第頁4．3．2等比數列的前n項和公式【題型歸納目錄】題型一：等比數列前項和的有關計算題型二：等比數列前項和在幾何中的應用題型三：等比數列前項和的性質題型四：遞推公式在實際問題中的應用題型五：利用錯位相減法求數列的前項和題型六：等比數列前n項和公式的實際應用題型七：等比數列中與的關系題型八：等比數列片段和的性質題型九：等比數列的奇數項與偶數項和【知識點梳理】知識點一、等比數列的前項和公式等比數列的前項和公式推導過程：（1）利用等比性質由等比數列的定義，有根據等比性質，有所以當時，或．（2）錯位相減法等比數列的前n項和，①當時，，；②當時，由得：所以或．即知識點詮釋：①錯位相減法是一種非常常見和重要的數列求和方法，適用于一個等比數列和一個等比數列對應項的積組成的數列求和問題，要求理解并掌握此法．②在求等比數列前項和時，要注意區(qū)分和．③當時，等比數列的兩個求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．知識點二、等比數列前項和的函數特征1、與的關系（1）當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為，設，則上式可以寫成的形式，由此可見，數列的圖象是函數圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數列的前項和公式是，則數列的圖象是函數圖象上的一群孤立的點．2、與的關系當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數．知識點三、等比數列前項和的性質1、等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．2、若等比數列的前n項和為，則，，…成等比數列（其中，，…均不為0）．3、若一個非常數列的前n項和，則數列為等比數列．【題型歸納目錄】題型一：等比數列前項和的有關計算題型二：等比數列前項和在幾何中的應用題型三：等比數列前項和的性質題型四：遞推公式在實際問題中的應用題型五：利用錯位相減法求數列的前項和題型六：等比數列前n項和公式的實際應用題型七：等比數列中與的關系題型八：等比數列片段和的性質題型九：等比數列的奇數項與偶數項和【典型例題】題型一：等比數列前項和的有關計算例1．設等比數列的前項和為，若，則公比（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】等比數列的前項和為，由得：，而，則有，解得，所以.故選：C例2．設等比數列的前項和為，公比，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，不成立；當時，，即，解得，.故選：A例3．在等比數列中，為其前n項和，且，則它的公比q的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】C【解析】當q=1時，，滿足.當時，由已知可得，，顯然，.所以，有，解得，q=1（舍去）或.綜上可得，q=1或.故選：C.變式1．設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【解析】由，有，即，由等比數列的通項公式得，即，解得或，由數列為正項等比數列，∴.故選：A變式2．已知正項等比數列前項和為，且，，則等比數列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】因為，所以設公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A變式3．等比數列的各項均為正數，其前n項和為，已知，，則（

