微考點(diǎn)6?5利用二級(jí)結(jié)論秒殺拋物線中的選填題

■題型解密■

【考點(diǎn)目錄】

考點(diǎn)一：拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式

考點(diǎn)二：過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式

考點(diǎn)三：過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式

考點(diǎn)四：拋物線中點(diǎn)弦求斜率秒殺公式

考點(diǎn)五：拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題

考點(diǎn)六：拋物線中阿基米德三角形相關(guān)秒殺結(jié)論

【考點(diǎn)分類(lèi)】

考點(diǎn)一：拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式

已知傾斜角為。直線的/經(jīng)過(guò)拋物線產(chǎn)=2/＞的焦點(diǎn)/，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則

①|(zhì)A/|二—4—y\BF|=---

l-cos。1+cos。|FA||FB\p

②|叫=&，

SSOAB=-^—,\AB\=2P(\+^).

sin32sin。k

I

?\AF\=XA+^.BF\=AB\=xA+xa+p.

【精選例題】

【例1】?jī)A斜角為45的直線/經(jīng)過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)產(chǎn)，且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),貝!|人臼=()

4

A.-B.4C.6D.8

3

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線/的方程，聯(lián)立直線,與拋物線方程可得，X2-6X+1=0.再結(jié)合拋物

線的定義，以及韋達(dá)定理，即可求解.

【詳解】???直線/的傾斜角為45°,.??直線/的斜率為1，

???拋物線V=4x,焦點(diǎn)尸(1,0),

二直線/的方程為y=x-i，

設(shè)秋司，乂),6(巧,力)，

=4x

聯(lián)立直線與拋物線方程’,化簡(jiǎn)整理可得，f_6x+l=0，A=62-4=32>0.

y=x-\

由韋達(dá)定理可得，$+工2=6,故|4例=內(nèi)+七+〃=6+2=8.

故選：D.

【例2】已知4（芭,）1）1小，%）是拋物線U-=8,，上的兩點(diǎn)，且直線A8經(jīng)過(guò)。的焦點(diǎn)，若X+%=12,則

囪=（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】結(jié)合拋物線的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】|的=兇+勺%+臺(tái)>+為+〃=12+96.

故選:C.

【例3】已知拋物線丁=6x,弦A8過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且滿足AF=3FB，貝U弦A3的中點(diǎn)到），軸的距離為（）

A.—B.3C.-D.4

22

【答案】C

【分析】根據(jù)衣=3萬(wàn)可得乂=-3%,再根據(jù)韋達(dá)定理即可求出AB的坐標(biāo),進(jìn)而可求解.

設(shè)A（X，X）,8（&，）’2），假設(shè)％>0,

顯然弦48所在的直線的斜率存在且不等于零，

設(shè)弦AB所在的直線方程為y二2（工-|）,

3

聯(lián)立:肖去x可得，ky2-6y-9k=0,

y=6x

所以y%=-9,

因?yàn)锳戶(hù)=3尸8，所以《一內(nèi)，一）1）=3（工2-小月），貝1」凹=一3丹，

所以y%=-3￡=-9,解得y2=75,所以y}=-3&,

所以％=%='居=￡=2,

62162

所以弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為6）,

所以弦A4的中點(diǎn)丁軸的距離為1,

故選:C.

【例4】已知拋物線￡），2=2內(nèi)（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線，與拋物線E交于A4兩點(diǎn)（A在第一象

限），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|"1=28同=6,則（）

A.〃一4

B.直線/的斜率是±2也

C.線段AB的中點(diǎn)到〉軸的距離是：

2

D.OA4的面積是6立

【答案】ACD

【分析】設(shè)直線，:》=緲+與，人（西方）1（與辦），與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)河=2五3、韋達(dá)定理得出，〃2=：，

2o

再由|4即=府:？鳳-%|=9求白〃可判斷人；求出，〃可得直線/的斜率，再由點(diǎn)A在第一象限可判斷B；

設(shè)線段A8的中點(diǎn)為“（七,%），根據(jù)/="殳=|求出線段AB的中點(diǎn)到）'軸的距離可判斷C；利用

5=夕。斗加一閭求出的面枳可判斷D.

