23.33.相似三角形的性質(zhì)一、選擇題1．若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應(yīng)高的比為()A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶92．把一個三角形的三邊均擴大為原來的3倍，則得到的三角形的周長()A.是原三角形周長的3倍B.是原三角形周長的eq\f(1,3)C.和原三角形周長相同D.是原三角形周長的9倍3．如圖，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是()A.eq\f(BC,DF)＝eq\f(1,2) B.eq\f(∠A的度數(shù),∠D的度數(shù))＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ABC的面積,△DEF的面積)＝eq\f(1,2) D.eq\f(△ABC的周長,△DEF的周長)＝eq\f(1,2)4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點，DE∶EC＝3∶2，連結(jié)AE交BD于點F，則△DEF與△BAF的面積之比為()A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶255．如圖所示，在?ABCD中，E是AD邊的中點，連結(jié)BE并延長，交CD的延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶56．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在CD上，若DE∶CE＝1∶2，則△CEF與△ABF的周長比為()A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．4∶97．如圖所示是圓桌正上方的燈泡(看作一個點)發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成的陰影的示意圖．已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m，若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為()A．0.36πm2 B．0.81πm2C．2πm2 D．3.24πm28．如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF＝eq\f(1,4)AC.連結(jié)DE，DF并延長，分別交AB，BC于點G，H，連結(jié)GH，則eq\f(S△ADG,S△BGH)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D．1二、填空題9．如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC上的點，若DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，則eq\f(AD＋DE＋AE,AB＋BC＋AC)＝________．10．在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，BC＝4，下面的四個結(jié)論：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1∶4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為1∶4.其中正確的有________(只填序號)．11．若兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊分別是3cm和5cm，且較小三角形的周長為15cm，則較大三角形的周長為________cm.12．如圖所示，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，則S△ABC∶S△DBE＝________．13．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點H，AH交DE于點G，已知DE＝10，BC＝15，AG＝12，則GH＝________．14．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分線，且CM⊥AB，M為垂足，AM＝eq\f(1,3)AB.若四邊形ABCD的面積為eq\f(15,7)，則四邊形AMCD的面積是________．三、解答題15．如圖，△ABC∽△DEF，AG，DH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm.求DH的長．16.如圖，四邊形ABCD是一個平行四邊形花壇，在圖中分別種植四種顏色不同的花卉，已知AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF與△CDF的周長之比；(2)如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF.17.某生活小區(qū)開辟了一塊矩形草地，并畫了甲、乙兩張規(guī)劃圖，其比例尺分別為1∶200和1∶500,求這塊矩形草地在甲、乙兩張圖紙上的面積比．探索規(guī)律如圖所示，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1(點D1，E1在AB上，點A1，B1分別在AC，BC上)，再在△A1B1C內(nèi)用同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2……如此下去，操作n次，求第n個小正方形AnBnDnEn的邊長．

詳解詳析[課堂達標]1．[解析]A∵△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，∴對應(yīng)高的比為3∶2.故選A.2．A3．[解析]D∵△ABC∽△DEF，∴eq\f(BC,EF)＝eq\f(1,2)，A不一定成立；eq\f(∠A的度數(shù),∠D的度數(shù))＝1，B不成立；eq\f(△ABC的面積,△DEF的面積)＝eq\f(1,4)，C不成立；eq\f(△ABC的周長,△DEF的周長)＝eq\f(1,2)，D成立．故選D.4．[解析]C∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥BA，CD＝BA，∴△DEF∽△BAF.∵DE∶EC＝3∶2，∴eq\f(DE,BA)＝eq\f(3,3＋2)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(S△DEF,S△BAF)＝(eq\f(DE,BA))2＝eq\f(9,25).故選C.5．[解析]A在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，又E是AD的中點，所以DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC.由AD∥BC，可得△EDF∽△BCF.因為它們的周長比等于相似比，所以周長比＝DE∶BC＝eq\f(1,2)BC∶BC＝1∶2.6．[解析]C∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴△CEF∽△ABF.∵DE∶CE＝1∶2，∴CE∶DC＝CE∶AB＝2∶3，∴C△CEF∶C△ABF＝2∶3.故選C.7．[解析]B根據(jù)題意和題圖可作出示意圖，如圖，DE，BC分別是桌面及其在地面上形成的陰影的直徑，運用相似三角形的性質(zhì)，可求出BC的長．根據(jù)題意，知DE＝1.2m，F(xiàn)G＝1m，AG＝3m，∴AF＝AG－FG＝3－1＝2(m)．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AF,AG)，即eq\f(1.2,BC)＝eq\f(2,3)，解得BC＝1.8(m)，∴桌面在地面上形成的陰影(圓形)的面積為π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))eq\s\up12(2)＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.8,2)))eq\s\up12(2)＝0.81π(m2)．故選B.8．[解析]C∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，DC＝AB.∵AC＝CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC＝S△ABC.∵AE＝CF＝eq\f(1,4)AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG∶DC＝AE∶CE＝1∶3，CH∶AD＝CF∶AF＝1∶3，∴AG∶AB＝CH∶BC＝1∶3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴eq\f(S△ADC,S△BGH)＝eq\f(S△BAC,S△BGH)＝(eq\f(BA,BG))2＝(eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，∴eq\f(S△ADG,S△BGH)＝eq\f(9,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,4)，故選C.9．[答案]eq\f(1,3)[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AD＋DE＋AE,AB＋BC＋AC)＝eq\f(1,3).10．[答案]①②③[解析]由題意得eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,2)，∠A＝∠A，可得△ADE∽△ABC，即②正確；根據(jù)相似比可求DE＝2，即①正確；由△ADE∽△ABC和DE＝eq\f(1,2)BC，得△ADE的面積與△ABC的面積之比為1∶4，△ADE的周長與△ABC的周長之比為1∶2，∴③正確，④錯誤．故正確的有①②③.11．2512.9∶1613．[答案]6[解析]由DE∥BC，可得△ABC∽△ADE.又AH⊥BC，則AG⊥DE，∴eq\f(AG,AH)＝eq\f(DE,BC)，即eq\f(12,AH)＝eq\f(10,15)，∴AH＝18，∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.14．[答案]1[解析]如圖所示，延長BA，CD，交點為E.∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴BM＝EM.又∵AM＝eq\f(1,3)AB，∴BM＝2AM，EM＝2AM，∴AM＝AE，∴AE＝eq\f(1,3)AB，∴AE＝eq\f(1,4)BE.∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴eq\f(S△EAD,S△EBC)＝eq\f(1,16)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(15,16)S△EBC＝eq\f(15,7)，∴S△EBC＝eq\f(16,7)，∴S△EAD＝eq\f(16,7)×eq\f(1,16)＝eq\f(1,7)，∴S四邊形AMCD＝eq\f(1,2)S△EBC－S△EAD＝eq\f(8,7)－eq\f(1,7)＝1.15．解：因為△ABC∽△DEF，BC＝6cm，EF＝4cm，所以eq\f(BC,EF)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，所以△ABC與△DEF的相似比等于eq\f(3,2)，所以eq\f(AG,DH)＝eq\f(3,2)(相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比)．又因為AG＝4.8cm，所以DH＝4.8÷eq\f(3,2)＝3.2(cm)．16．解：(1)∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝1∶3.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.又∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴△AEF的周長∶△CDF的周長＝1∶3.(2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9.∵S△AEF＝6cm2，∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)．17．解：設(shè)這塊矩形草地的面積為S，在甲、乙兩張圖紙上的面積分別為S1，S2，則eq\f(S1,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,200)))eq\s\up12(2)，eq\f(S2,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up12(2)，∴S1＝eq\f(S,40000)，S2＝eq\f(S,250000)，∴S1∶S2＝eq\f(S,40000)∶eq\f(S,250000)＝eq\f(1,4)∶eq\f(1,25)＝25∶4，即這塊矩形草地在甲、乙兩張圖紙上的面積比為25∶4.[素養(yǎng)提升]解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，交A1B1于點H1.∵△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，∴CH＝eq\f(1,2)AB＝1.5.由四邊形A1B1D1E1為正方形，知H1H＝A1B1，且A1B1∥AB，∴△CA1B1∽△CAB，∴eq\f(CH1,CH)＝e