第五章單純形優(yōu)化設(shè)計法第1頁，共42頁。優(yōu)選第五章單純形優(yōu)化設(shè)計法2第2頁，共42頁。什么是優(yōu)化？簡單說優(yōu)化就是如何把事情做的更好。在化學試驗條件選擇里，就是指如何得到最佳的試驗條件。優(yōu)化設(shè)計的三要素：

設(shè)計變量、約束條件、目標函數(shù)。

1.在優(yōu)化設(shè)計的過程中，不斷進行修改、調(diào)整，一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計變量。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：第3頁，共42頁。2.一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。約束性能約束側(cè)面約束針對性能要求只對設(shè)計變量的取值范圍限制（又稱邊界約束）（按性質(zhì)分）（按數(shù)學表達形式分）約束等式約束不等式約束h(x)=0g(x)≤0可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間的活動范圍。第4頁，共42頁。3.目標函數(shù)是設(shè)計變量的函數(shù)，是設(shè)計中所追求的目標。如：產(chǎn)率，回收率，分離度等。在優(yōu)化設(shè)計中，用目標函數(shù)的大小來衡量設(shè)計方案的優(yōu)劣，故目標函數(shù)也可稱評價函數(shù)。目標函數(shù)的一般表示式為：第5頁，共42頁。優(yōu)化設(shè)計的目的就是要求所選擇的設(shè)計變量使目標函數(shù)達到最佳值，即使：目標函數(shù)單目標設(shè)計問題多目標設(shè)計問題

目前處理多目標設(shè)計問題的方法是組合成一個復合的目標函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即：第6頁，共42頁。優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學表達（數(shù)學模型式）：

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型是對優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學抽象。第7頁，共42頁。優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的分類：(1)按設(shè)計變量和參數(shù)的性質(zhì)分：確定型模型隨機型模型設(shè)計變量和參數(shù)取值確定設(shè)計變量和參數(shù)取值隨機(2)按目標函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：a.目標函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計變量的線性函數(shù),稱為線性規(guī)劃問題;b.若目標函數(shù)是設(shè)計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。第8頁，共42頁。

優(yōu)化分類：

1）無約束優(yōu)化:在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標函數(shù)的最佳值；

2）約束優(yōu)化:在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函數(shù)的最佳值。這些名詞是不是很抽象？其實這個很簡單，很容易理解。具體到我們要解決的實際問題時，基本都是約束優(yōu)化。比如我們要解決化學問題，必須結(jié)合考慮，不能出現(xiàn)負濃度值、pH只能在0～14之間，某些反應(yīng)的溫度必須控制在一定范圍等等，這些就是約束條件。第9頁，共42頁。優(yōu)化算法：1）解析法（一階、二階導數(shù)）；2）直接法（

單純形法等）。事實上，前面講均勻設(shè)計法時，對建立的模型求最佳條件就是采用的求導數(shù)法；而單純形法正是這一章要重點講的。另外像遺傳算法，這也是最近十幾年化學計量學中的一個很重要的領(lǐng)域，也屬于直接法。第10頁，共42頁。什么是單純形？單純形（Simplex）是數(shù)學里最優(yōu)化方法中的一個名詞。它是指多維空間的凸多面體，其頂點數(shù)比空間維數(shù)多1。例如：一維空間的單純形是一條直線，二維空間中是三角形，三維空間中是四面體。

第11頁，共42頁。什么是單純形優(yōu)化法？單純形優(yōu)化法是一種多維搜索尋優(yōu)方法。它是利用單純形的頂點計算目標函數(shù)值,按一定的規(guī)則進行探索性搜索,判斷目標函數(shù)的變化趨勢,確定有利的搜索方向和步長。經(jīng)過不斷的迭代，最終使結(jié)果收斂到最優(yōu)解。單純形優(yōu)化法實際上由兩部分組成：一是初始單純形的生成，即找出初始的n+1個頂點；二是其迭代過程。初始單純形的取法對迭代過程的收斂性影響很大。

