2用關系式表示的變量間關系教學設計-2025-2026學年初中數(shù)學北師大版2012七年級下冊-北師大版2012學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學內(nèi)容：本節(jié)課主要講解用關系式表示的變量間關系，包括正比例關系和反比例關系的定義、性質(zhì)以及應用。內(nèi)容涉及北師大版2012七年級下冊教材第4章“函數(shù)”的第1節(jié)“正反比例函數(shù)”。

2.教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課與學生在小學階段學習的比例知識有關，通過復習比例的概念，引導學生理解正反比例關系的定義和性質(zhì)。同時，本節(jié)課還與學生在七年級上冊學習的代數(shù)知識相聯(lián)系，如方程、不等式等，幫助學生建立數(shù)學模型，提高解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，通過用關系式表示變量間關系，使學生能夠從具體情境中抽象出數(shù)學模型。

2.增強學生的邏輯推理能力，通過分析正反比例關系的性質(zhì)，引導學生運用邏輯推理解決實際問題。

3.提升學生的數(shù)學建模能力，通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，讓學生學會運用數(shù)學語言描述現(xiàn)實世界。

4.培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，通過解決與正反比例關系相關的問題，強化學生的計算技能和運算策略。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握的相關知識：學生在本節(jié)課前已經(jīng)掌握了基本的數(shù)學概念，如比例、等式、不等式等，以及基礎的代數(shù)運算。他們能夠理解簡單的函數(shù)概念，并具備一定的解決問題的能力。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：初中生對數(shù)學的興趣因人而異，部分學生可能對抽象的數(shù)學概念和邏輯推理感興趣，而另一些學生可能更偏好直觀的圖形和具體的應用。學生的能力水平也各不相同，有的學生在代數(shù)運算和邏輯推理方面較為出色，而有的學生可能在理解和應用數(shù)學概念上存在困難。學習風格上，有的學生偏好通過視覺學習，有的則更傾向于動手操作或聽覺學習。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學習用關系式表示的變量間關系時，學生可能面臨以下困難：

-理解正反比例關系的本質(zhì)，區(qū)分兩種關系的不同特征。

-將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，建立正確的函數(shù)關系式。

-應用正反比例關系解決實際問題，特別是在涉及多步驟推理和復雜情境時。

-在進行代數(shù)運算時，可能會遇到計算錯誤或難以找到解題思路的問題。教學方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的教學方法，首先通過講解正反比例關系的定義和性質(zhì)，幫助學生建立清晰的概念框架。

2.設計小組討論活動，讓學生通過合作探究解決實際問題，如根據(jù)實際情境建立正反比例關系，并推導出關系式。

3.利用多媒體教學手段，展示正反比例關系的圖形變化，幫助學生直觀理解變量之間的關系。

4.安排角色扮演游戲，讓學生模擬實際問題中的決策過程，提高他們對正反比例關系的應用能力。教學過程一、導入新課

（教師）：同學們，我們之前學習了比例的概念，今天我們要進一步探討的是用關系式表示的變量間關系。請大家回憶一下，比例的定義是什么？我們是如何使用比例來解決實際問題的？

（學生）：比例是兩個數(shù)或兩個量之間的比值相等的關系，我們可以用分數(shù)或小數(shù)來表示。

（教師）：很好，那今天我們就來研究如何用關系式來表示變量之間的正反比例關系，以及它們在實際問題中的應用。

二、新課講授

1.正比例關系的定義與性質(zhì)

（教師）：首先，我們來探討正比例關系。正比例關系是指兩個變量之間的比值是恒定的。比如，路程和速度之間的關系就是正比例關系。

（學生）：哦，我明白了，如果速度不變，路程和時間的比值也是恒定的。

（教師）：非常好。正比例關系的數(shù)學表達式是y=kx，其中k是比例常數(shù)。這個表達式告訴我們，當x增加時，y也會按照相同的比例增加。

（教師）：接下來，我們來看幾個例子，看看如何用正比例關系來解決問題。

（學生）：好的。

（教師）：例子1：一輛汽車以每小時60公里的速度行駛，行駛了2小時后，汽車行駛了多少公里？

（學生）：60公里/小時×2小時=120公里。

（教師）：很好，這就是正比例關系在解決問題中的應用。

2.反比例關系的定義與性質(zhì)

