上海田林第二中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．某數(shù)學(xué)興趣小組在探究函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象和性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了以下探究過(guò)程：（1）列表（完成下列表格）．x…﹣3﹣2﹣1﹣0123…y…632236…（2）描點(diǎn)并在圖中畫出函數(shù)的大致圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，完成以下問(wèn)題：①觀察函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象，以下說(shuō)法正確的有（填寫正確的序號(hào)）A．對(duì)稱軸是直線x＝1；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2）；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到．②結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m滿足時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解．③設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象與其對(duì)稱軸相交于P點(diǎn)，當(dāng)直線y＝n和函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)P所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．2．如圖1，點(diǎn)EF在直線l的同一側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交直線L于點(diǎn)K，則點(diǎn)K即為所求．（1）（實(shí)踐運(yùn)用）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．①求該拋物線的解析式；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PC的最小值．（2）（知識(shí)拓展）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．3．基本模型如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．（1）模型拓展：如圖2，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE∽△BCF；（2）拓展應(yīng)用：如圖3，AB是半圓⊙O的直徑，弦長(zhǎng)AC=BC=4，E，F(xiàn)分別是AC，AB上的一點(diǎn)，若∠CFE=45°．若設(shè)AE=y，BF=x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）拓展提升：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系柳中，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6）與x軸交于點(diǎn)A，C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸交線段BC于點(diǎn)E，探求線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中遇到這樣一個(gè)函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時(shí)，[x]＝x2﹣1；若x＜0時(shí)，x＝﹣x+1．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行了探究．（1）下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)正確的是；（填序號(hào)）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；③當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第三象限．（2）①在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)圖像；②若關(guān)于x的方程2x+c＝[x]有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出c的取值范圍是；（3）若點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y＝x﹣3圖像上，且﹣＜[a]≤2，則b的取值范圍是．5．綜合與探究如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BC的表達(dá)式；（2）如圖2，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，依次連接BM，，，NB，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，連接交直線BC于點(diǎn)D，連接，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△的面積為，△PBD的面積為，求的最大值．6．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線L的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與拋物線L關(guān)于直線對(duì)稱，P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線與點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N．試探究是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線的圖象交x軸于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作的角平分線，交對(duì)稱軸于交點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)F是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)O和點(diǎn)B重合，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與的重疊部分為，請(qǐng)?zhí)骄浚谧鴺?biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使以點(diǎn)D、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系．9．已知函數(shù)，某興趣小組對(duì)其圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究，請(qǐng)補(bǔ)充完整探究過(guò)程．…－3－2－112345……－6－22－2－1－2…（1）請(qǐng)根據(jù)給定條件直接寫出的值；（2）如圖已經(jīng)畫出了該函數(shù)的部分圖像，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，補(bǔ)充該函數(shù)圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．10．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)A點(diǎn)的直線l：y=kx+n與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=﹣x2+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P點(diǎn)為拋物線y=﹣x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)．（1）直接寫出拋物線和直線l的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，連接PA、PD，①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是；②當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)．（3）設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、中考幾何壓軸題11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．12．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過(guò)許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問(wèn)題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．愛好思考的小明在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長(zhǎng)．14．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時(shí)，提出了以下幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使，以點(diǎn)為因心，長(zhǎng)為半徑作園，則對(duì)于上任一點(diǎn)，都有，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論：[問(wèn)題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時(shí)的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時(shí)的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時(shí)間相等請(qǐng)?jiān)诤舆吷洗_定碼頭的位置．(請(qǐng)畫出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)15．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說(shuō)明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長(zhǎng)16．如圖，在中，，，，為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．17．綜合與實(shí)踐動(dòng)手實(shí)踐：一次數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，張老師將等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點(diǎn)在邊上，連接．則可證：______，______三點(diǎn)共線；發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當(dāng)______時(shí)，為的6倍（直接寫結(jié)果，不要求證明）．18．（問(wèn)題情境）（1）如圖1，在矩形ABCD中，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，設(shè)AD與CE相交于點(diǎn)F，那么AC與DE的位置關(guān)系為．（類比探究）（2）如圖2，若四邊形ABCD為平行四邊形，上述“問(wèn)題情境”中的條件不變，①猜想AC與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)∠B與∠ACB滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△ABC∽△FEA？請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，?ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“問(wèn)題情境”中的條件不變，當(dāng)△AEC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)為．19．綜合與實(shí)踐（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)就圖②說(shuō)明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CF為最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．20．（1）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F，G．則_______．（2）類比探究：如圖2，把上題中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；通過(guò)以上兩例探索，請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于與的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論：_________________；（3）拓展延伸：如圖3，若以正方形的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)正方形的中心為P，平面上一點(diǎn)F到P的距離為．①直接寫出的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；并探索是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．B解析：（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象；（3）①結(jié)合圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)即可求解；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可解答；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，由此即可求解．【詳解】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式得：y＝，3，；故答案為，3，；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象如下：（3）①A．對(duì)稱軸是直線x＝0，故錯(cuò)誤；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2），故正確；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)在y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，正確；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到，正確；故答案為：B、D、E；②從圖象看，2＜m＜3時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，點(diǎn)P和圖象上的點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，即n＝2或6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．【詳解】分析：（1）①由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可將拋物線的解析式變形為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，此題得解；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱可得出連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱軸為直線x=1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出線段BC的長(zhǎng)即可；（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)（三角形兩邊之差小于第三邊），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，如圖3所示．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線為y=x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)，如圖4所示．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的三種形式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，找出當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置；（2）利用三角形的三邊關(guān)系找出使|QA﹣QC|的值最大時(shí)點(diǎn)Q的位置．3．F解析：（1）證明詳見解析；（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO；或．【解析】試題分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，則，進(jìn)而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）首選求出A，C點(diǎn)坐標(biāo)，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的長(zhǎng)，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的長(zhǎng)．試題解析：（1）證明：如圖2，∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：如圖3，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）解：如圖4，存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO，理由：連接EF，F(xiàn)O，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6），對(duì)稱軸為x==1，把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，∴B（0，8），即OB=8把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，∴A（﹣4，0），C（6，0），∴OC=6，OA=4，AC=10，∴BC===10，∴AB===4，∵EH∥BO，∴△CEH∽△CBO，∴，即，解得：BE=，∵BC=AC=10，∴∠CAB=∠CBA∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，由（1）可得△AFO∽△BEF，∴，設(shè)BF=x，則，化簡(jiǎn)得：x2﹣4x+=0，解得：x1=，x2=，∴當(dāng)BF=或時(shí)，∠EFO=∠BAO．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．4．（1）③④；（2）①見解析；②或；（3）或【分析】（1）畫出圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．（2）①根據(jù)題意列表、描點(diǎn)、連線即可．②將看成是一次函數(shù)，此函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，因此要與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則需要分情況討論．當(dāng)時(shí)，滿足兩個(gè)交點(diǎn)的要求；當(dāng)時(shí)，與圖像沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可以有兩個(gè)交點(diǎn)，此種情況要代入，根據(jù)根的判別式求出的范圍即可．（3）因?yàn)?，所以根?jù)分段函數(shù)的圖像，求解取值在到2之間的自變量的范圍，分情況討論即可．再根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，即，代入到的取值范圍中求解即可．【詳解】解：（1）畫出圖象，根據(jù)圖象可知，①當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故錯(cuò)誤；②該函數(shù)圖象關(guān)于軸不對(duì)稱，故錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，正確；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，正確；故答案為：③④．（2）①在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，②關(guān)于的方程有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，可以看成是和有兩個(gè)交點(diǎn)．是一次函數(shù)，與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，滿足兩個(gè)交點(diǎn)的條件．若將向下平移與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則．方程為，即．△，，．故答案為：或．（3），當(dāng)時(shí)，，，解出．當(dāng)時(shí)，，，解出．或．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，，，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查的是分段函數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．5．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式；（2）過(guò)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．證明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得拋物線的對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過(guò)B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【詳解】（1）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)y＝0時(shí)，，解，得；∴B（4，0）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），．設(shè)BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得，解，得．直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋4；（2）過(guò)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．∵四邊形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵M(jìn)H⊥y，．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，．∴M（1，－1）．（3）過(guò)B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x軸，∴∠IEO＝90°，∴四邊形EOBI是矩形．．，∵點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．∵PQ//x軸，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，將其代入y＝－x＋4，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為．∵點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，．，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解決第（3）題時(shí)構(gòu)建二次函數(shù)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．D解析：（1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在，．【分析】（1）將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求出拋物線L的表達(dá)式，再由拋物線對(duì)稱軸公式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可求得拋物線的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可由已知分別表示出點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)則可列出方程，求解后即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將代入得：，解得，∴該拋物線L的表達(dá)式為：；∵拋物線的頂點(diǎn)為D，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在；如圖所示：∵拋物線與拋物線L關(guān)于直線對(duì)稱，，∴，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，∴拋物線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵PQ∥y軸，則Q的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N．∴M、N的橫坐標(biāo)為5－m．∴PM＝5－m－m＝5－2m．∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，∴PQ＝（）－（）＝，當(dāng)PM＝PQ時(shí)，四邊形為正方形，∴解得，∵P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，∴m＜5－m，解得m＜．∴．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．D解析：（1）；（2）；（3）存在，；；．【分析】(1)利用頂點(diǎn)式，求出拋物線的解析式即可；(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線BE的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；(3)分三種情形：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，再利用平移的性質(zhì)求解，當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)G在上時(shí)，求得；，即可得出結(jié)論，當(dāng)，且點(diǎn)G在上時(shí)，利用平移的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)C，∴設(shè)拋物線的解析式為，把A代入可得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1中，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于F，令則解得：，，∴，∴，∵BE平分，∴，∴，∴直線BD的解析式為，由，解得，或，∴，∴；（3）①如圖所示：當(dāng)時(shí)，∵拋物線的頂點(diǎn)C，點(diǎn)H在第三象限,點(diǎn)與點(diǎn)C重合，此時(shí)；，由平移性質(zhì)得，②如圖所示：當(dāng)且點(diǎn)在上時(shí)，則點(diǎn)H在第三象限,此時(shí)；，由平移性質(zhì)得③如圖所示：當(dāng)且點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)H在第三象限,同理可得：，，，由平移性質(zhì)得，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．8．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對(duì)頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．9．（1），，；（2）見詳解；（3）x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先將（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中，列方程組解出可得a和b的值，寫出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)x=4時(shí)m的值即可；（2）描點(diǎn)并連線畫圖，根據(jù)圖象寫出一條性質(zhì)即可；（3）畫y=x-3的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中得：，解得：，∴y=（a≠0），當(dāng)x=4時(shí)，m=；（2）如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬唬?）∵a（x1）2+≥x4，∴a（x1）2++1≥x3，如圖所示，由圖象得：x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，描點(diǎn)，畫函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析．10．A解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA=4；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大．即當(dāng)直線y=-x+m與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由題意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，故直線l的表達(dá)式為：y=﹣x﹣1，將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+3x+4；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大，所以P點(diǎn)在與直線AD平行并且與拋物線相切的直線上，即P點(diǎn)是這兩個(gè)圖像的唯一交點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，依題意有：，∴x2-4x+m-4=0∵直線y=-x+m與拋物線相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)，∴42+4(m-4)=0∴m=8，∴x2-4x+4=0，∴x1=x2=2∴y=6由此得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)②過(guò)P作PE⊥x軸于E點(diǎn)，由直線AC的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1，可得A(-1，0)C(0，-1)，∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠DAB=45°，∴當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，∠BAP=∠DAB，則∠BAP=45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE=EA設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，依題意有m+1=﹣m2+3m+4，∴m1=3，m2=-1(舍去)，∴PE=EA=4，∴PA=4（3）NC=5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，﹣x2+3x+4)、則點(diǎn)M(x，﹣x﹣1)，由題意得：|yM﹣yP|=5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2或0或4(舍去0)，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)；②當(dāng)NC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，2)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)、則點(diǎn)M(n，﹣n﹣1)，N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則NC的中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，即：，2=，解得：m=0或﹣4(舍去0)，故點(diǎn)M(﹣4，3)；故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、中考幾何壓軸題11．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．12．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．14．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡(jiǎn)要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡(jiǎn)要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長(zhǎng)線上作點(diǎn)，使，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長(zhǎng)線上作點(diǎn)，使.以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.簡(jiǎn)要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時(shí)間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.15．（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（解析：（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（2）連接AC，證明,即可求解；（3）分兩種情況考慮：通過(guò)證得出對(duì)應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，設(shè)，則解直角三角形AQM，從而計(jì)算出QM的長(zhǎng)度，從而求算CN．【詳解】（1）解：∵當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形∴AM=AP,AB=AD∴BM＝PD又∵∴∴（2）CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，.理由：連接AC，如圖：在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵.AD=2AB，AP=2AM，∴，∴.易得∴△ANC∽△APD∴∴（3）分兩種情況考慮：①如圖：∵已知AD＝4，AP＝2,∴AB=2,AM=PN=1由圖知：∴設(shè)，則，在直角三角形AQM中：解得：（舍）∴，∴∴②如圖：由①可得：，，MN=2∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形與旋轉(zhuǎn)、相似等綜合，有一定的難度，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．16．（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可得，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．17．動(dòng)手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動(dòng)手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得解析：動(dòng)手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動(dòng)手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可證出△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據(jù)三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．【詳解】解：動(dòng)手實(shí)踐：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線，故答案為：ABF，F(xiàn)、B、C；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，∵S△AGE=AG?BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG?BF=×AB×AB=AB2，∴，故答案為：5，10；（2）證明：若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；（3）∵AG為GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，∴n=3+或3-．故答案為：3+或3-．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．18．（1）AC//DE；（2）①AC//DE；②∠B+3∠ACB＝180°，理由見解析；（3）或．【分析】【問(wèn)題情境】AC//DE，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；【類比探究】①解析：（1）AC//DE；（2）①AC//DE；②∠B+3∠ACB＝180°，理由見解析；（3）或．【分析】【問(wèn)題情境】AC//DE，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；【類比探究】①AC//DE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠EDA＝∠3即可；②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AFE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，可得出∠B+3∠ACB＝180°；【拓展應(yīng)用】分兩種情形：①∠EAC＝90°時(shí)，如圖3﹣1．②如圖2，當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，分別求解即可．【詳解】【問(wèn)題情境】如圖①中，∵矩形ABCD沿AC折疊，∴∠1＝∠2，∵AD//BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF＝CF，∵AD＝BC，BC＝CE，∴AD＝CE，∴AD﹣AF＝CE﹣CF，即EF＝DF，∴∠FED＝∠FDE，∵∠AFC＝∠EFD，∴∠3＝∠ADE，∴AC//DE．故答案為：AC//DE；【類比探究】①如圖②中，∵沿AC折疊，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACE，∴FA＝FC，∵AD＝BC，BC＝CE，∴AD＝CE，∴AD﹣FA＝CE﹣FC，即EF＝DF，∴∠FED＝∠FDE，∵∠AFC＝∠EFD，∴∠DAC＝∠ADE，∴AC//DE，②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，則∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，∵AD//BC，∴∠B+∠BAD＝180