蘇教七年級下冊期末復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)必考知識點真題經(jīng)典及解析一、選擇題1．下列運算正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，直線EF與直線AB，CD相交．圖中所示的各個角中，能看做∠1的內(nèi)錯角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．已知關(guān)于，的方程組，給出下列說法：①當時，方程組的解也是方程的一個解；②當時，；③不論取什么實數(shù)，的值始終不變；④若，則以上四種說法中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．44．下列各式從左到右的變形是因式分解為（）A．B．C．D．5．已知關(guān)于的不等式組的解集為，則的值為A．1 B． C．2 D．6．下列命題是真命題的是(

)A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 B．若，則C．如果，那么 D．平行于同一直線的兩直線平行7．古希臘著名的畢達哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A． B．C． D．8．如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（）A． B． C． D．二、填空題9．計算：﹣xy?5x3＝________．10．命題“互補的兩個角不能都是銳角”是__________命題（填“真”或“假”）．11．如圖，小林從P點向西直走8米后，向左轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動的角度為α，再走8米，如此重復(fù)，小林共走了72米回到點P，則α為_____．12．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對于多項x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是_____（寫出一個即可）．13．關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，則k的值為___．14．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，點P為直線AB上的一動點，連接PC，則線段PC的最小值是______________15．如果一個正多邊形的每個內(nèi)角都是150°，那么這個多邊形的內(nèi)角和為______．16．如圖，若AD是△ABC的BC邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，∠C＝42°，∠BAE＝15°，則∠DAB＝_______°17．計算：（1）（2）18．因式分解：（1）（2）19．解方程組：（1）（2）20．解不等式組：，并寫出滿足條件的所有整數(shù)解．三、解答題21．已知：如圖，點B，E分別在直線AC和DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D求證：∠A＝∠F證明：∵∠AGB＝∠EHF（已知）∠AGB＝∠FGD（）∴∠EHF＝（等量代換）∴DB∥EC（）∴∠＝∠DBA（）∵∠C＝∠D∴（）∴∥（）∴∠A＝∠F（）22．甲乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費；在乙商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費．（1）曹碾同學(xué)想購買一個80元的球，李彤同學(xué)想買30元的洗滌液，通過計算說明曹碾和李彤同學(xué)在這兩家商場購買兩樣?xùn)|西花費最多是多少元？最少是多少元？（2）王燦同學(xué)想在這兩家商場購買多于100元的商品，請你幫他設(shè)計一下購買方案，使得花費最少．23．某車行經(jīng)營A，B兩種型號的電瓶車，已知A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和2500元．（1）該車行去年A型車銷售總額為8萬元，今年A型車每輛售價比去年降低200元，若今年A型車的銷售量與去年相同，則A型車銷售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車的售價．（2）今年第三季度該車行計劃用3萬元再購進A，B兩種型號的電瓶車若干輛，問：①一共有幾種進貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車的利潤率為24%，①中哪種方案利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＝售價﹣成本，利潤率＝利潤÷成本×100%）．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．(1)如圖①，當AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．25．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關(guān)系．【參考答案】一、選擇題1．D解析：D【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方逐項排查即可．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、（-2a2）3=（-2）3a2×3=-8a6，故D正確；故選D．【點睛】本題主要考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．2．B解析：B【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．根據(jù)內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”形判斷即可．【詳解】解：由圖可知：能看作∠1的內(nèi)錯角的是∠3，故選：B．【點睛】本題主要考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．3．D解析：D【分析】利用二元一次方程的解及方程組的解定義判斷即可．【詳解】解：①當時，方程組的解為：，也是方程的一個解，符合題意；②關(guān)于，的方程組的解為：，當時，，符合題意；③不論取什么實數(shù)，的值始終不變，符合題意；④當時，方程組的解為：，則，符合題意．所以以上四種說法中正確的有4個．故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．4．D解析：D【分析】把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫因式分解，根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【詳解】A.，屬于整式的乘法運算，故本選項錯誤；B.，屬于整式的乘法運算，故本選項錯誤；C.左邊和右邊不相等，故本選項錯誤；D.，符合因式分解的定義，故本選項正確；故選：D【點睛】此題考查了因式分解的定義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．5．A解析：A【分析】求出不等式組的解集，再根據(jù)題目已知的解集，確定關(guān)于a的一元一次方程，求得a的值．【詳解】解不等式，得：，解不等式，得：，所以不等式組的解集為，不等式組的解集為，，解得，故選：A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．6．D解析：D【解析】分析:分析是否為真命題,需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論,從而利用排除法得出答案.詳解:A.∵同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，故是假命題；B.