九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)單元測試題庫二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“函數(shù)”板塊的核心內(nèi)容，既是代數(shù)與幾何綜合應(yīng)用的橋梁，也是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。本測試題庫圍繞解析式求解、圖像性質(zhì)分析、實(shí)際應(yīng)用建模、綜合探究拓展四大核心模塊設(shè)計(jì)，通過“基礎(chǔ)鞏固—能力提升—綜合拓展”三層訓(xùn)練，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握二次函數(shù)的知識(shí)體系與解題方法。一、選擇題（基礎(chǔ)鞏固型·每題考查1個(gè)核心概念）知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=2x(x-1)\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)D.\(y=(x+2)^2-x^2\)解析：二次函數(shù)的一般形式為\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，\(a,b,c\)為常數(shù)）。選項(xiàng)B展開后為\(y=2x^2-2x\)，符合定義；A是一次函數(shù)，C不是整式函數(shù)，D展開后為\(y=4x+4\)（一次函數(shù)）。答案：\(\boldsymbol{B}\)知識(shí)點(diǎn)2：圖像的開口方向與對(duì)稱軸2.二次函數(shù)\(y=-3x^2+2x-1\)的開口方向和對(duì)稱軸分別為（）A.向上，\(x=\frac{1}{3}\)B.向下，\(x=\frac{1}{3}\)C.向上，\(x=-\frac{1}{3}\)D.向下，\(x=-\frac{1}{3}\)解析：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)中，\(a=-3<0\)，故開口向下；對(duì)稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)，代入\(b=2\)、\(a=-3\)，得\(x=-\frac{2}{2\times(-3)}=\frac{1}{3}\)。答案：\(\boldsymbol{B}\)二、填空題（能力提升型·聚焦圖像性質(zhì)與最值）知識(shí)點(diǎn)3：頂點(diǎn)坐標(biāo)與最值1.二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(2,-1)}\)，當(dāng)\(x=\boldsymbol{2}\)時(shí)，函數(shù)取得最\(\boldsymbol{小}\)值（填“大”或“小”）。解析：用配方法變形：\(y=(x-2)^2-1\)，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-1)\)；因\(a=1>0\)，拋物線開口向上，當(dāng)\(x=2\)時(shí)，函數(shù)取得最小值\(-1\)。知識(shí)點(diǎn)4：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)2.拋物線\(y=x^2-2x-3\)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(3,0)}\)和\(\boldsymbol{(-1,0)}\)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(0,-3)}\)。解析：與x軸交點(diǎn)令\(y=0\)，解方程\(x^2-2x-3=0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，故交點(diǎn)為\((3,0)\)、\((-1,0)\)；與y軸交點(diǎn)令\(x=0\)，得\(y=-3\)。三、解答題（綜合應(yīng)用與拓展·分層次突破）（一）基礎(chǔ)解答題：解析式求解與圖像分析1.已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((3,0)\)，求其解析式。解析：因圖像過\((1,0)\)、\((3,0)\)，設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x-1)(x-3)\)（\(a\neq0\)）。將\((0,3)\)代入得：\(3=a(0-1)(0-3)\)，即\(3a=3\)，解得\(a=1\)。因此解析式為\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)。（二）實(shí)際應(yīng)用題：利潤與面積的優(yōu)化模型2.某商店銷售一種商品，每件成本50元。當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，可銷售800件；售價(jià)每上漲1元，銷量減少20件。設(shè)售價(jià)為\(x\)元（\(x\geq60\)），總利潤為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）售價(jià)為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）銷量隨售價(jià)的變化：原銷量800件，售價(jià)漲\((x-60)\)元，故銷量為\(800-20(x-60)=2000-20x\)（件）。利潤=（售價(jià)-成本）×銷量，即\(y=(x-50)(2000-20x)\)，展開得\(y=-20x^2+3000x-____\)（\(60\leqx\leq100\)）。（2）二次函數(shù)\(y=-20x^2+3000x-____\)中，\(a=-20<0\)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}=-\frac{3000}{2\times(-20)}=75\)。當(dāng)\(x=75\)時(shí)，最大利潤\(y=-20\times75^2+3000\times75-____=____\)元。（三）綜合探究題：函數(shù)與幾何的動(dòng)態(tài)結(jié)合3.已知拋物線\(y=ax^2+bx+c\)與x軸交于\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，與y軸交于\(C(0,3)\)。點(diǎn)\(P\)在拋物線上，且\(\trianglePAB\)的面積為8，求點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。解析：步驟1：求拋物線解析式。設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\(C(0,3)\)得：\(3=a(0+1)(0-3)\)，解得\(a=-1\)，故解析式為\(y=-x^2+2x+3\)。步驟2：分析\(\trianglePAB\)的面積。\(AB\)的長度為\(3-(-1)=4\)，設(shè)\(P\)的縱坐標(biāo)為\(h\)，則\(S_{\trianglePAB}=\frac{1}{2}\timesAB\times|h|=\frac{1}{2}\times4\times|h|=2|h|\)。步驟3：解方程求\(h\)。由\(2|h|=8\)得\(|h|=4\)，即\(h=4\)或\(h=-4\)。當(dāng)\(h=4\)時(shí)，代入解析式\(-x^2+2x+3=4\)，整理得\(x^2-2x+1=0\)，解得\(x=1\)，故\(P(1,4)\)。當(dāng)\(h=-4\)時(shí)，代入解析式\(-x^2+2x+3=-4\)，整理得\(x^2-2x-7=0\)，解得\(x=1\pm2\sqrt{2}\)，故\(P(1+2\sqrt{2},-4)\)或\(P(1-2\sqrt{2},-4)\)。四、分層訓(xùn)練建議基礎(chǔ)層（選擇題+填空題前2題）：聚焦定義、開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)等核心概念，確保對(duì)“形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系清晰。提高層（填空題后2題+基礎(chǔ)解答題）：強(qiáng)化解析式求解（三種形式：一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）與圖像性質(zhì)的綜合應(yīng)用。拓展層（實(shí)際應(yīng)用題+綜合探究題）：通過“