【詳解】由題意可得直線/的斜率不為0,則可設(shè)直線/：1=沖十多4（內(nèi),y）,8（/,%），

V=2px,

聯(lián)立p整理得3,2-2pmy-p-=0,則y+y=2pm,y8=-//，

x=my+—,2

2

因?yàn)閨A尸|=2忸尸J,所以A尸=2F8，所以％=-2丫2，所以一2%+%=2〃6，

所以乃=-2pm，則X）、=-2y；=-p2,即一2x（-2pm）-=-p2,解得m2=1,

O

因?yàn)閨A月=2忸產(chǎn)1=6,

所以MM=\/用2+1=2p"+1)=(〃=9,解得〃=4,則A正確；

對(duì)「B,因?yàn)椴?：,所以加=±巫，則直線/的斜率是±2也，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，

84

所以直線/的斜率大于0,所以直線/的斜率是2人，則B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)線段A5的中點(diǎn)為“(%,%),則題=三>'=1，即線段旗的中點(diǎn)到)'軸的距離是1則C正

確：

對(duì)于D,因?yàn)椤?4,〃/=",所以|OF|=2,|X-刃=J(X+%『-4y%=2p?+1=64，貝卜。48的面積

S=i|OF|-|yi-y2|=6>/2,故D正確.

故選：ACD.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知拋物線.F=2px(p>0)的焦點(diǎn)為人過(guò)焦點(diǎn)廠的直線/交拋物線于兩點(diǎn)A,B.若弦長(zhǎng)|A8|=4p,

則直線/的斜率為.

【答案】±1

【分析】設(shè)自線/的方程為》=沖+勺A(XQJ，8(孫弘)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出入+%，>跖，

再根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式即可得解.

【詳解】由題意，直線/的斜率不等于零，

設(shè)直線，的方程為x=+],A(x，yJ,8(七,了2)，

x=tnv+E

聯(lián)立，-2,消x得y2-2mpy-p-=0,

V=2px

A=4nrp-+4P?>0恒成立，

貝|JH+y2=2"w，yj2=—p2，

?2?

所以|AB\=yl\+m.y+y2)-4?y2=\J\+nf?《4”，p?+4〃，=2p(1+m)=4〃，

解得〃?=±1,

所以直線/的斜率為±1.

故答案為：±1.

2.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：），2=2〃X（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的傾斜角為:的直線/與C相

交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限，，.044的面積是8夜，則（）

A.|陰=8B.〃=4

U白十高壽D.|A月=8+4及

【答案】BCD

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和焦半徑公式求出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)

合.048的面積求解〃，從而利用焦半徑公式求解|A耳，忸耳，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】拋物線）'=2外（〃>0）的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為x=-￡,

\72

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為設(shè)直線/：y=T，A（x，y）,Ww，%），

J

2

y=2px2

聯(lián)立直線與拋物線方程得（〃消元得/一3內(nèi)+2=。,

y=x-勺4

由韋達(dá)定理可得x丙=?,芭+七=3〃，所以|A8|=X]+w+〃=4〃，

_P_

2=心,所以SOAL,X4px正p=8夜，得〃=4,所以根同=16,

又點(diǎn)。到直線48的距離是

"-if424

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；

由〃=4知%2—12大+4=0，解得占=6+4&,9=6-4夜,

111?￡.1=1—>1_I——^1―

所以|A尸|忸尸「4v+￡~8+4728-45反2，故選項(xiàng)C正確;

'2"22

|4尸|=內(nèi)+《=8+4血，故選項(xiàng)D正確；

故選:BCD.

3.已知直線/：y=x+，〃過(guò)拋物線C：），=4x的焦點(diǎn)凡且與拋物線交于48兩點(diǎn)，則（）

A.m=1

B.|叫=8

C.|AF|=2|BF|

D.拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)到直線），=工十2距離的最小值為變

2

【答案】BD

【分析】求得拋物線C的焦點(diǎn)代入電線/的方程」求得機(jī)=-1,可判定A錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理

和拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，求得|八卻=8,可判定B正確：結(jié)合拋物線的定義，求得|AF|,忸月的值，可判定

C錯(cuò)誤；設(shè)設(shè)M（x，y）是拋物線C上的任意一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定

D正確.

