2025年概率基礎題目及答案

一、單項選擇題1.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有1個白球；都是白球B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰有1個白球；恰有2個白球D.至少有1個白球；都是紅球答案：C2.下列事件中，是必然事件的是（）A.任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)B.13個人中至少有兩個人生肖相同C.車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈D.明天一定會下雨答案：B3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)小于3的概率是（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3答案：B4.已知P(A)=0.4，P(B)=0.2，A、B互斥，則P(A∪B)等于（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0答案：A5.從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”包含的基本事件有（）個A.2B.3C.4D.5答案：C6.一個袋子里裝有5個黑球和3個白球，從袋子中隨機摸出一個球，是白球的概率為（）A.3/8B.5/8C.3/5D.5/3答案：A7.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.20，0.30，0.10，則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90答案：A8.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，兩次都正面朝上的概率是（）A.1/2B.1/4C.3/4D.1答案：B9.從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5答案：B10.若事件A與B相互獨立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∩B)等于（）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.7答案：A二、多項選擇題1.下列關于概率的說法正確的是（）A.概率是描述事件發(fā)生可能性大小的量B.必然事件的概率為1C.不可能事件的概率為0D.任何事件的概率都在0到1之間答案：ABCD2.以下哪些事件是隨機事件（）A.打開電視，正在播放廣告B.明天太陽從西方升起C.擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)是偶數(shù)D.三角形內(nèi)角和是180°答案：AC3.從一副撲克牌（54張）中隨機抽取一張，下列說法正確的是（）A.抽到大王的概率是1/54B.抽到紅桃的概率是13/54C.抽到A的概率是4/54D.抽到黑色牌的概率是26/54答案：ACD4.若事件A和事件B滿足P(A∪B)=P(A)+P(B)，則（）A.A與B是互斥事件B.A與B是對立事件C.P(A∩B)=0D.A與B相互獨立答案：AC5.下列試驗中是古典概型的有（）A.從裝有大小完全相同的紅、綠、黑各一球的袋子中任意取出一球，觀察球的顏色B.在適宜條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽C.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，觀察出現(xiàn)正面、反面的情況D.從一組直徑為(120±0.3)mm的零件中任取一個，測量它的直徑答案：AC6.已知事件A、B，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，若A、B相互獨立，則（）A.P(A∩B)=0.18B.P(A∪B)=0.72C.P(A|B)=0.6D.P(B|A)=0.3答案：ABCD7.下列說法中，正確的有（）A.頻率是概率的近似值B.概率是頻率的穩(wěn)定值C.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關D.概率是隨機的，在試驗前不能確定答案：AB8.從0，1，2，3這四個數(shù)字中任取三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率可能是（）A.5/9B.4/9C.1/2D.2/3答案：A9.設A、B是兩個事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6，則（）A.P(A∩B)=0.1B.A與B不互斥C.A與B相互獨立D.P(A|B)=1/3答案：ABD10.下列事件中，概率為1的有（）A.三角形內(nèi)角和為180°B.過平面上兩點有且只有一條直線C.太陽從東方升起D.拋一枚硬幣，正面朝上答案：ABC三、判斷題1.概率為0的事件一定是不可能事件。（）答案：×2.若事件A和事件B是互斥事件，則P(A)+P(B)=1。（）答案：×3.頻率與概率是相同的概念。（）答案：×4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)6點朝上的概率是1/6。（）答案：√5.兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的乘積。（）答案：√6.從1，2，3中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率是1/3。（）答案：√7.必然事件與任何事件都是相互獨立的。（）答案：√8.若P(A)=0.5，P(B)=0.5，則A與B是對立事件。（）答案：×9.古典概型中每個基本事件發(fā)生的概率都相等。（）答案：√10.事件A發(fā)生的概率隨著試驗次數(shù)的增加越來越接近其真實概率。（）答案：√四、簡答題1.簡述概率的基本性質(zhì)。概率的基本性質(zhì)如下：必然事件概率為1，不可能事件概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0；對于任意事件A，0≤P(A)≤1；若事件A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)；若A包含于B，則P(A)≤P(B)；對于任意兩個事件A、B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。2.什么是古典概型？滿足哪些條件？古典概型是一種概率模型。滿足的條件有：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。例如拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種，且出現(xiàn)正面和反面的可能性相同，這就是一個古典概型。3.如何判斷兩個事件是否為互斥事件？若兩個事件A和B不可能同時發(fā)生，即A∩B=?，那么就稱A與B是互斥事件。比如在擲骰子試驗中，“擲出1點”和“擲出3點”這兩個事件不可能同時出現(xiàn)，所以它們是互斥事件。判斷時主要看兩個事件有沒有同時發(fā)生的可能性。4.已知事件A、B相互獨立，P(A)=0.6，P(B)=0.4，求P(A∪B)。因為事件A、B相互獨立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.6×0.4=0.24。再根據(jù)概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，將P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A∩B)=0.24代入可得：P(A∪B)=0.6+0.4-0.24=0.76。五、討論題1.在生活中，有很多概率相關的應用場景，請舉例說明概率在某一領域的應用，并分析其原理。在保險領域，概率有著廣泛應用。例如人壽保險，保險公司通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)和概率模型，計算出不同年齡段、不同健康狀況人群的死亡概率等風險指標。根據(jù)這些概率，制定合理的保險費率。原理是基于大數(shù)定律，當樣本數(shù)量足夠大時，實際發(fā)生的頻率會趨近于理論概率。通過收集大量人群的數(shù)據(jù)，準確估計風險概率，以確保保險業(yè)務在長期運營中實現(xiàn)收支平衡和盈利。2.假設你要設計一個抽獎活動，怎樣運用概率知識來保證活動的公平性和吸引力？為保證抽獎活動公平性，首先要確保每個參與抽獎的人獲得獎品的概率相等。比如準備一個抽獎箱，放入數(shù)量相同且無差別的抽獎券。運用古典概型知識，若有n個抽獎券，其中m個對應獎品，則每個人抽到獎品的概率都是m/n。為增加吸引力，可以設置不同等級的獎品，調(diào)整不同等級獎品對應的抽獎券數(shù)量。如大獎的抽獎券少，小獎的抽獎券多，讓參與者有不同層次的期待。3.結(jié)合所學概率知識，討論為什么彩票中獎概率很低，但仍有很多人購買？彩票中獎概率低是因為其基本事件總數(shù)巨大，而中獎的基本事件數(shù)量很少。以常見彩票為例，從眾多數(shù)字中選取正確組合的可能性極小。然而很多人購買彩票，一方面是受到巨額獎金的誘惑，人們往往高估了自己中獎的可能性，存在僥幸心理。另一方面，購買彩票花費成本低，人們愿意用少量的錢去換取可能獲得巨額財富的機會。即使知道概率低，但對大獎的向往和小成本投入使得很多人參與購買。4.請討論頻率與概率之間的關系，并舉例說明在實際問題中如何利用頻率來估計概率。頻率是在多次重復試驗中，某個事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值。概