）A． B．32 C．64 D．【答案】B【解析】設等比數列{an}的公比為q，由題意知，因為S3=，S6=，所以，解得，所以.故選：B【方法技巧與總結】等比數列前n項和運算的技巧（1）在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：、、、、，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．（2）對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可看作一個整體．（3）在解決與前項和有關的問題時，首先要對公比或進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．題型二：等比數列前項和在幾何中的應用例4．作邊長為的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后再作新三角形的內切圓.如此下去，則前個內切圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設第個正三角形的內切圓半徑為，因為從第二個正三角形開始，每個正三角形的邊長是前一個的，每個正三角形的內切圓半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的，所以，，，，，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，則，設前個內切圓的面積和為，則，故選：B.例5．如圖，作邊長為3的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后，再作新三角形的內切圓．如此下去，則前n個內切圓的面積和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設第n個正三角形的內切圓半徑為，因為從第二個正三角形開始，每個正三角形的邊長是前一個的，每個正三角形的內切圓半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的，所以，，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，則，設前n個內切圓的面積和為，則=，故選：B例6．如圖，已知面積為4，連接三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構成第三個三角形，依此類推，第2020個三角形面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】觀察圖形可知后一個三角形的面積是前一個的，設第n個三角形的面積為，則數列是首項為，公比為的等比數列，，第2020個三角形面積為.故選：B.變式6．“康托爾塵埃”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成個邊長為的小正方形，保留靠角的個小正方形，記個小正方形的面積和為；然后，將剩余的個小正方形分別繼續(xù)等分，分別保留靠角的個小正方形，記所得的個小正方形的面積和為；……；操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則需要操作的次數的最小值為______．【答案】【解析】是個邊長為的小正方形面積之和，所以，是個邊長為的小正方形面積之和，所以；是個邊長為的小正方形面積之和，所以；所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，所以即，所以，因為在上單調遞減，而不成立，，即，所以需要操作的次數的最小值為次，故答案為：.變式7．如圖，在平面上作邊長為的正方形，以所作正方形的一邊為斜邊向外作等腰直角三角形，然后以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，再以新的正方形的一邊為斜邊向外作等腰直角三角形，如此這般的作正方形和等腰直角三角形，不斷地持續(xù)下去，求前n個正方形與前n個等腰直角三角形的面積之和__________.【答案】【解析】設依次所作的第個正方形的邊長為，第個正方形與第個等腰直角三角形的面積和為，則第個等腰直角三角形的腰長為，且.第個正方形的邊長為，，，，且，所以數列是以為首項，為公比的等比數列..【方法技巧與總結】此類幾何問題可以轉化為等比數列模型，利用等比數列的有關知識解決，要注意步驟的規(guī)范性．題型三：等比數列前項和的性質例7．一個等比數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，則，顯然與題設不符；∴，即等比數列不是常數列，∴，則，可得．故選：B．例8．已知等比數列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（

）A．一定單調遞減 B．一定單調遞增C．式子-≥0恒成立 D．可能滿足=，且k≠1【答案】D【解析】因為等比數列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當時，由可得，故數列為增函數，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調遞減，故A正確；因為當時，，，所以，即-，當時，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因為，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D例9．設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】B【解析】若，因為，所以，則與矛盾，若，因為，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因為，則，所以，故A錯誤；因為，，所以單調遞增，故C錯誤；因為時，，時，，所以的最大值為，故D錯誤；故選：B變式9．已知等比數列的前項和為，且滿足，則的值是A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意，當時，,,故當時，,數列是等比數列,則，故,解得,故選.變式11．設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因為，所以，因此，即B正確．因為，所以單調遞增，即的最大值不為，C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：C變式12．在數列中，（為非零常數），且其前n項和，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則，又，顯然不滿足條件，所以，又（為非零常數），所以，即是以為公比的等比數列，當時，即，當時，所以又，所以，解得．故選：D【方法技巧與總結】處理等比數列前項和有關問題的常用方法（1）運用等比數列的前項和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關的方程（組）時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．（2）靈活運用等比數列前項和的有關性質．題型四：遞推公式在實際問題中的應用例11．某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金1000萬元，已知每年可獲利，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中抽取200萬元資金進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．設經過年之后，該項目的資金為萬元．（1）設，證明數列為等比數列，并求出至少要經過多少年，該項目的資金才可以達到或超過翻兩番（即為原來的4倍）的目標（?。?；（2）若，求數列的前項和．【解析】（1）由題意可得，，∵，∵，∴，，∴，數列是以250為首項，以為公比的等比數列，∴，，令可得，∴，從而可得，，故，至少要經過12年，該項目的資金才可以達到或超過翻兩番的目標；（2），，，兩式相減可得，，，∴．變式15．（2022·甘肅·民勤縣第一中學高二期中）已知數列滿足，.(1)求證：數列是等差數列；(2)若且，求數列的前項和.【解析】（1）證明：因為，所以.因為，所以，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列.（2）由（1）可知，，所以.因為，當時，，所以，當時，也符合，所以，所以，所以，①，②①-②，得，所以.【方法技巧與總結】用數列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數學模型——數列模型，判斷是等差數列還是等比數列模型；求解時，要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題，所求結論對應的解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經過數學推理與計算得出的結果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結論．題型五：利用錯位相減法求數列的前項和例13．已知數列的前項和為，且.在數列中，，.(1)求，的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明：.【解析】（1）當時，；當時，所以，經檢驗：因為所以其中，所以數列是以為首項，為公比的等比數列得所以（2）由（1）可知所以得兩式相減得整理得所以，顯然所以例14．已知各項為正數的數列前n項和為，若．(1)求數列的通項公式；(2)設，且數列前n項和為，求證：．【解析】（1）當n＝1時，，解得：．當時，由得：，因此，，又，∴，即：是首項為1，公差為2的等差數列，因此，的通項公式．（2）依題意得：，，∴，兩式相減，得：，，因此，．例15．已知等比數列的前n項和為，且是與2的等差中項，等差數列中，，點在一次函數的圖象上．(1)求數列，的通項和；(2)設，求數列的前n項和．【解析】（1）因為是與2的等差中項，所以，即，則，當時，，從而，則等比數列的公比，故；因為，點在一次函數的圖象上，所以，即等差數列的公差為2，從而.（2）由，得：...①...②①-②得，，從而.變式16．已知等差數列滿足：數列滿足(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前項和.【解析】（1）設等差數列的公差為，因為，所以，解得：，所以，因為，所以，所以為等比數列，公比為3，首項，所以；（2），所以，則，兩式相減得：，所以.變式17．已知數列前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【解析】（1）當時，，所以，當時，，兩式相減可得：，所以，所以所以，又因為，所以從第二項開始是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以①（2）當時，，所以，當時，，所以，則①，②，①②得：，，，所以又因為當時，，所以.【方法技巧與總結】錯位相減法的適用范圍及注意事項（1）適用范圍：它主要適用于是等差數列，是等比數列，求數列的前項和．（2）注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出與的表達式時，應注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出的表達式．②利用此法時要注意討論公比是否等于1的情況．題型六：等比數列前n項和公式的實際應用例16．集合論是德國數學家康托爾于十九世紀末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽其為“數學思想的驚人產物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現(xiàn)之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（