【詳解】由拋物線C:y2=4x,可得焦點(diǎn)為尸（L0）,

因?yàn)?。=。+加過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)尸,可得〃2+1=0,解得吁-1,所以A錯(cuò)誤；

y=x-\

聯(lián)立方程組人,整理得f-6x+l=0，

y~=4x

設(shè)Aa，x）,8（孫力），則△=36-4=32>0,再+x2=6,x,x2=1,

由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可得|陰=司+9+〃=6+2=8,所以B1E確;

又由/一6.1+1=0，解得％=3+2五,占=3-2拒，

根據(jù)拋物線的定義，可得|叫3+卜4+2&,2|叫=2（々+與=8-4人，

所以|A尸|=2|四,所以C錯(cuò)誤;

設(shè)〃（看方）是拋物線。上的任意一點(diǎn)，可得槨=4玉，

_2

則點(diǎn)M到直線y=x+2的距離為一|內(nèi)一）”2|_4V,2-3，,+|（y-2）、4|,

=五=-五-=4夜

當(dāng)弘=2時(shí)，4nE=￥，所以D壬確?

故選：BD.

4.已知直線/過(guò)拋物線C:），2=4x的焦點(diǎn)尸，且與拋物線C交于442）,85,必）兩點(diǎn)，點(diǎn)M為C的準(zhǔn)線

與X軸的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若一+二=5,則|A卻=7

B.過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為4

C.當(dāng)A”=2/76時(shí)，直線/的傾斜角為1

D.存在2條直線/,使得?忸⑼=忸「卜|四|成立

【答案】AB

【分析】由拋物線的定義,可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì),可判定B正確;設(shè)直線/的方程為x=my+l，

聯(lián)立方程組，得到,+必=4〃3%=-4,結(jié)合Ab=2所時(shí)，求得〃=±2亞，可判定C錯(cuò)誤；分別求得

\AF\\BF\\AM\\BM\,結(jié)合=|研.|AA/|,化簡(jiǎn)代入，得到4m=0恒成立,可判定D錯(cuò)誤.

【詳解】由拋物線的定義可得|蝴=|"|+忸q=%+赴+〃=5+2=7,所以A正確；

當(dāng)過(guò)拋物線C'的焦點(diǎn)且與x軸垂宜時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為4,所以B正確；

設(shè)直線/的方程為x="9+1，聯(lián)立方程組'：'7十'整理得），2一4%，-4=0.

y=4x

可得,+%二4上乂必二-4，

當(dāng)A尸=2尸8時(shí)，,=一2%，則y+%=4，〃，y,y2=-4,

解得為=±技嗚，土&卜=±2五，所以?xún)A斜角不是?所以C錯(cuò)誤；

由尸(-1,0),則|AF|=J(±-if+y：=+1-1/+y；=,

1叫=Jm%y；=J(孫+i>+y；=J(i+叫￡，

IAM|=Ja+lf+y；=］(〃明+1+1)2+y：=J(l+〃/)y：+4/w+4,

阿=7(X2+I)2+>?2=》(碼+*)2+￡=J。+〃/))'；+4」町%+4,

由|A產(chǎn)卜忸M=|班則(圖］/黑］，可得耳町化簡(jiǎn)可得

(忸用UWU蘇J(：1+叫：”￡+4：〃叫+4；

y)(y,-j)=0,

(myty2+y1+22

由乂工。2,則沖1%+—+%=°，

將"+必=4加，，%二-4代入，則T，〃+4〃7=O恒成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

考點(diǎn)二：過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式

①拋物線V=2px的焦點(diǎn)為F,是過(guò)尸的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證:

儀=孑，必必=一〃2

②一般地，如果直線/恒過(guò)定點(diǎn)M。幾0)與拋物線)，2=2/?(〃>0)交于48兩點(diǎn)，那么

xAxB=m\yAyB=-2pm.

③若OAlOBnA3恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

【精選例題】

【例1】已知拋物線C：y=2/的的焦點(diǎn)為產(chǎn)，“(%,)；)、N(七,必)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是()

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(,0)

B.若直線MN過(guò)點(diǎn)尸，則與上

16

C.若MF=2NF，則|MN|的最小值為:

35

D.若|MF|+|NQ=5,則線段MN的中點(diǎn)P到X軸的距離為］

【答案】BCD

【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線MV與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確：

根據(jù)MN過(guò)焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得P點(diǎn)

縱坐標(biāo)，知D正確.

