第頁(yè)4．4數(shù)學(xué)歸納法【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項(xiàng)問(wèn)題題型三：證明恒等式題型四：證明不等式題型五：歸納—猜想—證明題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)學(xué)歸納法的原理1、數(shù)學(xué)歸納法定義：對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)詮釋：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，命題成立．（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．2、數(shù)學(xué)歸納法的原理：數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．它的證明共分兩步：①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)．但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的普遍性．在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒(méi)有必要再考察幾個(gè)正整數(shù)，即使命題對(duì)這幾個(gè)正整數(shù)都成立，也不能保證命題對(duì)其他正整數(shù)也成立；②證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)．但沒(méi)有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)．只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論．其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)性問(wèn)題（又稱傳遞性問(wèn)題）．例1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的功能和適用范圍（1）數(shù)學(xué)歸納法具有證明的功能，它將無(wú)窮的歸納過(guò)程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗(yàn)證和演繹推理相結(jié)合）過(guò)程．（2）數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)（取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．但是，并不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可使用數(shù)學(xué)歸納法證明．知識(shí)點(diǎn)二、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧1、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確2、用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項(xiàng)（1）弄錯(cuò)起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點(diǎn)問(wèn)題）．（2）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤．特別是當(dāng)尋找與的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)的變化易出現(xiàn)錯(cuò)誤（即跨度問(wèn)題）．（3）沒(méi)有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過(guò)不去了，整個(gè)證明過(guò)程也就不正確了（即偽證問(wèn)題）．（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過(guò)程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性（即規(guī)范問(wèn)題）．3、用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法由到的證明是證明的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由到的推證方法．在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析由到的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，或從時(shí)分離出時(shí)的式子，再進(jìn)行局部調(diào)整；也可以考慮二者的結(jié)合點(diǎn)，以便順利過(guò)渡．知識(shí)點(diǎn)三、用數(shù)學(xué)歸納法證題的類型：1、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式；對(duì)于證明恒等的問(wèn)題，在由證等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，也就是我們通常所說(shuō)的兩邊湊的方法，以減小計(jì)算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問(wèn)題的證明有目的性．2、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的整除性問(wèn)題；用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，由到時(shí)，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的一大技巧．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問(wèn)題；數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合來(lái)考查，對(duì)于此類問(wèn)題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對(duì)問(wèn)題的所劃分標(biāo)準(zhǔn)，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)、交線間的關(guān)系等．4、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式．用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與有關(guān)的不等式時(shí)，推導(dǎo)“”時(shí)成立，有時(shí)要進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的放縮，有時(shí)還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．5、用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題．由有限個(gè)特殊事例進(jìn)行歸納、猜想，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法．在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思想方法尤其重要．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解例2．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時(shí)不等式成立 B．時(shí)不等式成立C．時(shí)不等式成立 D．時(shí)不等式成立例3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（），在驗(yàn)證時(shí)，左端計(jì)算所得的式子是（）A． B． C． D．變式1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)等式左邊與時(shí)的等式左邊的差等于（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，命題成立．（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項(xiàng)問(wèn)題例5．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（

）A． B． C． D．例6．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：，（為正整數(shù)）的過(guò)程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）A． B．C． D．例7．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則從“到”，左邊所要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．變式3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過(guò)程中，由遞推到時(shí)等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)為（

）A．1 B． C． D．變式4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由到，左邊增加了（

）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)變式5．用數(shù)學(xué)歸納法證明到時(shí)，左邊需增加的代數(shù)式為（

）A． B．C． D．變式6．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】在利用歸納假設(shè)論證時(shí)等式也成立時(shí)，應(yīng)注意分析和時(shí)兩個(gè)等式的差別．題型三：證明恒等式例9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．例10．觀察下面三個(gè)等式：第1個(gè)：，第2個(gè)：，第3個(gè)：(1)按照以上各式的規(guī)律，寫出第4個(gè)等式；(2)按照以上各式的規(guī)律，猜想第個(gè)等式（為正整數(shù)）；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立．變式7．是否存在常數(shù)a、b．使等式（，）對(duì)任意正整數(shù)n成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：（1）時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)．（2）到時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：時(shí)的代數(shù)式比時(shí)的代數(shù)式增加（或減少）的項(xiàng)．這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：①代數(shù)式從哪一項(xiàng)（哪一個(gè)數(shù)）開始，即第一項(xiàng)．②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項(xiàng)（最后一個(gè)數(shù)）與的關(guān)系．題型四：證明不等式例12．）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，其中．變式10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：對(duì)任意的，不等式都成立．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵（1）驗(yàn)證第一個(gè)的值時(shí)，要注意不一定為1，若（k為正整數(shù)），則．（2）證明不等式的第二步中，從到的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè)．（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明與有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大?。畬?duì)第二類形式往往要先對(duì)取前個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．（4）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時(shí)成立，得時(shí)成立，主要方法有比較法、放縮法等．題型五：歸納—猜想—證明例14．已知數(shù)列中，，其中，且．從條件①與條件②，且中選擇一個(gè)，結(jié)合上面的已知條件，完成下面的問(wèn)題．(1)求，，，并猜想的通項(xiàng)公式；(2)證明（1）中的猜想．例15．設(shè)數(shù)列滿足，．(1)計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求前項(xiàng)和．例16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中且.(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.變式13．設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的值并猜測(cè)通項(xiàng)公式；(2)證明上述猜想的通項(xiàng)公式．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．（2）“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見的問(wèn)題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式．題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題例18．證明：當(dāng)時(shí)，能被64整除．例19．求證：對(duì)任意正整數(shù)，都能被整除．變式14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除．變式15．用兩種方法證明：能被49整除．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把時(shí)的式子分成兩部分，其中一部分應(yīng)用歸納假設(shè)，另一部分經(jīng)過(guò)變形處理，確定其能被某數(shù)（某式）整除．題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例21．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒(méi)有共同的交點(diǎn)，試證明這個(gè)圓把平面分成了個(gè)區(qū)域．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從個(gè)變成（）個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少．一般地，證明二步時(shí)，常用的方法是加1法，即在原來(lái)的基礎(chǔ)上，再增加1個(gè)，當(dāng)然我們也可以從（）個(gè)中分出1個(gè)來(lái)，剩下的個(gè)利用假設(shè)．幾何問(wèn)題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說(shuō)明．【同步練習(xí)】一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n（n∈N*）”時(shí)，由假設(shè)n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時(shí)，不等式左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正偶數(shù)n均有，在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)時(shí)命題成立B．假設(shè)時(shí)命題成立C．假設(shè)時(shí)命題成立D．假設(shè)時(shí)命題成立5．現(xiàn)有命題“，，用數(shù)學(xué)歸納法去探究此命題的真假情況，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件后才是真命題，否則為假命題D．存在一個(gè)很大的常數(shù)，當(dāng)時(shí)，此命題為假命題6．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立 B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立 D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立7．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時(shí)，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于（

）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k8．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過(guò)程，由到時(shí)，左邊增加了（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．k項(xiàng) D．1項(xiàng)二、多選題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，當(dāng)時(shí)命題成立，且由時(shí)命題成立可以推得時(shí)命題也成立，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該命題對(duì)于時(shí)命題成立B．該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C．該命題何時(shí)成立與取值無(wú)關(guān)D．以上答案都不對(duì)11．以下四個(gè)命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立”，但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)三、填空題12．平面內(nèi)有條直線，設(shè)它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，若增加一條直線，則它們的交點(diǎn)數(shù)最多為______．13．已知函數(shù)，若，，…，，猜想的函數(shù)表達(dá)式為______．14．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積為Tn，若Sn+2Tn＝1，則數(shù)列中最接近2019的是第____項(xiàng)．四、解答題15．已知數(shù)列滿足.(1)寫出，并推測(cè)的表達(dá)式；(2