）（參考數據：，）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度和為，第三次操作去掉的線段長度和為，…，第操作去掉的線段長度和為，由此得，所以，，，，所以的最小值是9.故選：A．例17．5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機的數字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化．目前我國最高的5G基站海拔6500米．從全國范圍看，中國5G發(fā)展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期．現(xiàn)有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊所建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬）約為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，8個工程隊所建的基站數依次成等比數列，比為，記第一個工程隊承建的基站數為（萬），則，．故選：B．例18．中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬?”馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應償還多少？試問：該問題中牛主人應償還（

）斗粟A． B． C． D．【答案】B【解析】設牛主人應償還x斗粟，則馬主人應償還斗粟，羊主人應償還斗粟，所以，解得：.故選：B變式18．在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.初始感染者傳染個人，為第一輪傳染，這個人中每人再傳染個人，為第二輪傳染，…….一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.注射新冠疫苗后可以使身體對新冠病毒產生抗體，但是正常情況下不能提高人體免疫力，據統(tǒng)計最新一輪的奧密克戎新冠變異株的基本傳染數，感染周期為4天，設從一位感染者開始，傳播若干輪后感染的總人數超過7200人，需要的天數至少為（

）A．4 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】依題意，每輪感染人數依次組成公比為9的等比數列，經過n輪傳播感染人數之和為：，得，顯然是遞增數列，而，則，而每輪感染周期為4天，所以需要的天數至少為16.故選：C變式20．我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意為“一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第三天走的路程為（

）A．96里 B．48里 C．24里 D．12里【答案】B【解析】記該人第n天走的路程里數為，數列的前n項和為，由題意得數列是以為公比的等比數列，，故，解得，故．故選：B變式21．2013年9月7日，習近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學發(fā)表演講在談到環(huán)境保護問題時提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學論新．某市為了改善當地生態(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為（