第12頁，共42頁。單純形優(yōu)化法的基本思想：給定初始點X0，產(chǎn)生初始單純形S0，通過反射、擴張、壓縮、收縮一系列動作將單純形翻滾、變形，從而產(chǎn)生一系列單純形，并逐漸向極小點靠攏。更具體說就是：對n維空間的n+1個點(以它們?yōu)轫旤c形成一個n維單純形)的目標函數(shù)值進行比較，丟棄其中的最“壞”點，代之以適當?shù)男曼c，形成新的單純形。重復比較，逐步逼近最優(yōu)點，如圖。第13頁，共42頁。單純形優(yōu)化法示意圖單純形優(yōu)化的特點：優(yōu)化方法簡便，信息量多，對于因素較多的試驗設(shè)計問題尤為適用。

第14頁，共42頁。第二節(jié)基本單純形對n個因素的試驗優(yōu)化問題，單純形就是在n維空間中由不處于同一超平面上的n+1個頂點構(gòu)成的凸多面體。故此，一維空間的單純形是一條直線，二維空間的單純形就是三角形，三維空間的單純形就是四面體，高于三維空間的單純形一般只能以數(shù)學解析式表示。

各條邊長相等的單純形叫正規(guī)單純形。如：當n＝2時，等邊三角形就是正規(guī)單純形。

第15頁，共42頁。在n維空間中單純形的每個頂點可以用對應(yīng)的坐標表示，如二維空間的單純形的三個頂點可用三角形的坐標表示：（x11,x12），（x21,x22），（x31,x32）。NOTE：在坐標中下標中的第一個數(shù)字為頂點代號，第二個數(shù)字為變量（因素）代號。每個頂點的坐標表示試驗中各因素的取值。因此對于n個因素的試驗設(shè)計問題，n維空間中單純形的一個頂點就表示一次試驗，該頂點（x1,x2,…,xn）即為這n個因素的某一種因素水平的搭配方式。

第16頁，共42頁。一.單純形優(yōu)化法的尋優(yōu)過程概述：首先，單純形優(yōu)化法從初始n+1個頂點出發(fā)，從比較初始的n+1次試驗的目標值的優(yōu)劣，判斷目標函數(shù)變化的大致趨勢，作為尋優(yōu)方向的參考。然后，逐步淘汰其中目標值最差的試驗點，增加可能改進目標值的新的試驗點，如此不斷搜索，逐步達到目標的最優(yōu)值，從而確定各因素的最佳水平組合。

大量研究表明，對于多因素試驗設(shè)計，單純形優(yōu)化法具有試驗次數(shù)少，信息量多，收斂于最優(yōu)目標速度快等優(yōu)點，是一種優(yōu)化的試驗設(shè)計方法。

第17頁，共42頁。二.初始單純形的確定

如前所述，要完成單純形優(yōu)化過程，首先必須構(gòu)造一個初始單純形。那么，對于n個因素的實驗設(shè)計問題，首先要確定n＋1個試驗點，這n＋1個點的各因素通?？筛鶕?jù)化學工作者的化學知識和實踐經(jīng)驗來選取。對于所進行的試驗，化學工作者一般都有某些先驗知識，能提出試驗條件的某些假設(shè)條件。

第18頁，共42頁。事實上，n+1個點的選取，一般只需先確定一個初始點x0=（x01,x02,…,x0n）T，其中x01,x02,…,x0n分別為n個因素的某一初始水平。然后對每一因素，根據(jù)經(jīng)驗確定一個步長，即該因素相對于初始水平變化的幅度。譬如考慮pH這一因素，若初始水平為pH=7.0，步長為0.5，則表示pH這一因素從7.0起按0.5的間距改變pH值來進行試驗。如果再考慮反應(yīng)溫度，假定初始水平為40oC，步長為5度，則表示溫度從40度起按5度的間距改變溫度進行試驗。