（教師）：接下來，我們來學習反比例關系。反比例關系是指兩個變量的乘積是恒定的。比如，面積和邊長的關系就是反比例關系。

（學生）：哦，我明白了，如果邊長不變，面積和邊長的乘積也是恒定的。

（教師）：反比例關系的數(shù)學表達式是y=k/x，其中k是比例常數(shù)。這個表達式告訴我們，當x增加時，y會按照相同的比例減小。

（教師）：現(xiàn)在，我們來解決一些與反比例關系相關的問題。

（學生）：好的。

（教師）：例子2：一個長方形的周長是24厘米，如果長和寬的差是2厘米，求長方形的長和寬。

（學生）：設長為x厘米，寬為x-2厘米，根據(jù)周長公式，2x+2(x-2)=24，解得x=6，所以長是6厘米，寬是4厘米。

（教師）：非常棒，同學們能夠靈活運用反比例關系來解決問題。

3.應用正反比例關系解決實際問題

（教師）：現(xiàn)在，我們來嘗試一些實際問題，看看如何運用正反比例關系來解決問題。

（學生）：好的。

（教師）：例子3：一個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量與工作時間成正比。如果10小時可以生產(chǎn)100個產(chǎn)品，那么40小時可以生產(chǎn)多少個產(chǎn)品？

（學生）：設40小時可以生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y，根據(jù)正比例關系，y/40=100/10，解得y=400。

（教師）：正確，同學們能夠運用正反比例關系解決實際問題。

三、課堂練習

（教師）：現(xiàn)在，請大家完成一些課堂練習題，鞏固今天所學的知識。

（學生）：好的。

（教師）：練習題1：一個班級有男生和女生，男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍，如果男生人數(shù)增加10人，那么男生和女生的人數(shù)比是多少？

（學生）：設女生人數(shù)為x，那么男生人數(shù)為3x，增加10人后，男生人數(shù)為3x+10。新的比例是(3x+10)/x。

（教師）：很好，同學們能夠?qū)⒄壤P系應用到實際問題中。

四、課堂小結(jié)

（教師）：今天我們學習了用關系式表示的變量間關系，包括正比例關系和反比例關系。我們通過定義、性質(zhì)和實際問題的解決，了解了這兩種關系的特點和應用。

（學生）：是的，老師，我們學會了如何用正比例關系和反比例關系來描述現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系。

（教師）：非常好，希望大家能夠?qū)⒔裉焖鶎W的知識應用到今后的學習和生活中，解決更多實際問題。

五、布置作業(yè)

（教師）：請大家完成以下作業(yè)，鞏固所學知識。

（學生）：好的。

（教師）：作業(yè)1：閱讀教材相關章節(jié)，復習正反比例關系的定義和性質(zhì)。

作業(yè)2：完成教材中的例題和練習題。

作業(yè)3：選擇一個實際情境，運用正反比例關系進行分析和解決。

六、課堂反思

（教師）：今天的課程到此結(jié)束，請大家思考以下問題：

1.你認為正反比例關系在數(shù)學學習中有什么重要性？

2.你在學習正反比例關系的過程中遇到了哪些困難？你是如何克服的？

3.你認為如何更好地將正反比例關系應用到實際問題中？

（學生）：我們將認真思考這些問題，并在今后的學習中不斷改進。學生學習效果學生學習效果

1.理解并掌握了正比例和反比例關系的定義和性質(zhì)。學生能夠區(qū)分兩種比例關系的特征，理解它們在數(shù)學中的基本原理，并在實際情境中識別和應用這些關系。

2.增強了數(shù)學抽象能力。學生在學習過程中，通過將具體情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，學會了如何從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學問題，并形成數(shù)學表達式。