）（其中，，）A．2559萬元 B．2969萬元 C．3005萬元 D．3040萬元【答案】B【解析】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數列，則2020年投入資金萬元，年共7年投資總額為，從2021年開始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2024年投入資金成首項為，公比為1.1，項數為4的等比數列，故從2021年到2024年投入總資金為，故到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為萬元．故選：【方法技巧與總結】解答數列應用題的步驟（1）審題——仔細閱讀材料，認真理解題意．（2）建模——將已知條件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學（數列）問題，弄清該數列的結構和特征．（3）求解——求出該問題的數學解．（4）還原——將所求結果還原到實際問題中．題型七：等比數列中與的關系例19．已知數列的前n項和為，．證明：(1)數列為等比數列；(2)當時，．【解析】（1）證明：因為，所以，所以，在中，令，得①，又②，聯(lián)立①②，解得，因為，所以，故數列是首項為，公比為2等比數列.（2）由（1）可知，則，則當時，，所以當時，．例20．已知數列的前n項和滿足．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前n項和．【解析】（1）當，，故，因為，當時，,兩式相減得：，即，故數列為等比數列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．【方法技巧與總結】與的關系當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數．題型八：等比數列片段和的性質例22．記為等比數列的前n項和.若，，則（

）A． B．8 C．7 D．【答案】A【解析】∵為等比數列的前n項和，∴，，，成等比數列∴，∴，.∴，.故選：A例23．已知等比數列的前2項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為（

）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】設等比數列的前n項和為，公比為q,則,則，而，故，所以數列前6項和為，故選：C.變式25．等比數列的前n項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為且為等比數列，故為等比數列，故，解得，故選：B.變式26．若等比數列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，由等比數列片段和的性質：，，，，…成等比數列，所以，則．故選：D變式27．設等比數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為數列為等比數列，則，，成等比數列，設，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.【方法技巧與總結】若等比數列的前n項和為，則，，…成等比數列（其中，，…均不為0）．題型九：等比數列的奇數項與偶數項和例25．已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的倍，前項之積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的倍，所以，，故設等比數列的公比為，設該等比數列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.例26．已知數列的前項和，則數列的前10項中所有奇數項之和與所有偶數項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】當時，，又，即前10項分別為，所以數列的前10項中，，所以，故選：C．例27．已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，又，則，解得，故數列的所有項之和是.故選：D變式29．已知等比數列的公比，前項和為，則其偶數項為（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【解析】設，則，又因為，所以，所以.故選:D變式30．已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根據題意，數列為等比數列，設，又由數列的奇數項之和為21，偶數項之和為10，則，故；故選：變式31．已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的4倍，前3項之積為64，則（

）.A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的4倍，∴，設等比數列的公比為，由等比數列的性質可得，即，∴，∵,∴解得，又前3項之積，解得，∴.故選:B.變式32．一個項數為偶數的等比數列，它的偶數項和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】設等比數列項數為2n項,所有奇數項之和為,所有偶數項之和為,則,又它的首項為1，所以通項為，中間兩項的和為，解得，所以項數為8，故選B.變式33．已知一個等比數列首項為，項數是偶數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個數列的項數為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設這個等比數列共有項，公比為，則奇數項之和為，偶數項之和為，，等比數列的所有項之和為，則，解得，因此，這個等比數列的項數為.故選：C.【方法技巧與總結】等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．【同步練習】一、單選題1．已知等比數列的前n項和為，若，，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】當時，，即，，不成立；當時，，即，解得.，.故選：B.2．已知數列的通項公式為，若前項和為9，則項數為（

）A．99 B．100 C．101 D．102【答案】A【解析】假設數列的前項和為，因為，則數列的前項和為，當前項和為9，故，解得，故選：A3．已知等比數列的前項和為，若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數列片段和的性質可知，、、成等比數列，所以，，即，解得.故選：C.4．已知等比數列的前項和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等比中項的性質得，又，解得或，當時，或（舍），當時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.5．已知遞增的等比數列中，，，則（

）A．25 B．31 C．37 D．41【答案】B【解析】設等比數列的首項為，公比為，則①，②，由①②得，解得或，即（不滿足單調遞增，舍去）或，所以.故選：B6．已知數列滿足，，則（

）A．57 B．31 C．32 D．33【答案】A【解析】因為，所以，，所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，所以，所以，.故選：A7．在數列中，，，則（

）A．958 B．967 C．977 D．997【答案】C【解析】，，則上述式子累加得，，故選：C.8．若正項數列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又是正項數列，所以，，則數列是以1為首項，2為公比的等比數列，.，，，可得數列是以1為首項，4為