【詳解】拋物線），=2/，即/=；y,

對(duì)于A,由拋物線方程知其焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)為尸故A錯(cuò)誤；

k

對(duì)于B,依題意，直線MN斜率存在，設(shè)其方程為），=履+：,

O

21

X=5>'I1

由?,消去y整理得/《丘-白=o,

,1216

y=IOC+-

則A=［K+1>0,x+x,=1&,故B正確；

44~216

對(duì)于C,若MF=6F，則電線MN過(guò)焦點(diǎn)，

所以|MN|=|MH+|N尸|=y+"+必+9例+"+5+（+；=#+；,

所以當(dāng)女=0時(shí)，河州而小；，

所以|MN|的最小值為?故C正確；

1135

對(duì)于D,因?yàn)閨M〃|+|N戶(hù)］=）［+6+），2+大=:，則乂+必=彳，

oo24

即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為嗎&=3,所以。到X軸的距離為：，故D正確.

288

故選：BCD.

【例2】已知拋物線V=8x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且傾斜角為45。的直線/交拋物線于A,區(qū)兩點(diǎn)（）

A.直線/的方程為x-）』2=。B.原點(diǎn)到直線/的距離為正

C.|4即=16D.）\y2=-8

【答案】ABC

【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)

確定正確答案.

【詳解】拋物線V=8x的焦點(diǎn)為F（2,0）,

所以過(guò)尸且傾斜角為45。的直線/的斜率為1,

所以直線/的方程為），—O=lx（x—2）,x—y—2=0,A選項(xiàng)正確，

原點(diǎn)到直線/的距離為E擊3=應(yīng)，B選項(xiàng)正確.

V?—8v

由〈.一消去y并化簡(jiǎn)得f-12.1+4=0,A=144-4x4=128>0,

x-y-2=0

設(shè)4（%,3）以孫％），則%+工2=12,%電=4,

所以|"|=%+々+〃=12+4=16,C選項(xiàng)正確.

MX=（玉一2）（毛-2）=X}X2-2（X1+）+4=4-24+4=-16,

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:ABC

【例3】已知拋物線C：9=敘的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)4B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若A8中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則|A8|的最大值為8

B.若中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,則直線的傾斜角為￡

C.設(shè)N（4,0）,則14Vl的最小值為4/

D.若。人_LQB,則直線過(guò)定點(diǎn)（4,0）

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A：利用A,8,/三點(diǎn)的位置與m日,忸F|,|A@的關(guān)系及拋物線的定義求|A8|的最大值；對(duì)「

B：利用點(diǎn)A,8在拋物線上及直線的斜率公式，將斜率轉(zhuǎn)化為人，4兩點(diǎn)縱坐標(biāo)間的關(guān)系；對(duì)于C：利用點(diǎn)

4在拋物線上及兩點(diǎn)間的距離公式，將|訓(xùn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A縱坐標(biāo)的代數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求|AN|的最

小值；對(duì)于D：設(shè)直線A8的方程，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)A,8縱坐標(biāo)的一元二次方程，結(jié)合

及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解立線A3方程中的參數(shù)，確定立線A4所過(guò)的定點(diǎn)

【詳解】設(shè)4（%N），8（程為）.

對(duì)于選項(xiàng)A：若A8中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則4+/=6,

可得|M?|AF|+|BF|=XA+4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立，

所以|A目的最大值為8,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：若A8中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,則以+%=4,

v_v4

由題意可知直線AB的斜率存在，則"尺謂"八+力

XA~XB------

44

7T

所以直線川的傾斜角為.故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)《卜

當(dāng)且僅當(dāng)/=±2近時(shí)，等號(hào)成立,

所以|AN|的最小值為26，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)直線43的方程無(wú)=，強(qiáng)+〃(〃=0),

代人拋物線y~=4.r,得y~-4my-4n=0,

y.+y=

則A=16/?z2+16/2>0,可得｛'R.,

ULIUUU

因?yàn)?。人J_OB,所以04.OB=xA.xB+yAyB=(myA+n)(myB+〃)+yAyB

2

=(療+1)yAyR+mn(yA+)%)+=-4〃(〃廣+1)++ir=n-4〃=0,

因?yàn)椤ā?,解得〃=4,滿足△>(),

則直線AB的方程為戈=〃少+4,所以直線A5過(guò)定點(diǎn)(4,0),故D止確.

故選：ABD.