第19頁，共42頁。這樣，在確定初始單純形的一個初始頂點x0和步長aj后，其余n個頂點的因素水平就可產(chǎn)生：

x1=(x01+p1,x02+q2,x03+q3,…,x0n+qn)Tx2=(x01+q1,x02+p2,x03+q3,…,x0n+qn)Tx3=(x01+q1,x02+q2,x03+p3,…,x0n+qn)T

…xn=(x01+q1,x02+q2,x03+q3,…,x0n+pn)T（1）第20頁，共42頁。式中：i＝0,1,2,…n；j＝1,2,…n，xij表示第i個頂點第j個因素的水平取值。

其中：

事實上，各頂點坐標有個計算通式：

xij=x0j+pj,i＝j(luò)；

xij=x0j+qj,i≠j；

(1)*（2）第21頁，共42頁。這樣由x0，x1，…，xn共n＋1個頂點可得到一個不在同一超平面上的初始單純形。由于各因素的步長都具有相同的數(shù)值，即初始單純形是以x0為頂點，各棱長為aj的正規(guī)單純形。

為了便于應(yīng)用，下表給出了不同n值時計算初始單純形的pj和qj值。第22頁，共42頁。初始單純形的p和q值npq1a0.2929a20.9659a0.2588a30.9428a0.2357a40.9256a0.2185a50.9121a0.2050a60.9011a0.1940a70.8918a0.1847a80.8839a0.1768a90.8770a0.1699a100.8709a0.1638a第23頁，共42頁。上述方法是根據(jù)初始點和步長來計算初始單純形的各個頂點，各因素的步長是相同的,稱作固定步長法或正規(guī)單純形法。如二因素實驗舉例：因素1：pH，因素2：溫度。初始值x0=(7.0,40);步長a1=0.5,a2=5。這是幾維單純形？有幾個頂點？第一個頂點x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2)=(7.0+a1,40+0.2588*a2)第二個頂點x2=(x21,x22)=(x01+q1,x02+p2)=(7.0+0.2959*a1,40+0.9659*a2)第24頁，共42頁。實際過程中，各因素步長和單位并不相同，利用這種方法會變得很麻煩，在實際應(yīng)用中問題較多。Long系數(shù)法、均勻設(shè)計法和黃金分割法也常用于初始單純形的構(gòu)造。我們下面再介紹前兩個構(gòu)成初始單純形的方法。第25頁，共42頁。Long系數(shù)表法D.E.Long提出一種用系數(shù)表構(gòu)成初始單純形各頂點的方法，可以解決試驗設(shè)計中初始單純形的構(gòu)成問題。使用時把表中的對應(yīng)值乘上該因素的步長后，再加到初始點坐標上。第26頁，共42頁。1234567891010ABCDEFGHIJ01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890000.8170.2040.2040.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.1580.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素頂點Long系數(shù)表第27頁，共42頁。例：有一個二因素的設(shè)計過程，其初始點為(10.0,2.0)；步長為1.0和0.5，據(jù)Long系數(shù)表來計算其余兩個頂點的坐標頂點1：（10.0,2.0）頂點2：（10.0+1.00×1.0，2.0+0×0.5）

=（11.0,2.0）頂點3：（10.0+0.5×1.0，2.0+0.866×0.5）

=（10.5，2.433）第28頁，共42頁。均勻設(shè)計表法利用Long系數(shù)表法所構(gòu)成的初始單純形各頂點在空間的分布是不均勻的，因此進行的是不均勻優(yōu)化。均勻設(shè)計表改變了這個缺點，使各頂點在空間均勻分布，這樣進行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化。據(jù)所選因素的因素數(shù)，確定一個比較合適的均勻表，使用時把表中的對應(yīng)數(shù)值乘以響應(yīng)因素的步長，加到初始點坐標上即可。第29頁，共42頁。例：我們有一個四因素的優(yōu)化過程，因此可以選用四因素的均勻設(shè)計表。設(shè)初點為(1.0,1.0,1.0,1.0);步長為0.5,1.0,0.5,2.0。要求計算初始單純形的各頂點。12345ABCD12345241353142543215列號（因素）試驗次數(shù)（頂點）四因素均勻設(shè)表U5(54)第30頁，共42頁。頂點1：（1.0+1×0.5,1.0+2×1.0,1.0+3×0.5,1.0+4×2.0）