3.提高了邏輯推理能力。學生在解決與正反比例關系相關的問題時，需要運用邏輯推理來推導關系式，分析變量之間的關系，這有助于提高他們的邏輯思維能力。

4.提升了數(shù)學建模能力。學生通過建立數(shù)學模型來解決實際問題，如計算路程、面積、體積等，這有助于他們理解數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用價值。

5.強化了解決問題的能力。學生在學習過程中，通過解決一系列的例題和練習題，提高了分析問題和解決問題的能力，能夠靈活運用所學知識解決實際問題。

6.增進了合作學習能力。在小組討論和角色扮演活動中，學生學會了與他人合作，共同解決問題，這有助于培養(yǎng)他們的團隊協(xié)作精神和溝通能力。

7.增強了數(shù)學運算能力。學生在學習過程中，不斷練習代數(shù)運算，如乘法、除法、加減法等，這有助于提高他們的數(shù)學運算技能。

8.體驗了數(shù)學的趣味性。通過游戲和實際問題的解決，學生感受到了數(shù)學的趣味性，激發(fā)了他們對數(shù)學學習的興趣。

9.培養(yǎng)了良好的學習習慣。學生在完成作業(yè)和課堂練習的過程中，養(yǎng)成了認真審題、仔細計算、及時復習的良好學習習慣。

10.增強了自信心。通過成功解決一系列問題，學生對自己的數(shù)學能力有了更深的認識，增強了學習數(shù)學的自信心。板書設計①

-正比例關系的定義：兩個變量之間的比值是恒定的，數(shù)學表達式為y=kx。

-正比例關系的性質(zhì)：當x增加時，y按照相同的比例增加；當x減少時，y也按照相同的比例減少。

-正比例關系的應用：路程與速度、面積與邊長等。

②

-反比例關系的定義：兩個變量的乘積是恒定的，數(shù)學表達式為y=k/x。

-反比例關系的性質(zhì)：當x增加時，y按照相同的比例減??；當x減少時，y也按照相同的比例增加。

-反比例關系的應用：面積與邊長、電流與電阻等。

③

-正反比例關系的聯(lián)系：兩者都是描述變量間關系的數(shù)學模型，但比例關系是比值恒定，反比例關系是乘積恒定。

-正反比例關系的區(qū)別：正比例關系是線性關系，反比例關系是非線性關系。

-正反比例關系在實際問題中的應用：解決與比例相關的問題，如計算、分配、優(yōu)化等。課后作業(yè)1.實際問題應用題：

-題目：一輛汽車以每小時60公里的速度行駛，如果行駛了3小時，汽車行駛了多少公里？

-答案：路程=速度×時間=60公里/小時×3小時=180公里。

2.正比例關系應用題：

-題目：一個班級有男生和女生，男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，如果男生人數(shù)增加10人，班級總?cè)藬?shù)變?yōu)槎嗌伲?/p>

-答案：設原來女生人數(shù)為x，男生人數(shù)為2x，增加后男生人數(shù)為2x+10?？?cè)藬?shù)=x+(2x+10)=3x+10。因為男生人數(shù)增加了10人，所以2x+10=2x+10，解得x=0?？?cè)藬?shù)=3x+10=10人。

3.反比例關系應用題：

-題目：一個長方形的周長是30厘米，如果長和寬的差是2厘米，求長方形的長和寬。

-答案：設長為x厘米，寬為x-2厘米，周長=2×(長+寬)=30厘米。解方程2x+2(x-2)=30，得x=8，所以長為8厘米，寬為6厘米。

4.正反比例關系綜合題：

-題目：一個工廠的產(chǎn)量與工作時間成正比。如果工人每天工作8小時可以生產(chǎn)120個產(chǎn)品，那么工人每天工作10小時可以生產(chǎn)多少個產(chǎn)品？

-答案：設每天工作10小時可以生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y，根據(jù)正比例關系，y/10=120/8，解得y=150個產(chǎn)品。

