2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，若集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，若恒成立，則k的最小值為（

）A．9 B．8 C．－1 D．－23．已知奇函數(shù)的定義域為，且函數(shù)圖象關(guān)于對稱．當(dāng)時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-24．已知函數(shù)，若方程恰有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點，則（

）A． B． C． D．36．甲、乙兩人玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方式操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)兩個奇數(shù)點朝上或兩個偶數(shù)點朝上，則把乘以2后再減去6，如果出現(xiàn)一個奇數(shù)點朝上，一個偶數(shù)點朝上，則把除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實數(shù)．對實數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當(dāng)時，甲獲勝，否則乙獲勝．若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．7．已知向量，且，則實數(shù)的值是（）.A．1 B． C．4 D．8．如圖1，“六芒星”由兩個全等的正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點A，B是“六芒星”（如圖2）的兩個頂點，動點P在“六芒星”上（包含內(nèi)部以及邊界），若，則x＋y的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（多選）下列命題為真命題的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的充要條件10．若正整數(shù)的公約數(shù)只有1，則稱互質(zhì).設(shè)為正整數(shù)，則函數(shù)表示小于或等于且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，例如，.函數(shù)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù).下列關(guān)于歐拉函數(shù)的命題正確的是（

）A． B．C． D．11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知是內(nèi)一點，、、的面積分別為、、，且.則下列說法正確的是（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，則D．若為的內(nèi)心，且，則三、填空題12．已知函數(shù)，若恒成立，其中，則的取值范圍是．13．已知某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試．在每一次報名中，每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒有通過，則需要重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費．某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為．現(xiàn)有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止．則這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率為，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率為．14．已知（且）是指數(shù)函數(shù)，若“，不等式恒成立”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題15．已知二次函數(shù)．(1)若的解集為，求ab的值；(2)解關(guān)于x的不等式．16．已知函數(shù)對任意的實數(shù)m，n，都有，且當(dāng)時，有．(1)求的值；(2)求證：在R上為增函數(shù)；17．已知正項數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．18．對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意的，均有，則稱與在上是接近的．否則稱與在上是非接近的．現(xiàn)有兩個函數(shù)與（，），給定區(qū)間．(1)若與在給定區(qū)間上都有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)討論與在給定區(qū)間上是否是接近的．19．對于給定的正整數(shù)，記集合，其中元素稱為一個維向量.特別地，稱為零向量.設(shè)，，定義數(shù)乘和加法：.對一組向量，若存在一組不全為零的實數(shù)，使得，則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱這組向量線性無關(guān).(1)對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由；（?。?；（ⅱ）；（ⅲ）.(2)已知線性無關(guān)，判斷是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由；(3)已知個向量線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明：（ⅰ）如果存在等式，則這些系數(shù)或者全為零，或者全不為零；（ⅱ）如果，其中，則

題號12345678910答案CCBDCAACBDAC題號11答案ABD1．C由補集的概念即可求解.【詳解】由題意，若集合，則.故選：C.2．C用“1”的代換及基本不等式求得的最小值為9，解不等式，求出范圍得最值.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，解得，所以的最小值為.故選：C.3．B利用奇函數(shù)以及對稱性求出函數(shù)周期為，所以，即可求解.【詳解】因為函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以的周期為8，所以，而，又因為當(dāng)時，，所以，即，所以.故選：B.4．D根據(jù)已知研究、的性質(zhì)并畫出它們的大致圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合研究交點個數(shù)求參數(shù)范圍即可.【詳解】由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，當(dāng)直線與曲線相切時，聯(lián)立得，令，得，依題意，作出與的圖象，如圖所示，由圖知，①當(dāng)時，且，函數(shù)的圖象與的圖象無交點，不滿足題意，②當(dāng)時，且，函數(shù)的圖象與的圖象僅交于點，不滿足題意，③當(dāng)時，若時，若時，要使方程恰有2個不同的實數(shù)根，則的圖象與軸的交點在點左側(cè)，只需，，而時有3個不同實根，時有4個不同實根，④當(dāng)時，由上函數(shù)的圖象與的圖象有3個交點，不滿足題意，⑤當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，滿足題意，綜上，的取值范圍為．故選：D5．C由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點坐標(biāo)，即可得.【詳解】令，得，此時，所以定點P的坐標(biāo)為，即，，所以.故選：C6．A由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，得出的所有可能情況，根據(jù)甲勝的概率，列出關(guān)于的不等式組，即可求解.【詳解】由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，的結(jié)果有四種，分別為，，且每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，因為甲獲勝的概率為，所以的四種結(jié)果中有三種大于，一種不大于，又一定大于，所以和中的一個大于，另一個不大于，即或，整理得或.故選：A．7．A由向量平行的坐標(biāo)關(guān)系列式計算可得結(jié)果.【詳解】由，則有，解得.故選：A8．C討論幾種特殊情況時的值，再利用圖形的對稱性即可得解.【詳解】要求x＋y的范圍，只需考慮圖中6個向量的情況即可，討論如下：(1)若P在A點，因為，所以；(2)若P在B點，因為，所以；(3)若P在C點，因為，所以；(4)若P在D點，因為，所以；(5)若P在E點，因為，所以；(6)若P在F點，因為，所以.所以的最大值為，根據(jù)對稱性，可知的最小值為，故的取值范圍是.故選：C.9．BD根據(jù)充分條件、必要條件與充要條件的定義逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，當(dāng)時，，但是，故必要性不成立，所以A錯誤；選項B，當(dāng)時，一定成立，故充分性成立，當(dāng)時，，故必要性不成立，所以B正確；選項C，當(dāng)時，，所以充分性不成立，所以C錯誤；選項D，當(dāng)時，，即，所以，充分性成立，當(dāng)時，，必要性成立，所以D正確．故選：BD.10．AC對于AC：利用歐拉函數(shù)定義求解判斷；對于BD：舉反例說明即可.【詳解】因為小于或等于5的正整數(shù)中與5互質(zhì)的正整數(shù)為1，2，3，4，小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的正整數(shù)為1，3，7，9，所以，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；因為小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的正整數(shù)為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共16個，所以，故C正確；因為當(dāng)時，，故D錯誤，故選：AC.11．ABD根據(jù)重心的性質(zhì)推導(dǎo)出，結(jié)合重心的定義可判斷A選項；由“奔馳定理”結(jié)合平面向量的線性運算可判斷BC選項；推導(dǎo)出，可得出為直角，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，取線段的中點，連接，則，所以，，即，故、、三點共線，分別取線段、的中點、，連接、，同理可證、、三點共線，、、三點共線，則為的重心，因此，若，則為的重心，A對；對于B選項，若，由“奔馳定理”可得，所以，，所以，，故，B對；對于C選項，若，即，即，即，又，不共線，所以，所以由“奔馳定理”可得，C錯；對于D選項，若為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，因為，則，故，設(shè)，則，，則，故為直角，所以，，D對.故選：ABD.12．【詳解】易知函數(shù)圖象如圖所示，因為，所以函數(shù)圖象即為函數(shù)圖象左移個單位長度，