【跟蹤訓(xùn)練】

I.過(guò)拋物線產(chǎn)=2座（〃＞。）焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與拋物線交于A（XQJ,4&/、2）兩點(diǎn)，則說(shuō)法正確的是（）

2

A.|AB|=X1+^2+pB.yt+y2=P

II23

仁而土西二萬(wàn)D.OA.OB=--P^

【答案】ACD

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解判斷A；當(dāng)直線A/T垂比于x軸時(shí)可判斷B；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合

韋達(dá)定理計(jì)算判斷CD.

【詳解】拋物線＞=2px的焦點(diǎn)尸(多0),準(zhǔn)線為“=

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)4(%,y)，8(%,%)到焦點(diǎn)的距離分別等于其到準(zhǔn)線的距離，

.?.|AF|=x,+|jBF|=x2+1,

所以|八用=|八下|+|9?|=玉+巧t，，故A正確;

當(dāng)直線A8垂直廣工軸時(shí),

不妨設(shè)4§,P)，K(§,-p),故,+必=〃-〃=。，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)直線A8垂直于無(wú)軸時(shí)，

不妨設(shè)A(與,p),,-p),故|4月=忸尸|=〃，所以士7+"為='+'=2.

221111\AF\\BF\ppp

當(dāng)直線AB不垂直于與軸時(shí)，設(shè)直線AB:)，=%*-^),人工0,

V=k(x--}心22

聯(lián)立方程{-2,可得&2丁—p(^+2)x+j-=0,

y2=2px4

所以△=p2(k2+2)2-4k2?七/-=4p2(K+1)>0恒成立，

4

pU2+2)p2

K+%=—72—，中2=—，

K*T

pp

1I]二],]―小+耳=A+s+p

,IISX斗da+82+9砧+幺-f

P(.+2),門(mén)

公P_2〃(2女2+2)_2

P~Pp(K+2)p，-p2(2/+2)=

-4--1--2-----d1----1--4-

綜二，I4ITI+[DZ?I=-'故C正確；

\AF\\BF\p

當(dāng)自線A3垂直于4軸時(shí),不妨設(shè)A(gp),B(g-p),

2

OA-OB=xlx2+yty2P，

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，

OAOB=x}x2+y%=EQ+k(K-y)(^2-與)=(1+上?)玉/一玉+&)+

3P2

+

42k244

綜上，OAOB=-亞,故D正確.

4

故選：ACD.

2.己知點(diǎn)M（TO）在拋物線C：y2=2px（〃>0）的準(zhǔn)線上，過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)尸作直線/交C于A（3,y）、

“（馬，必）兩點(diǎn),則（）

A.拋物線C的方程是丁=4KB.xtx2=1

C.當(dāng)=時(shí)，|AB卜日

D.ZAMF=/BMF

【答案】ABD

【分析】求出P的值，可得出拋物線C的方程，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)直線，的方程為x="y+2,將該直線的

方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理求出加

的值，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出直線A用、8M的斜率之和，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線C的準(zhǔn)線方程為“=-5,

因?yàn)辄c(diǎn)M（TO）在拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線上，則一^=一1,可得〃=2,

所以拋物線C的方程為），2=4K,A對(duì):

對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線C的焦點(diǎn)為F（1,O）,

若直線/與x軸重合，此時(shí)，直線/與拋物線。只有?個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意,

所以直線/不與X軸重合，設(shè)直線/的方程為x=my+i,

fx=wy+1,-

聯(lián)立1,可得廠一4m），-4=0,A=16/n2+I6>0?則，仇=7,

,=4x

所以x.x-.==1，B對(duì)；

1'4416

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)锳尸=3尸8，即（1一芭，一乂）=3（9一1,以2），貝4一%=3、2，

因?yàn)閥+%=-2%=4M，可得必=-2m,

則K%=-3）'；=—3x（-2"『=-12m2=-4,則’

12

止匕時(shí)，|八M?％Ix2II1I/ny2I1I2?/??（y|I）?）4—4（/?I1）

J1八16小

=4x-+1=—,C錯(cuò)；

I?zJ

對(duì)于D選項(xiàng)，九二言二六,同理可得％,=券,

所以腦二f+Vrl嘿迫票

+2my2+2（+2）（my2+2）

=2,99+2（y+%）=-所+8加=0

（my+2）（my2+2）（町+4）（/佻+4）'

所以NAA/r=N8M/LD對(duì).

故選：ABD.