5.變量關系推導題：

-題目：一個矩形的面積是60平方厘米，如果矩形的周長是24厘米，求矩形的長和寬。

-答案：設矩形的長為x厘米，寬為y厘米，面積=長×寬=60平方厘米，周長=2×(長+寬)=24厘米。根據(jù)面積公式，xy=60，根據(jù)周長公式，2x+2y=24。解這個方程組，得x=6厘米，y=10厘米。

6.實際問題優(yōu)化題：

-題目：一個農(nóng)場有甲、乙兩種作物，甲種作物的產(chǎn)量是乙種作物的3倍。如果農(nóng)場種植甲、乙兩種作物共20畝，求農(nóng)場種植甲、乙兩種作物的畝數(shù)。

-答案：設乙種作物的畝數(shù)為x，甲種作物的畝數(shù)為3x。總畝數(shù)=x+3x=20畝，解得x=5畝，所以乙種作物的畝數(shù)為5畝，甲種作物的畝數(shù)為15畝。

7.比例關系應用題：

-題目：一個水池的水位上升了5厘米，水的體積增加了200立方厘米。如果水位再上升10厘米，水的體積將增加多少立方厘米？

-答案：根據(jù)比例關系，水位上升5厘米對應體積增加200立方厘米，那么水位上升10厘米對應的體積增加是200立方厘米的2倍，即200×2=400立方厘米。教學評價1.課堂評價：

-提問：通過提問，教師可以了解學生對正反比例關系的理解程度，以及他們是否能夠?qū)⑺鶎W知識應用于解決實際問題。例如，教師可以提問：“誰能解釋一下什么是正比例關系？”或者“你能用一個例子來說明反比例關系嗎？”

-觀察：教師通過觀察學生在課堂上的參與度、回答問題的準確性以及解決問題的策略，可以評估他們的學習效果。例如，觀察學生在小組討論中的互動情況，或者他們在解決數(shù)學問題時是否能夠獨立思考。

-測試：通過小測驗或課堂練習，教師可以評估學生對正反比例關系知識的掌握程度。這些測試可以是選擇題、填空題或簡答題，旨在檢驗學生對概念的理解和應用能力。

2.作業(yè)評價：

-批改：教師對學生的作業(yè)進行認真批改，確保每個學生都能夠得到個性化的反饋。批改時，教師應關注學生的解題思路、計算準確性和對概念的理解。

-點評：在批改作業(yè)的同時，教師應給出具體的點評，指出學生的優(yōu)點和需要改進的地方。例如，“你的解題過程很清晰，但在計算時注意檢查細節(jié)。”或者“你能夠正確地應用正反比例關系，但在解釋時可以更加詳細。”

-反饋：及時反饋是教學評價的關鍵。教師應確保學生能夠了解自己的作業(yè)表現(xiàn)，并知道如何改進。反饋可以是口頭上的，也可以是書面上的，包括對作業(yè)的評分和改進建議。

-鼓勵：在評價過程中，教師應鼓勵學生繼續(xù)努力。對于表現(xiàn)良好的學生，教師可以給予表揚和獎勵；對于遇到困難的學生，教師應提供額外的支持和指導，幫助他們克服學習障礙。

3.形成性評價：

-教師可以通過課堂討論、小組合作和項目工作等方式進行形成性評價。這些活動可以幫助教師了解學生在學習過程中的進步和挑戰(zhàn)。

-形成性評價的目的是為了提供即時的反饋，幫助學生調(diào)整學習策略，并在學習過程中不斷進步。

4.總結(jié)性評價：

-總結(jié)性評價通常在課程結(jié)束時進行，如期末考試或單元測試。這些評價旨在評估學生對整個課程內(nèi)容的掌握程度。

-總結(jié)性評價的結(jié)果可以用于決定學生的成績，并為教師提供關于教學效果的信息。教學反思與總結(jié)今天的課結(jié)束了，我想和大家一起回顧一下這節(jié)課的教學情況。首先，我想說的是，我對今天的課堂整體效果還是滿意的。同學們在課堂上表現(xiàn)得都很積極，對正反比例關系的理解也有了明顯的提升。

在教學過程中，我嘗試了多種教學方法，比如通過實例講解、小組討論和實際