=（1.5,3.0,5.5,9.0）頂點2：（1.0+2×0.5,1.0+4×1.0,1.0+1×0.5,1.0+3×2.0）

=（2.0,5.0,2.5,7.0）頂點3：（1.0+3×0.5,1.0+1×1.0,1.0+4×0.5,1.0+2×2.0）

=（2.5,2.0,7.0,5.0）頂點4：（1.0+4×0.5,1.0+3×1.0,1.0+2×0.5,1.0+1×2.0）

=（3.0,4.0,4.0,3.0）頂點5：（1.0+5×0.5,1.0+5×1.0,1.0+5×0.5,1.0+5×2.0）

=（）第31頁，共42頁。三.基本單純形優(yōu)化（有的文獻稱為移動、推進等）

確定了初始單純形的n+1個試驗點之后，可在這n+1個試驗點的因素水平下做試驗，得到n+1個指標值，根據(jù)指標值的優(yōu)劣，逐步舍棄最差點，尋求好的實驗條件，最終達到最優(yōu)目標。設(shè)在初始單純形中最好的頂點記為xB，最差的記為xW，次差點記為xN。單純形優(yōu)化中首先舍去最差點xW，并引入一個新試驗點xR，這個新試驗點是由xW對除xW外的其余n個點的重心反映得到的。

第32頁，共42頁。因此首先計算除xW后的重心指標：

（3）

然后將最差點xW對xp進行反映，得反映點xR：

該公式的另一個寫法是：

(3)*

xR＝xP＋（xP-xW）

(4)第33頁，共42頁。求反映點公式的另一個寫法是：

NOTE：xR,

xP和xW均為n維向量，其中每個元素的數(shù)值表示這些點處n個因素所取的水平。(4)*

得到新點后在該點各因素水平下再做一次試驗，然后再比較新單純形（刪除xW，加入xR）中各試驗點處指標值的優(yōu)劣，找出新的最差點。如此繼續(xù)進行，逐漸逼近最優(yōu)點。

第34頁，共42頁。NOTE：在單純形尋優(yōu)過程中，有時會出現(xiàn)一些問題，如：1）最差點反映到的新試驗點的目標值在新單純形中也是最差的，從而使尋優(yōu)進入死循環(huán)；2）或者某些新試驗點的因素水平會超出這些因素的限制條件（如出現(xiàn)負值等）使新的試驗無法進行。那么如何解決這些問題呢？第35頁，共42頁。基于以上考慮，單純形優(yōu)化中有如下規(guī)定：（1）若新的反映點xR的指標值在新單純形中是最差的，則用新單純形中的次差點反映，以改變尋優(yōu)方向；（2）若新試驗點xR的因素水平超出某因素的約束條件，則人為規(guī)定該新點為最差點；（3）若一個試驗點連續(xù)在n+1個單純形中保留，且該點為當前的最佳點，則該點為所求的最優(yōu)點。

這種單純形優(yōu)化法即為基本單純形法。第36頁，共42頁。基本單純形法的特點是：一旦初始單純形確定，尋優(yōu)過程的步長是固定的。如果步長過大，則收斂速度過快，靠近最優(yōu)點的收斂精度較差；反之若步長較小，最優(yōu)點附近收斂精度較好，但收斂速度較慢，需進行的試驗次數(shù)也較多。也就是說基本單純形法的靈活性較差。為此，又出現(xiàn)了改進單純形法。單純形優(yōu)化過程可用表和圖形象表示。第37頁，共42頁。頂