∵若，則，故是假命題；C.∵-1>-2滿足，但，故是假命題；D.∵平行于同一直線的兩直線平行，故是真命題；故選D.點睛:此題主要考查命題的真假判斷,正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.7．C解析：C【分析】根據(jù)給定的部分“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”找出“三角形數(shù)”可看成從1開始幾個連續(xù)自然數(shù)的和以及“正方形數(shù)”可看成某個自然數(shù)的平方，依此規(guī)律逐一分析四個選項中的三個數(shù)是否符合該規(guī)律，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、13不是正方形數(shù)，不合題意；B、9和16不是三角形數(shù)，不合題意；C、36=62=（5+1）2，n=5；兩個三角形的數(shù)分別是：1+2+3+4+5=15；1+2+3+4+5+6=21；故C符合題意；D、18和31不是三角形數(shù)，不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)給定的部分“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”找出“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”的特點是解題的關(guān)鍵．8．C解析：C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．二、填空題9．﹣5x4y【分析】應(yīng)用單項式乘單項式乘法法則進行計算即可得出答案．【詳解】解：原式＝﹣5x4y．故答案為：﹣5x4y．【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握單項式乘以單項式的計算法則.10．真【解析】【分析】利用互補的定義和銳角的定義進行判斷后即可得到正確的答案．【詳解】解：根據(jù)銳角和互補的定義得出，互補的兩個角不能都是銳角，此命題是真命題，故答案為：真．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解互補的定義及銳角的定義，難度不大．11．40°【分析】根據(jù)題意可知,小林每次走的角度為α,即走的是正多邊形,可根據(jù)已知條件求出邊數(shù),然后再利用外角和等于360°,除以邊數(shù)即可求出α的值．【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n,根據(jù)題意,n=72÷8=9,則α=360°÷9=40°．故答案為：40°．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和等于360°,根據(jù)題意判斷出所走路線是正多邊形是解題的關(guān)鍵．12．104020【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），當x=10，y=10時，密碼可以是10、40、20的任意組合即可．【詳解】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），當x=10，y=10時，密碼可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．【點睛】本題考查的是因式分解，分解后，將變量賦值，按照因式組合即可．13．1【分析】先用含k的式子表示x、y，根據(jù)方程組的解也是二元一次方程2x+y=16的解，即可求得k的值．【詳解】解：解方程組得：，因為方程組的解也是二元一次方程2x+y=16的解，所以14k+2k=16，解得k=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、二元一次方程的解，解決本題的關(guān)鍵是用含k的式子表示x、y．14．C解析：12【分析】作CP⊥AB于P，根據(jù)垂線段最短可知此線段PC就是最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出PC即可．【詳解】解：作CP⊥AB于P，如圖：由垂線段最短可知，此時PC最小，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，解得，PC＝12，故答案為：12．【點睛】本題考查的是三角形的面積公式、垂線段最短．解題的關(guān)鍵是熟知垂線段最短的性質(zhì)．15．1800°【分析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可列出方程求解．【詳解】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，依題意可得解得n=12∴這個多邊形的內(nèi)角和為故答案為：1800°．【點睛解析：1800°【分析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可列出方程求解．【詳解】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，依題意可得解得n=12∴這個多邊形的內(nèi)角和為故答案為：1800°．【點睛】此題主要考查多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形內(nèi)角和公式．16．18【分析】先由三角形的高和內(nèi)角和求出∠DAC，然后由角平分線得出∠BAC，從而計算即可得到答案．【詳解】解：∵AD是△ABC的BC邊上的高，∠C＝42°，∴∠DAC=180°-90°-4解析：18【分析】先由三角形的高和內(nèi)角和求出∠DAC，然后由角平分線得出∠BAC，從而計算即可得到答案．【詳解】解：∵AD是△ABC的BC邊上的高，∠C＝42°，∴∠DAC=180°-90°-42°=48°，∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAC=2∠BAE=15°×2=30°，∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=48°-30°=18°，故答案為：18．【點睛】本題主要考查了三角形的高和角平分線的內(nèi)容，注意三角形的內(nèi)角和是180°，以及三角形的高和角平分線的性質(zhì)即可解答．17．（1）；（2）9【分析】（1）根據(jù)冪的乘方和積的乘方法則計算，再合并同類項；（2）根據(jù)零指數(shù)冪，乘方和負指數(shù)冪法則計算，再作加減法．【詳解】解：（1）==；（2）==9【點睛】解析：（1）；（2）9【分析】（1）根據(jù)冪的乘方和積的乘方法則計算，再合并同類項；（2）根據(jù)零指數(shù)冪，乘方和負指數(shù)冪法則計算，再作加減法．【詳解】解：（1）==；（2）==9【點睛】本題考查了整式的混合運算，實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．18．（1）；（2）【分析】（1）由平方差公式法因式分解計算即可求得．（2）先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式法因式分解計算即可求得．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．【點睛】此題考查了因式解析：（1）；（2）【分析】（1）由平方差公式法因式分解計算即可求得．（2）先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式法因式分解計算即可求得．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．19．（1）；（2）【分析】（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）方程組整理后，先求解y，代入求解x即可．