3.已知人（與））秋0月）是拋物線c：V=x上不同于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，點(diǎn)?是拋物線c的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正

確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為0）,

B.\AI3\=xy+x2+^

C.若。4_LO8,則直線A8經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（L。）

D.若點(diǎn)2（-2』）,以必為拋物線。的兩條切線，則直線A8的方程為“-2），—2=0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A,根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B,根據(jù)垂直關(guān)系得），g=T，

由兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線方程即可判斷C,根據(jù)切線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)求解直線方程即可求解

D.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€CV=x,故尸的坐標(biāo)為（5。）,故A正確；

由于當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，由拋物線定義可得|從川=匹+&+g，但直ZIlAB不一定過(guò)焦點(diǎn)，故R錯(cuò)誤：

若O4_LO3,故MZ+y%=()'1必)+)'[)'2=0，即)1%=T或)'M=°(舍去)，

因?yàn)橐司€A8:y=^^(%-x)+y,g|Jy=-^^2+=—+f#>'=-^-(x-1),

不一9y->2乂+%y+必y+必

故直線A8經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(LO)，故C正確；

設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-2,l)的切線方程為X=陽(yáng)()，-1)-2,聯(lián)立；；：，''一廠2=9—紗,+,〃+2=0,

所以△=>一4〃?一8=0，故〃?=2+26或〃?=2-26，所以方程的根為了=今，

故切線尸4P8方程中〃?分別為町=2+2右和㈣=2-26，故v,+%=生=2,

y%=U^=_2,

可得直線人^:丁二^^^一丁丹+,=-^―即x_2y_2=0,故D正確.

乂一必%+)'2y+M2

故選：ACD.

考點(diǎn)三：過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式

①已知AB,CD是拋物線E:J，？=2px(p>0)中過(guò)焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦，|從耳+|卬存在最小值,

且最小值為8〃.

②已知AB,CD是拋物線E:y2=2px(p>0)中過(guò)焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦,則四邊形ABCD的面積的

最小值為8P2.

【精選例題】

【例1】過(guò)拋物線CV=4x的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線4和k設(shè)直線4交拋物線C于4,B兩點(diǎn),

直線4交拋物線C于。，E兩點(diǎn),則|4邳+|。同可能的取值為()

A.18B.16C.14D.12

【答案】AB

【分析】由題意可知直線4,，2的斜率均存在且均不為0,所以不妨設(shè)4的斜率為七則4：y=A(x-i),/2：

y=-l(x-l),然后將兩直線方程分別代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出

K

兇，再利用基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知直線4，4的斜率均存在且均不為0.因?yàn)閽佄锞€。的焦點(diǎn)為-1,0)，

所以不妨設(shè)4的斜率為公則4：y=Z（x-1）,4：y=-l（x-li.

K

由’；]；：_1）消去）'得公犬-（2/+4卜+公=（）設(shè)義不），38（天,力），

2公+4c4

則mil片+々=-^=2+死?

KK

由拋物線的定義，知|陰=%+天+2=4+[同理川-得陽(yáng)=4+442,

a

I

5=即2=±1時(shí)，等號(hào)成立,

所以|4B|+|O曰=8+47-y+公＞8+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)

\k

所以卜到十|明叩6,田）,

故選:AB.

【例2】在平面直角坐標(biāo)系式。,，中，已知?jiǎng)訄AM與圓1+丁一2工=（）內(nèi)切，且與直線工=-2相切，設(shè)動(dòng)圓圓

心M的軌跡為曲線E.

⑴求曲線上的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸（1,0）作兩條互相垂直的立線與曲線E相交于A,8兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn),求四邊形AC8。的面積S的

最小值.

【答案】⑴V=4"；（2）32

【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.

y.+必=4m.

（2）設(shè)直線的方程為x=〃“+l,〃?￥0,聯(lián)立方程組得」2,，再利用拋物線的的性質(zhì)求|4碼,

加二-4，

同理求|CD|,最后利用基本不等式求解即可.

【詳解】3）設(shè)圓M的半徑為小圓丁+丁-21=0的圓心網(wǎng)1,0）,半徑為1,

因?yàn)閳AV與圓”內(nèi)切，且與直線工=-2相切,

所以圓心用到直線x=-2的距離為〃，因此圓心M到直線x=-l的距離為一1，且叱=一1，

故圓心M到點(diǎn)F的距離與到直線x=-l的距離相等，

據(jù)拋物線的定義，曲線E是以b（1,0）為焦點(diǎn)，直線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線E的方程為）？=4x.

