衍生金融工具課程Derivatives0102二叉樹期權(quán)定價模型03第八章期權(quán)定價模型風險中性定價Black—Scholes期權(quán)定價模型學(xué)習目標掌握單期二叉樹模型。理解多期二叉樹模型。熟悉二叉樹模型的現(xiàn)實應(yīng)用。掌握風險中性定價原理。掌握Black-Scholes期權(quán)定價模型。第一節(jié)二叉樹期權(quán)定價模型現(xiàn)值衍生金融工具的概念估價模型一收益率估價模型二單期二叉樹模型多期二叉樹模型收益率估價模型二二叉樹模型的現(xiàn)實應(yīng)用一、單期二叉樹模型基本思路：為對期權(quán)定價，首先構(gòu)造一個復(fù)制組合，復(fù)制一個與期權(quán)具有完全相同價值的證券組合。因為這兩者具有相同的現(xiàn)金流或支付，根據(jù)無套利原理，這意味著期權(quán)與復(fù)制組合的當前價值必定相等。（一）一個簡單的例子

考慮經(jīng)過1期后到期的歐式看漲期權(quán)，期權(quán)的執(zhí)行價格為50元。假設(shè)今天的股票價格為50元。假設(shè)標的股票不支付股利（除非明確說明）。在1期后，股價有可能上升10元或者下降10元。單期無風險利率為6%。將這些信息匯總，由如下的二叉樹來表示。舉例：

我們將股價上漲（至60元）定義為上升狀態(tài)，將股價下跌（至40元）定義為下降狀態(tài)。令△表示購買的股票數(shù)量，B表示對債券的初始投資。為了用股票和債券構(gòu)造看漲期權(quán)，要求由股票和債券構(gòu)成的組合的價值，在每一種可能的股價變動狀態(tài)下，必須與期權(quán)的價值完全一致。

求解關(guān)于△和B的聯(lián)立方程，方程的解為：△=0.5，B=-18.8679。買入0.5股股票，賣空大約價值18.87元的債券（即以6%的利率借入18.87元）所構(gòu)成的投資組合，在經(jīng)過1期后，將與看漲期權(quán)的價值完全相符。0.5×60－18.8679×1.06=100.5×40－18.8679×1.06=0看漲期權(quán)的價格必定等于復(fù)制組合的當前市場價值。復(fù)制組合的當前價值等于：

看漲期權(quán)的當前價格為6.13元。

假設(shè)當前的股價為S，在下一期，股價或者上漲至Su，或者下跌為Sd。無風險利率為rf

。假設(shè)股價上漲，期權(quán)的價值為fu；股價下跌，期權(quán)的價值為fd，下面來確定期權(quán)在今天的價值（價格）：（二）二叉樹期權(quán)定價公式期權(quán)在今天的價值f就等于復(fù)制組合的成本：假設(shè)某股票的現(xiàn)行市價為60元，經(jīng)過1期后，股價將上漲20%或下跌10%。如果1期無風險利率為3%，將于1期后到期、執(zhí)行價格為60元的該股票歐式看跌期權(quán)的現(xiàn)時價格為多少？小練習答案Cu=0（股價上升時看跌期權(quán)的價值）Cd=6（股價下跌時看跌期權(quán)的價值）看跌期權(quán)的價值＝

元看跌期權(quán)的價值＝S△＋B

＝60×（-0.3333）+23.30

＝3.30（元）二、多期二叉樹模型假設(shè)每一期的無風險利率為6%，現(xiàn)在來考慮，如何為執(zhí)行價格為50元、將于兩期后到期的歐式看漲期權(quán)定價（假設(shè)未來的股價升降為已知）：我們計算的復(fù)制組合中的股票數(shù)量為△＝0.5，債券頭寸為B＝－18.87元，看漲期權(quán)的初始價值為6.13元。＝0.5，債券頭寸為B＝－18.87元，看漲期權(quán)的初始價值為6.13元。

＝0.5，債券頭寸為B＝－18.87元，看漲期權(quán)的初始價值為6.13元。

看漲期權(quán)的初始價值等于復(fù)制組合的最初成本：＝0.5，債券頭寸為B＝－18.87元，看漲期權(quán)的初始價值為6.13元。

當二叉樹模型擴展到n步后，其計算方法仍然是相同的，利用二叉樹期權(quán)定價公式，從后往前依次計算出每個節(jié)點的期權(quán)價格，直到計算出0時刻的期權(quán)價格。三、二叉樹模型的現(xiàn)實應(yīng)用二叉樹模型的現(xiàn)實應(yīng)用在實際應(yīng)用二叉樹模型時，通常將期權(quán)有效期分割成若干極小的時間間隔，用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動，這使得二叉樹模型的應(yīng)用具有了現(xiàn)實意義。