當(dāng)曲線與直線相切時，令，即，則，解得：，故，恒成立時，由圖像可知，.故答案為：.13．①“丈夫在科目二考試中第i次通過”記為事件（，2，3，4，5），“妻子在科目二考試中第i次通過”記為事件，記事件“丈夫參加科目二考試不需要交補考費”，事件“妻子參加科目二考試不需要交補考費”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費”，先利用對立事件的概率、互斥事件的加法結(jié)合獨立事件的乘法公式求得，，再由利用獨立事件的乘法公式計算即得；②記事件“丈夫參加科目二考試需交補考費200元”，事件“妻子參加科目二考試需交補考費200元”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元”，先由，利用對立事件的概率結(jié)合獨立事件的乘法公式求得，，再由利用互斥事件的加法和獨立事件的乘法計算即得答案.【詳解】這對夫妻中，“丈夫在科目二考試中第i次通過”記為事件（，2，3，4，5），“妻子在科目二考試中第i次通過”記為事件，則，．記事件“丈夫參加科目二考試不需要交補考費”，事件“妻子參加科目二考試不需要交補考費”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費”，則，，．記事件“丈夫參加科目二考試需交補考費200元”，事件“妻子參加科目二考試需交補考費200元”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元”，則，，．因此這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率為．故答案為：；．14．根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參數(shù)，得，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由函數(shù)的單調(diào)性有在上恒成立，判斷左側(cè)單調(diào)性，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義得，又且，所以，，則．“，不等式能成立”為假命題，則“，不等式恒成立”為真命題．注意到，所以不等式在上恒成立．又在R上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立．設(shè)函數(shù)，，由，得，所以單調(diào)遞增，則，即，解得，所以．故答案為：15．(1)3(2)答案見解析（1）由題意可知1，b是方程的根，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得答案.（2）求出的兩根，分類討論a的范圍，根據(jù)兩根的大小，即可求得答案.【詳解】（1）若的解集為，則1，b是方程的根，由，解得：，由解得：，所以；（2）由二次函數(shù)知，不等式整理得，即，由得①當(dāng)時，不等式等價于：，若，即時，解集為；若，即時，解集為：；若，即時，解集為；②當(dāng)時，不等式等價于：，解集為綜上，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．16．(1)(2)證明見解析（1）利用賦值法，求；（2）設(shè)，是上任意兩個實數(shù)，且，令，，通過函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明在R上為增函數(shù).【詳解】（1）由，故此令，則，則.（2）設(shè)，是R上任意兩個實數(shù)，且，令，，則，所以，由得，所以，故，即，故此函數(shù)為R上增函數(shù).17．(1)(2)證明見解析（1）利用數(shù)列前項和與的關(guān)系，再結(jié)合首項的值確定通項即可；（2）法一：直接放縮法，利用即可證出；法二：由可得，即可證明不等式.【詳解】（1）因為為正項數(shù)列，①，當(dāng)時，得；當(dāng)時，②，①－②得，，得．所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）解法1：因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時也符合，所以原不等式成立．解法2：因為，所以，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，不等式的左邊也符合，所以原不等式成立．18．(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由一次函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，欲使，則即可，故，得到，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．（2）構(gòu)造函數(shù)，對于函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)得上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)．由于，得，所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，若與在給定區(qū)間上是接近的，只需保證，可得，解得，綜上所述，當(dāng)時，與在區(qū)間上是接近的，當(dāng)時，與在區(qū)間上是非接近的．19