（2）設(shè)直線A8的方程為x=m.V+l,〃?工0,A（5,yj,鞏三,力）.

聯(lián)立方程組TT+“整理得V-4〃少-4—0,故M+%=4M,

_y=4x,y.義=-4,

所以AB=AF+BF=X]+1+x2+1=my]+1+1+my2+1+1

=+”）+4=4>+4.

因?yàn)锳BJ_C。，直線CD的方程為工=一,丁+1,

m

4

同理可得CO=r+4.

m

同？以5=：ABCO=；（4〃?2+4）.（3+4、=82+m2+—

>82+2=32,

X/

當(dāng)且僅當(dāng)加=」r，即m=±l時(shí),取等號(hào).

所以四邊形A8CZ）面枳S的最小值為32.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知尸為拋物線C:），2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)”作兩條互相垂直的直線乙，3直線乙與C交于4.8兩點(diǎn)，宜

線（與。交于。，￡兩點(diǎn)，則|A四+|3￡|的最小值為

【答案】16

【分析】設(shè)直線4方程，由兩直線垂直可得〃方程，聯(lián)立工與拋物線方程可得根與系數(shù)關(guān)系式，利用弦長(zhǎng)公

式可得卻表達(dá)式，同理可得目的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,焦準(zhǔn)距P=2,

過(guò)F作兩條互相垂直的直線乙，￡直線4與。交于A，8兩點(diǎn)，直線6與C交于D,E兩點(diǎn),

則4，4的斜率都存在且不為0，

故設(shè)《:），=&（X一1）,則直線設(shè)人（不）。3（七》2），。（不通），七（七》4），

K

），2=4t

聯(lián)立《則一（2*+4）x+X=。'A=16（公+1）＞。.

y=A（x-l）'7

2芻+4

則再+公=當(dāng)*,同理七+a=號(hào)一，

K一一，

k2

2*2+44

故|A81=內(nèi)+9+〃=---5~+2=4+—y,

kk

會(huì)+4

同理可得181=/+七+〃=^7—+2=4+4/,

^|AB|+|D￡|=8+4(^+-^-)^8+4x2

=16?

k

當(dāng)且僅"=看即修時(shí)等號(hào)成立,

故|崗+|力耳的最小值為16.

2.已知拋物線）」=4工其焦點(diǎn)為人若互相垂直的直線機(jī)，”都經(jīng)過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相

交于A,8兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，則四邊形A3CD面積的最小值為.

【答案】32

【詳解】

依題意知，直線〃?，〃的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為y=to-i）,

與拋物線方程聯(lián)立，得（V-D,

y~=4x

消去兒整理得公三-（2二+4打+產(chǎn)=0,設(shè)其兩根為和幾，

4

則芻+4=溟+2?

4

由拋物線的定義可知，|48|=2+七+/=7T+4,

同理可得181=4^+4,

二.四邊形A8CO的面積5=；（4/+4）（3+4]=8（2+/+5]232.

2/\K）

而且僅當(dāng)攵=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)所求四邊形A8C。面積的最小值為32.

考點(diǎn)四：拋物線中點(diǎn)弦求斜率秒殺公式

設(shè)直線/與拋物線產(chǎn)=2〃文相交所得的弦48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（為,先），則心8=上

X）

【精選例題】

【例1】已知拋物線V=2px的一條弦AB恰好以點(diǎn)21,1）為中點(diǎn)，弦AB的長(zhǎng)為岳，則拋物線的準(zhǔn)線方程

為（）

13

A.x=——B.x=-1C.x=——D.x=-2

22

【答案】B

【分析】設(shè)A（%,y）,8（4%），得到％+W=2,y+%=2,結(jié)合“點(diǎn)差法”求得％=〃，得到直線48的方

程為y=p（x-i）+i,聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，列出方程，求得P=2,進(jìn)而求得拋物線的堆線方程.