這里需要特別說明的是，股票價格在每個時間節(jié)點上漲的倍數(shù)u和下降的倍數(shù)d是如何確定的。第二節(jié)風險中性定價 現(xiàn)值衍生金融工具的概念估價模型一二風險中性定價基本原理風險中性世界與現(xiàn)實世界一、風險中性定價基本原理在風險中立的世界里：（1）所有可交易證券的期望收益率都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流量可以用其期望值按無風險利率折現(xiàn)。如果用ρ代表股票價格將要上漲的概率，那么（1－ρ）就表示股價將要下跌的概率，未來股票價格的計算如下：【例】假設(shè)一份歐式股票看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格為21元，標的股票的現(xiàn)價為20元，不支付紅利，1期后，股票價格可能上漲到22元或下降到18元，單期無風險利率為3%。下面運用風險中性定價原理對期權(quán)進行定價。二、風險中性世界與現(xiàn)實世界風險中性概率ρ、（1－ρ）并非股價上升的實際概率，而是代表著該如何調(diào)整實際概率，以使股票期望的回報率等于無風險利率。這樣，利用風險中性概率對期權(quán)的預(yù)期收益進行折現(xiàn)就會得出正確的結(jié)論。第三節(jié)Black—Scholes期權(quán)定價模型 現(xiàn)值衍生金融工具的概念估價模型一二模型假設(shè)Black—Scholes定價公式現(xiàn)值衍生金融工具的概念估價模型三四Black—Scholes定價公式的拓展Black—Scholes定價公式的參數(shù)確定五期權(quán)價格的敏感性分析一、模型假設(shè)

Black—Scholes定價模型的假設(shè)條件如下：（1）股票價格服從“幾何布朗運動”隨機過程。這一隨機過程使得股票價格具有恒定期望收益和波動率的對數(shù)正態(tài)分布。（2）在期權(quán)有效期內(nèi)，標的資產(chǎn)不支付股利，標的資產(chǎn)價格的變動是連續(xù)的而均勻的，不存在突然的跳躍。（3）沒有交易費和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。（4）該標的資產(chǎn)可以自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。（5）在期權(quán)有效期內(nèi)，無風險利率為常數(shù)，投資者可以此利率無限制地進行借貸。（6）市場中不存在無風險套利機會。（7）看漲期權(quán)只能在到期日執(zhí)行。二、Black—Scholes定價公式基于二項式期權(quán)定價模型，將每一期的時間長度和股價運動時距縮短至零，將時期數(shù)擴展為無窮大，從而可推導(dǎo)出布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價模型。式中：c表示買權(quán)價值（看漲期權(quán)）；S表示標的資產(chǎn)現(xiàn)行市場價格；X表示行權(quán)價格；rf表示無風險利率（按連續(xù)復(fù)利計算）；σ表示標的資產(chǎn)收益標準差；T表示期權(quán)距到期日的時間；N(x)表示標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)（即某一服從正態(tài)分布的變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，可知：。

式中：c表示買權(quán)價值（看漲期權(quán)）；S表示標的資產(chǎn)現(xiàn)行市場價格；X表示行權(quán)價格；rf表示無風險利率（按連續(xù)復(fù)利計算）；σ表示標的資產(chǎn)收益標準差；T表示期權(quán)距到期日的時間；N(x)表示標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)（即某一服從正態(tài)分布的變量小于x的概率。