【詳解】解：（1），①×3-②得：，解得：，代入①中，解得：，∴方程組的解為解析：（1）；（2）【分析】（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）方程組整理后，先求解y，代入求解x即可．【詳解】解：（1），①×3-②得：，解得：，代入①中，解得：，∴方程組的解為：；（2）方程組整理得：，解②得：，代入①中，解得：，∴方程組的解為：．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．20．，整數(shù)解是、0【分析】先求出每個不等式的解集，然后求出不等式組的解集，最后求不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解不等式組：解不等式①得；解不等式②得．因此，原不等式組的解集為，∴滿足條件解析：，整數(shù)解是、0【分析】先求出每個不等式的解集，然后求出不等式組的解集，最后求不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解不等式組：解不等式①得；解不等式②得．因此，原不等式組的解集為，∴滿足條件的所有整數(shù)解是、0．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組和求不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式的方法．三、解答題21．對頂角相等；∠FGD；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同位角相等；∠D＝∠DBA，等量代換；DF，AC，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)已知條件和對頂角相等可得解析：對頂角相等；∠FGD；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同位角相等；∠D＝∠DBA，等量代換；DF，AC，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)已知條件和對頂角相等可得∠EHF=∠FGD，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】∵∠AGB=∠EHF（已知），又∠AGB=∠FGD（對頂角相等），∴∠EHF=∠FGD（等量代換），∴DB∥EC（同位角相等，兩直線平行），∴∠C=∠DBA（兩直線平行，同位角相等），∵∠C=∠D，∴∠D=∠DBA（等量代換），∴DF∥AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠A=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：對頂角相等；∠FGD；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同位角相等；∠D=∠DBA，等量代換；DF，AC，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及對頂角相等，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（1）最多是110元，最少是107元；（2）見解析【分析】（1）分曹碾和李二購買商品的費用分開計算和合并計算兩種情況討論即可；（2）分三種情況討論，列出一元一次不等式或一元一次方程，即可求解．解析：（1）最多是110元，最少是107元；（2）見解析【分析】（1）分曹碾和李二購買商品的費用分開計算和合并計算兩種情況討論即可；（2）分三種情況討論，列出一元一次不等式或一元一次方程，即可求解．【詳解】解：（1）①兩人購買的商品分開計算，在甲商場：曹碾花費50＋30×95%＝50＋28.5＝78.5（元），李彤花費30元，∴共計花費78.5＋30＝108.5元在乙商場：曹碾花費80元，李彤花費30元，∴共計花費80＋30＝110元；②兩人購買的商品合并計算，在甲商場：50＋（110?50）×95%＝50＋57＝107（元），在乙商場：100＋（110?100）×90%＝100＋9＝109（元）．綜上，曹碾和李彤同學(xué)在這兩家商場購買兩樣?xùn)|西花費最多是110元，最少是107元；（2）甲商場購物花費為[50＋0.95（x?50）]元，乙商場購物花費為[100＋0.9（x?100）]元，①若到甲商場購物花費少，則100＋0.9（x?100）＞50＋0.95（x?50），解得：x＜150，②若到乙商場購物花費少，則100＋0.9（x?100）＜50＋0.95（x?50），解得：x＞150，③若到甲，乙商場購物花費一樣多，則100＋0.9（x?100）＝50＋0.95（x?50），解得：x＝150，答：當100＜x＜150時，到甲商場購物花費少，當x＝150時，到甲，乙商場購物花費一樣多，當x＞150時，到乙商場購物花費少．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，依題意列出相關(guān)的式子進行求解．本題涉及方案選擇時應(yīng)與方程或不等式聯(lián)系起來．23．（1）去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①一共有3種進貨方案；②方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【分析】（1）設(shè)去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元解析：（1）去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①一共有3種進貨方案；②方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【分析】（1）設(shè)去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合今年A型車的銷售量與去年相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)購進A型車m輛，B型車n輛，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各進貨方案；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，即可分別求出選擇各方案的總利潤，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，依題意得：＝，解得：x＝2000，經(jīng)檢驗，x＝2000是原方程的解，且符合題意．答：去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①設(shè)購進A型車m輛，B型車n輛，依題意得：1500m＋2500n＝30000，∴m＝20?n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴一共有3種進貨方案，方案1：購進A型車15輛，B型車3輛；方案2：購進A型車10輛，B型車6輛；方案3：購進A型車5輛，B型車9輛．②選擇方案1的利潤為（2000?200?1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；選擇方案2的利潤為（2000?200?1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；選擇方案3的利潤為（2000?200?1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）①找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，求出選擇各方案的總利潤．24．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，解析：(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，再由根據(jù)角的和差計算即可得∠C的度數(shù)，進而得∠B的度數(shù)．②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