線性代數(shù)C期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)A為3階方陣，且|A|=2，則|-2A|=（）A.-16B.16C.-4D.42.若向量組α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)，α4=(1,1,1)，則向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.43.已知矩陣A與B相似，A的特征值為1，2，3，則|B-E|=（）A.0B.1C.2D.64.設(shè)A是n階方陣，且A2=A，則A的特征值為（）A.0或1B.0C.1D.25.設(shè)n階方陣A的秩r(A)=n-1，α1，α2是Ax=0的兩個不同的解，則Ax=0的通解為（）A.kα1B.kα2C.k(α1-α2)D.k(α1+α2)6.設(shè)A為3×3矩陣，|A|=-2，把A按列分塊為A=(A1,A2,A3)，其中Aj(j=1,2,3)為A的第j列，則|A3,2A1,A2|=（）A.4B.-4C.2D.-27.設(shè)矩陣A=(12;34)，則A的伴隨矩陣A=（）A.(-42;3-1)B.(4-2;-31)C.(-4-2;31)D.(42;-3-1)8.設(shè)A為n階方陣，若Ax=0有非零解，則（）A.A的行向量組線性相關(guān)B.A的列向量組線性相關(guān)C.A的行向量組線性無關(guān)D.A的列向量組線性無關(guān)9.設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，α1，α2是對應(yīng)的特征向量，則（）A.α1+α2是A的特征向量B.α1-α2是A的特征向量C.α1與α2線性相關(guān)D.α1與α2線性無關(guān)10.二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32-4x1x2的矩陣為（）A.(1-20;-220;003)B.(1-40;-420;003)C.(120;220;003)D.(1-20;220;003)答案：1.A2.C3.A4.A5.C6.B7.A8.B9.D10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)A,B,C為n階方陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.(AB)C=A(BC)B.(A+B)C=AC+BCC.C(A+B)=CA+CBD.AB=BA2.設(shè)n階方陣A可逆，則（）A.A的行列式不為零B.A的秩為nC.A的特征值全不為零D.Ax=b有唯一解（對于任意n維列向量b）3.設(shè)向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0B.α1可由α2，α3線性表示C.α3可由α1，α2線性表示D.向量組α1，α2，α3中至少有一個向量可由其余向量線性表示4.設(shè)A為n階方陣，λ為A的特征值，α為對應(yīng)的特征向量，則（）A.A2的特征值為λ2，對應(yīng)的特征向量為αB.A-λE不可逆C.對于任意常數(shù)k，kA的特征值為kλ，對應(yīng)的特征向量為αD.A的特征多項式為|λE-A|5.設(shè)A，B為n階方陣，且A與B相似，則（）A.|A|=|B|B.秩(A)=秩(B)C.A與B有相同的特征值D.A與B有相同的特征向量6.設(shè)α=(1,2,3)，β=(3,2,1)，則（）A.α+β=(4,4,4)B.α-β=(-2,0,2)C.3α=(3,6,9)D.2α-3β=(-7,-2,3)7.設(shè)矩陣A=(10;01)，B=(11;01)，則（）A.A與B可交換，即AB=BAB.A+B=(21;02)C.A-B=(0-1;00)D.|A|=|B|8.設(shè)二次型f(x1,x2)=x12+2bx1x2+x22，要使f正定，則（）A.b>1B.b<-1C.-1<b<1D.b=09.設(shè)A為3階方陣，已知|A|=0，則（）A.A的列向量組線性相關(guān)B.A的行向量組線性相關(guān)C.Ax=0有非零解D.A不可逆10.設(shè)向量空間V={α=(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}，則（）A.V是R3的子空間B.V的維數(shù)為2C.(1,-1,0)∈VD.(0,0,0)∈V答案：1.ABC2.ABCD3.AD4.ABC5.ABC6.ABCD7.BC8.CD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若n階方陣A的行列式|A|≠0，則A可逆。（）2.若向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)。（）3.相似矩陣有相同的特征多項式。（）4.設(shè)A為n階方陣，若A2=0，則A=0。（）5.設(shè)α=(1,2,3)，β=(3,2,1)，則α·β=10。（）6.設(shè)A為3階方陣，其特征值為1，2，3，則A可逆。（）7.二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+x32是正定二次型。（）8.設(shè)A，B為n階方陣，則|AB|=|BA|。（）9.設(shè)向量組α1，α2，…，αn的秩為r，則向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是向量組的一個極大線性無關(guān)組。（）10.設(shè)A為n階方陣，若Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解。（）答案：1.對2.對3.對4.錯5.對6.對7.錯8.對9.錯10.錯四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的定義及其判別方法。答案：定義：對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E（E為n階單位矩陣），則稱A可逆，B為A的逆矩陣。判別方法：1.若|A|≠0，則A可逆；2.若A的秩為n，則A可逆；3.若A的行（列）向量組線性無關(guān)，則A可逆；4.若A的特征值全不為零，則A可逆。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？如何求向量組的極大線性無關(guān)組？答案：極大線性無關(guān)組是向量組的一個部分組，滿足這個部分組線性無關(guān)，且向量組中的任意向量都可由這個部分組線性表示。求法：將向量組構(gòu)成矩陣，通過初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行的首非零元所在列對應(yīng)的原向量組中的向量構(gòu)成一個極大線性無關(guān)組。3.簡述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量α，使得Aα=λα，則稱λ為A的一個特征值，α為A的屬于特征值λ的特征向量。4.什么是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形？如何將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？答案：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是只含平方項的二次型。將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法有正交變換法和配方法等。正交變換法是先求二次型矩陣的特征值和特征向量，然后將特征向量正交化、單位化得到正交矩陣，通過正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)a為何值時，向量組α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,a)線性相關(guān)。答案：設(shè)矩陣A=(α1,α2,α3)，計算|A|=1(2a-9)-1(a-3)+1(3-2)=a-5，當(dāng)|A|=0即a=5時，向量組線性相關(guān)。2.討論矩陣A=(12;34)是否相似于對角矩陣。答案：先求A的特征值，|λE-A|=(λ-1)(λ-4)-6=λ2-5λ-2。解得特征值λ1=(5+√33)/2，λ2=(5-√33)/2。因為A有兩個不同的特征值，所以A相似于對角矩陣。3.討論二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3-4x2x3的正定性。答案：二次型矩