【詳解】設(shè)A（X，X）,8區(qū)M），弦A8所在直線方程為y=AQT）+l，

則百+々=2,，+%=2,

也點(diǎn)A,8在拋物線丁=2/*上，可得,

［y2=?p&

兩式相減可得（y+%）（）［-必）=2〃（百一/），所以”=〃，即〃=〃，

X\~X2

所以弦AB所在直線的方程為廣風(fēng)?1）+1,

聯(lián)立方程組[)：41)+1,整理得/"-2P2工+(1_pf=o,

y-=2px

可得X]+々=2,xx0=--2，

p~

所以IAB|=J1+//八『+工2『-4工也=J1+P*?小2二一4X."二,)-=V15,

4/

所以一T(l+〃B(2p-l)=15,BP8P3-I9/72+8/2-4=0,

可得(〃—2)(8/-3〃+2)=0,解得p=2,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為戶(hù)-1.

【例2】直線），=履-2與拋物線）J=8x交于兩點(diǎn)，A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則々為（）

A.-1B.2C.-I或2D.以上都不是

【答案】B

r2

【分析】設(shè)得到當(dāng)+演=4,求得y+刀=4&-4,再由）廣，',兩式相減，得到

［必=8.

9'=；T^T，得出方程及=±，即可求解.

七一%Ji+>24A-4

【詳解】設(shè)因?yàn)锳8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則須+々="

可得+X=%（N+工2）-4=4女-4,

又由兩式相減得到（必一）1）（,+%）=8*2-入），可得上）=-^—，

y>2=8x,XI-X\>I+>2

Q

可得&二TAT，解得％=-1或攵=2，

4k-4

y=loc-2

聯(lián)立方程組〈2Q，整理得&22一（4&+8）工+4=0,

y=8x

由A=（4%+8）2-16%2=64左+64>0,解得%>-1,所以&=2.

故選:B.

【例3】直線/過(guò)拋物線），=4x的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則0到直線A8的距離為（）

A.巫B.拽C.6D.-

555

【答案】A

【分析】設(shè)A（.』,y）,網(wǎng)$,），2）,代入拋物線方程，兩式相減后結(jié)合線段A8中點(diǎn)的縱坐標(biāo)得出L，再結(jié)

合焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)得出直線A8的方程，由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可.

【詳解】由拋物線由=4x得焦點(diǎn)尸（1,0）,

設(shè)A（5,y）,8（毛,%）,則"二”,

y-i=4與

兩式相減得火-￥=40-電），即濘1

xix2y十）2

因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為I,即y+M=2,

所以導(dǎo)=2,即勤=2,

所以直線A3的方程為y=2（x-l）,即24-y-2=0,顯然此時(shí)直線與拋物線有兩交點(diǎn),

|-2|2亞

所以O(shè)到直線A/3的距曲4=

故選:A.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知直線/與拋物線C：y=2,d相交于4B兩點(diǎn)，若線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,則直線/的方程為（）

A.4x-y=0B.2x-y=0

C.8x-y-6=0D.x-2y+3=0

【答案】A

【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)4（5,）1）,8（孫必），

由；二;;得:必=2（片一名）=2（芭+再）（西一刈）,

,線段48的中點(diǎn)為（1,4）,工。，玉+七=2,

.?.』二2=2（斗+看）=4,即直線！的斜率為4,

%一馬

「?直線/的方程為：y-4=4（x-l）,即4x-y=0.

故選：A.

2.已知拋物線丁=2/沈（〃＞。）的焦點(diǎn)為尸，第一象限的A、A兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足忸F|-|A目=4,

|^|=4&.若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為.

【答案】y2=8x

【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到入居的關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解出h8,結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式以及點(diǎn)在

拋物線上求解出P的值，則拋物線方程可求.

【詳解】設(shè)4（冷兒）,8（』,力）,

因?yàn)槎?4,

所以卜2+5卜1+9=4,所以與一芭二4,

又因?yàn)閨A8|=加高'|內(nèi)-司=4及，所以心二1,

因?yàn)锳ZT都在第?象限，所以頷“=1,

kJ-y_力f_2P一]

AIi

又因?yàn)閤2-x{yl__y[_j,+y2且乂+乃=4*2=8,

2P2p

所以2〃=8,所以〃=4,所以拋物線方程為V=8x,

故答案為：丁=也.

3.已知拋物線C：），2-4X,過(guò)點(diǎn)P（l,l）的直線交拋物線。于4Z?兩點(diǎn)，若尸為/W的中點(diǎn)，則直線/W的方

程為.

【答案】y=2x-l

【分析】設(shè)出A,8的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再

利用點(diǎn)斜式方程即可得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)A（x，yJ,8（%,%），由題意

因?yàn)锳,3在拋物線上，所以），；=4占，為