【例】假設(shè)目前是10月14日，請運用Black—Scholes定價公式，預(yù)測執(zhí)行價格為12.5美元，將于12月16日到期的OA公司股票的歐式看漲期權(quán)的價格，目前該公司的股價為12.85美元，不支付股利，該公司股票的年波動率為0.81，12月16日的短期無風險年利率為4.63%。由于合約是12月16日到期，因此從目前來看距離到期日還有63天，則由于Black—Scholes定價公式要求無風險收益率是連續(xù)復(fù)利計算的收益率，4.63%按連續(xù)復(fù)利計算，其結(jié)果為式中：c表示買權(quán)價值（看漲期權(quán)）；S表示標的資產(chǎn)現(xiàn)行市場價格；X表示行權(quán)價格；rf表示無風險利率（按連續(xù)復(fù)利計算）；σ表示標的資產(chǎn)收益標準差；T表示期權(quán)距到期日的時間；N(x)表示標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)（即某一服從正態(tài)分布的變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，可知：。式中：c表示買權(quán)價值（看漲期權(quán)）；S表示標的資產(chǎn)現(xiàn)行市場價格；X表示行權(quán)價格；rf表示無風險利率（按連續(xù)復(fù)利計算）；σ表示標的資產(chǎn)收益標準差；T表示期權(quán)距到期日的時間；N(x)表示標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)（即某一服從正態(tài)分布的變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，可知：。我們整理一下已知條件：S＝12.85，X＝12.5，rf＝0.0453，σ＝0.81，T＝0.1726N（d1）＝N（0.2735）＝0.6078N（d2）＝N（-0.0630）＝0.4749三、Black—Scholes定價公式的拓展（一）無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)的定價公式。Black—Scholes定價模型給出了無紅利支付股票的歐式看漲期權(quán)的定價公式，根據(jù)看跌看漲期權(quán)平價關(guān)系公式，可以得到無紅利支付的歐式看跌期權(quán)價格公式：。

【例】OA公司股票的歐式看漲期權(quán)的理論價格為1.92美元，帶入中，計算可得執(zhí)行價格為12.5美元，將于12月16日到期的OA公司股票的歐式看跌期權(quán)的理論價格：（二）無紅利支付股票的美式期權(quán)定價公式。提前執(zhí)行無紅利支付的美式看漲期權(quán)是不明智的，在其他條件相同的情況下，同一種無紅利支付美式看漲期權(quán)的價格等于歐式看漲期權(quán)的價格，即C＝c，由此我們就可以用Black—Scholes定價模型對不支付紅利的美式看漲期權(quán)估價。（三）有紅利支付股票的美式期權(quán)定價公式。1.假設(shè)股票在期權(quán)期限內(nèi)支付紅利Di，該紅利是在ti（單位為年）時間段以后支付，假設(shè)調(diào)整后Black—Scholes定價模型中的股票價格為S*，則考慮紅利支付的S*＝S－PV（D）＝S－∑iDie－rfti。2.假設(shè)紅利連續(xù)地以一個已知的年收益率（δ）進行支付，如果S不變，那么在T時刻該股票支付的紅利價值為（SeδT－S），調(diào)整的Black—Scholes定價模型需要用減去紅利現(xiàn)值的S*來替換S，則S*＝S－PV（D）＝S－e－δT（SeδT－S）＝Se－δT。四、Black—Scholes定價公式的參數(shù)確定。

（一）估計無風險利率無風險利率需要用連續(xù)復(fù)利的方式表達出來，才可以在Black—Scholes定價公式中應(yīng)用。需要特別提示的是，不同到期日國庫券的收益率可能有較大差異，我們應(yīng)該選擇距離期權(quán)到期日最近的國庫券的利率作為無風險利率。。（二）估計標的資產(chǎn)價格的波動率（1）歷史波動率歷史波動率是指從標的資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格收益率的標準差。具體可按以下步驟：①從市場上獲得標的資產(chǎn)（如股票）在固定時間間隔（如每天、每周或每月等）的價格；②對于每個時間段，求出該時間段末的股價與該時間段初的股價之比的自然對數(shù)，即為連續(xù)型股票價格百分比收益。rt表示第t期連續(xù)型股票價格收益率；Pt和Pt-1分別表示第t期和第t－1期股票價格。

③假設(shè)有n個連續(xù)型股票價格收益率，計算這些收益率的均值（）及方差（σ2），σ就是相應(yīng)的波動率。

。（2）隱含波動率所謂隱含波動率，是將Black—Scholes定價公式中除了波動率以外的參數(shù)和市場上的期權(quán)報價代入，“倒推”求得波動率數(shù)據(jù)。也就是指能使Black—Scholes模型價格等于期權(quán)當前市場價格的標準差。?！纠考僭O(shè)有一個不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)價格為13.5美元，相關(guān)參數(shù)有S＝125.94，X＝125，T＝0.0959，r＝0.0446，將參數(shù)代入計