第頁1.2空間向量基本定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識(shí)點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【題型歸納目錄】題型一：基底的判斷題型二：基底的運(yùn)用題型三：正交分解題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題【典型例題】題型一：基底的判斷例1．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量基底的定義即可得出答案.【詳解】選項(xiàng)A：令，則，，A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以不能?gòu)成基底．故選：A.例2．設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】以為頂點(diǎn)作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．【詳解】如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選：C．例3．已知，，是不共面的三個(gè)向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】由不共面的三個(gè)向量能構(gòu)成一組基底判斷.【詳解】A.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；B.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；C.假設(shè)，，共面，則必存在x，y，有，因?yàn)?，，是不共面，則，不成立，則三個(gè)向量不共面，所以三個(gè)向量能構(gòu)成一組基底；D.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；故選：C題型二：基底的運(yùn)用例5．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．=C．= D．=【答案】B【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：B例6．在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，再利用可求得結(jié)果.【詳解】由已知，所以，，故選：D.例7．如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：A例8．在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤因?yàn)?，所以，所?故選：D【方法技巧與總結(jié)】1.空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時(shí)，一般要結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時(shí)，通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.題型三：正交分解例9．設(shè)是空間的一個(gè)單位正交基底，且向量，是空間的另一個(gè)基底，則用該基底表示向量____________.【答案】【分析】設(shè)，由空間向量分解的唯一性，，列出方程組求解即可【詳解】由題意，不妨設(shè)由空間向量分解的唯一性：故，解得則故答案為：例10．若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，______．【答案】【分析】由條件可得，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【詳解】由是一個(gè)單位正交基底，則，故答案為：例11．向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理：設(shè)坐標(biāo)，分別以、為基底表示，即可得方程組求參數(shù)，進(jìn)而確定坐標(biāo).【詳解】由題意知：，若在基底的坐標(biāo)為，∴，∴，可得，∴在基底的坐標(biāo)為.故答案為：題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題例13．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)的值.(2)線段AC1的長【答案】(1)(2)【分析】（1）直接套用向量的內(nèi)積公式即可；（2）選取作為一組基底，用基底表示，=代入求解即可得出答案.(1)==.(2)選取作為一組基底，則，則======.例14．已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．【分析】取定基底向量，并分別記為，再用基底表示出和，然后借助數(shù)量積即可計(jì)算作答.【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則，令，G是MN的中點(diǎn)，如圖，則，，于是得，因此，，所以O(shè)G⊥BC.例15．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】（1）由題，選定空間中三個(gè)不共面的向量為基向量，只需證明即可；（2）用基向量求解向量的夾角即可，先計(jì)算向量的數(shù)量積，再求模長，代值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.例16．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點(diǎn)，設(shè)，，．(1)用，，表示并求BM的長；(2)求點(diǎn)A到直線BM的距離．【答案】(1)，BM的長為．(2)2【分析】(1)根據(jù)空間向量的基本定理可得，利用空間向量的幾何意義，等式兩邊同時(shí)平方，計(jì)算即可；(2)由(1)可得，進(jìn)而可得，即為點(diǎn)A到直線BM的距離.(1)又，，，故BM的長為．(2)由（1）知，，∴，所以，則為點(diǎn)A到直線BM的距離，又，故點(diǎn)A到直線BM的距離為2．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn),選擇一個(gè)基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).【同步練習(xí)】一、單選題1．已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面結(jié)論：若四點(diǎn)共面，則且，【詳解】若，，，四點(diǎn)共面，則，則故選：D．2．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性元素和空間向量的基本定理求解.【詳解】，，故選：B3．在平行六面體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的平行四邊形法則，減法的三角形法則即可求解【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以所以即故選：B4．如圖，在平行六面體中，為和的交點(diǎn)，若，，，則下列式子中與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，表示出向量，即得答案.【詳解】,故選;A5．如圖所示，在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的個(gè)數(shù)是（

）①；

②；③；

④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷．【詳解】由正方體，空間向量的加法法則可得．；；；．故選：D．6．設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】以為頂點(diǎn)作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．【詳解】如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選：C．7．如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC.M，N分別是對(duì)邊OB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，，現(xiàn)用基向量表示向量，設(shè)，則的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】結(jié)合圖形,由M、N是OM、BC的中點(diǎn),用表示出,從而得出,即可得出.【詳解】連結(jié)ON.因?yàn)镸，N分別是對(duì)邊OB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以.又，所以..故選：C8．在三棱錐中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，，，根據(jù)，，，得到P是的重心求解.【詳解】延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，，，如圖所示：因?yàn)?，，，所以，所以P是的重心，所以，即，所以，整理得．故選：C二、多選題9．如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（

）A． B．C．A，P，三點(diǎn)共線 D．A，P，M，D四點(diǎn)共面【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算判斷AB選項(xiàng)的正確性，根據(jù)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的知識(shí)判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.則是的中點(diǎn)，，，則不存在實(shí)數(shù)使，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，由于直線，所以四點(diǎn)共面，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10．已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且（，），則，的值可能為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所以由平面向量基本定理可知：，化簡得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)A不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)B不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)C可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)D可能，故選：CD11．已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題中，真命題有（

）A．已知，，則B．已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量，的夾角取得最小值C．已知，，則D．已知，，，則三棱錐的表面積【答案】BC【分析】理解仿射向量的概念，利用空間向量共線定理及數(shù)量積運(yùn)算即可﹒【詳解】．因?yàn)?，且，所以，故A錯(cuò)誤．如圖所示：設(shè)，，則點(diǎn)A在xOy平面內(nèi)，點(diǎn)B在z軸上，由圖易知當(dāng)時(shí)，最小，即向量，的夾角取得最小值，故B正確．根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義，可得，故C正確．由已知可得三棱錐為正四面體，棱長為1，其表面積，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題12.正方體中，點(diǎn)是上底面的中心，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用表示出，由此可得的值.【詳解】，，，，.故答案為：.13．四面體OABC的所有棱長都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】取定空間的一個(gè)基底，用基底表示，，再計(jì)算空間向量數(shù)量積作答.【詳解】四面體OABC的所有棱長都等于，則此四面體是正四面體，不共面，，因E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點(diǎn)，則，，所以.故答案為：14．如圖所示，三棱柱中，，分別是和上的點(diǎn)，且，設(shè)，則的值為___________.【答案】【分析】把三個(gè)向量看作是基向量，由向量的線性運(yùn)算將用三個(gè)基向量表示出來，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：由題意三棱柱中，?分別是B?上的點(diǎn)，且，，則，，.故答案為：.四、解答題15．如圖，在平行六面體中，，，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點(diǎn)在線段上，且，記，，．試用，，表示．【答案】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，即可用，，表示.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，點(diǎn)在線段上，且，所以.16.如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.(1)設(shè)試用表示向量；(2)求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）將，代入中化簡即可得出答案.（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.(1)∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴.