線代期末考試題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=\)（）A.-16B.16C.-4D.42.若向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)，則該向量組（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.秩為2D.無法確定3.齊次線性方程組\(Ax=0\)，其中\(zhòng)(A\)是\(n\timesn\)矩陣，如果\(\vertA\vert\neq0\)，則方程組的解（）A.有唯一非零解B.有無窮多解C.只有零解D.無解4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則（）A.當(dāng)\(m>n\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)B.當(dāng)\(m>n\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)C.當(dāng)\(n>m\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)D.當(dāng)\(n>m\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(r(A)+r(A-E)=\)（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n+1\)D.06.設(shè)\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(A^2\)的特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\frac{1}{\lambda}\)7.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式8.設(shè)\(A=(a_{ij})\)是\(3\times3\)矩陣，\(A_{ij}\)是\(a_{ij}\)的代數(shù)余子式，若\(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=0\)，則（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(\vertA\vert\neq0\)C.\(A=0\)D.\(A\)可逆9.已知向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(2,-1,1)\)，則\(\alpha\cdot\beta=\)（）A.7B.3C.5D.110.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)B.\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)答案：1.A2.B3.C4.A5.A6.B7.A8.A9.B10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）A.\((AB)^T=A^TB^T\)B.\((A+B)^T=A^T+B^T\)C.\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（\(A,B\)可逆）D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)（\(A,B\)可逆）2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.\(\alpha_1\)可由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示C.向量組\(\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩小于33.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，下列命題正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(\vertA\vert=0\)C.若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.若\(A\)的列向量組線性無關(guān)，則\(A\)可逆4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值，\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值，\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量C.\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值（\(A\)可逆），\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量D.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值，\(x\)為對(duì)應(yīng)的特征向量5.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的秩6.下列矩陣中是對(duì)稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)是常數(shù)，則下列說法正確的是（）A.\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)B.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)C.若\(A\)可逆，則\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)（\(k\neq0\)）D.若\(A\)可逆，則\((kA)^{-1}=kA^{-1}\)（\(k\neq0\)）8.設(shè)向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(2,-1,1)\)，則（）A.\(\alpha+\beta=(3,1,4)\)B.\(\alpha-\beta=(-1,3,2)\)C.\(2\alpha=(2,4,6)\)D.\(\alpha\cdot\beta=3\)9.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，則（）A.\(A\)的特征值為\(1,2,3\)B.對(duì)應(yīng)的特征向量分別為\((1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\)C.\(A\)可逆D.\(\vertA\vert=6\)10.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，\(r(A)=2\)，則（）A.\(A\)的行向量組的極大線性無關(guān)組含2個(gè)向量B.\(A\)的列向量組的極大線性無關(guān)組含2個(gè)向量C.\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含1個(gè)向量D.\(Ax=b\)有無窮多解（\(b\neq0\)）答案：1.BC2.AD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.ABD7.BC8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(n\)階方陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）2.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)也線性無關(guān)。（）4.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解。（）5.設(shè)\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(x\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則對(duì)于任意常數(shù)\(k\)，\(kx\)也是\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量。（）6.若\(A,B\)為\(n\)階方陣且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，則\(A\)與\(A^T\)有相同的特征值。（）8.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，當(dāng)\(m=n\)時(shí)，\(\vertAB\vert=\vertBA\vert\)。（）9.向量組的極大線性無關(guān)組不唯一。（）10.若\(A\)是\(n\)階方陣且\(A^2=I\)，則\(A=I\)或\(A=-I\)。（）答案：1.對(duì)2.錯(cuò)3.對(duì)4.錯(cuò)5.錯(cuò)6.錯(cuò)7.對(duì)8.錯(cuò)9.對(duì)10.錯(cuò)四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的定義及其判別方法。答案：-定義：對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)（\(I\)為\(n\)階單位矩陣），則稱\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆矩陣，記為\(A^{-1}\)。-判別方法：-若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆。-\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)，則\(A\)可逆。-\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣），則\(A\)可逆。2.什么是齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系？如何求基礎(chǔ)解系？答案：-定義：齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系是它的解空間中的一個(gè)極大線性無關(guān)組。-求法：-對(duì)系數(shù)矩陣\(A\)進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣。-確定自由變量，寫出通解表達(dá)式。-分別令自由變量取特殊值（如\(1,0,\cdots,0\)；\(0,1,\cdots,0\)等）得到基礎(chǔ)解系中的向量。3.解釋向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。答案：-線性相關(guān)：對(duì)于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)。-線性無關(guān)：如果只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時(shí)，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性無關(guān)。4.簡(jiǎn)述相似矩陣的定義和性質(zhì)。答案：-定義：設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，如果存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，則稱\(A\)與\(B\)相似。-性質(zhì)：-相似矩陣有相同的特征值。-相似矩陣的行列式相等。-相似矩陣的秩相等。-相似矩陣的跡相等。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)\(a\)取何值時(shí)，向量組\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,a)\)線性相關(guān)。答案：設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&a\end{pmatrix}\)，計(jì)算\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&a\end{vmatrix}=a-5\)。當(dāng)\(\vertA\vert=0\)，即\(a=5\)時(shí)，向量組線性相關(guān)。2.討論齊次線性方程組\(\be