhuǎn)化為簡便運算形式，驗證結(jié)果。建議通過“專項練習(xí)+錯題復(fù)盤”提升：每天選取1-2種方法，練習(xí)3-5道題；錯題標(biāo)注“卡殼點”（如裂項模型記錯、分組規(guī)律找錯），針對性強化。練習(xí)答案提示（供自查）：練習(xí)1：$1\frac{2}{3}$（提示：$(-2.5)+2.5=0$，$3\frac{1}{3}-1\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}$）練習(xí)2：$\frac{49}{99}$（提示：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，抵消后得$\fr