2019年高三數(shù)學(xué)月考試題深度解析——從考點(diǎn)分布到解題策略這份2019年高三數(shù)學(xué)月考試題緊扣高考考綱要求，在知識(shí)覆蓋與能力考查上形成了清晰的梯度：既注重對(duì)函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等核心模塊的深度挖掘，又通過創(chuàng)新題型考查學(xué)生的思維靈活性與知識(shí)遷移能力。作為高三復(fù)習(xí)階段的階段性檢測(cè)，其命題方向與解題思路對(duì)后續(xù)備考具有較強(qiáng)的指引性。一、試題整體分析：考點(diǎn)分布與難度梯度1.考點(diǎn)覆蓋函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：占比約30%，涵蓋函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義與單調(diào)性應(yīng)用。立體幾何：占比約20%，涉及空間幾何體的體積、表面積，線面垂直/平行的證明，空間角（二面角、線面角）的計(jì)算。解析幾何：占比約20%，包含圓錐曲線的定義、離心率，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。數(shù)列：占比約15%，考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)、數(shù)列求和（錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消）。三角函數(shù)與解三角形：占比約10%，涉及三角恒等變換、正弦定理/余弦定理的應(yīng)用。概率統(tǒng)計(jì)、不等式、向量：占比約5%，以基礎(chǔ)題型為主。2.難度梯度基礎(chǔ)題（60%）：側(cè)重對(duì)概念的直接應(yīng)用（如函數(shù)奇偶性、數(shù)列遞推、立體幾何基本性質(zhì)）。中檔題（30%）：需要知識(shí)整合與技巧遷移（如函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合、圓錐曲線離心率的幾何意義）。難題（10%）：考查思維深度（如導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合、解析幾何的參數(shù)范圍問題）。二、典型題型解析：從考點(diǎn)到解題策略（一）選擇題：概念辨析與技巧應(yīng)用例題1：函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用（第5題）題目：已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，若\(f(a)>f(3-a)\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是？考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，利用單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式。解題思路：1.分析函數(shù)單調(diào)性：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，在\((0,1)\)上遞減，\((1,+\infty)\)上遞增。由奇函數(shù)的對(duì)稱性，\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-f(-x)=-x^2-2x\)，在\((-\infty,-1)\)上遞增，\((-1,0)\)上遞減。綜上，\(f(x)\)的單調(diào)性為：\((-\infty,-1)\)遞增，\((-1,1)\)遞減，\((1,+\infty)\)遞增。2.分類討論解不等式：結(jié)合\(f(x)\)的單調(diào)性，分區(qū)間討論\(a\)與\(3-a\)的位置：若\(a,3-a\in(1,+\infty)\)，則\(f(x)\)遞增，故\(f(a)>f(3-a)\Leftrightarrowa>3-a\)，解得\(\frac{3}{2}<a<2\)。若\(a\in(1,+\infty)\)且\(3-a\in(-1,1)\)，則\(f(a)\)遞增、\(f(3-a)\)遞減，結(jié)合函數(shù)值范圍可證\(f(a)>f(3-a)\)恒成立，解得\(2\leqa<4\)。綜上，\(a\)的取值范圍為\(\boldsymbol{\left(\frac{3}{2},4\right)}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性規(guī)律，或區(qū)間劃分時(shí)遺漏“\(a\)與\(3-a\)分屬不同單調(diào)區(qū)間”的情況。例題2：立體幾何外接球問題（第8題）題目：已知三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpAC\)，\(PA=AB=AC=2\)，則該三棱錐的外接球表面積為？考點(diǎn)：空間幾何體的外接球（補(bǔ)形法），球的表面積公式。解題思路：1.補(bǔ)形分析：由\(PA\perp\)平面\(ABC\)且\(AB\perpAC\)，可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為\(AB=2\)、\(AC=2\)、\(PA=2\)。2.外接球直徑：長(zhǎng)方體的外接球直徑等于其體對(duì)角線長(zhǎng)，即\(2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，故\(R=\sqrt{3}\)。3.表面積計(jì)算：球的表面積\(S=4\piR^2=4\pi\times3=12\pi\)。易錯(cuò)點(diǎn)：未意識(shí)到三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體，或誤將底面三角形的外接圓半徑當(dāng)作球半徑。（二）填空題：知識(shí)整合與運(yùn)算精度例題3：數(shù)列遞推求通項(xiàng)（第13題）題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式?？键c(diǎn)：遞推數(shù)列的累加法，等差數(shù)列求和公式。解題思路：由遞推式\(a_{n+1}-a_n=2n\)，累加得：\[\begin{align*}a_2-a_1&=2\times1,\\a_3-a_2&=2\times2,\\&\vdots\\a_n-a_{n-1}&=2\times(n-1).\end{align*}\]將以上\(n-1\)個(gè)式子相加，左邊為\(a_n-a_1\)，右邊為\(2(1+2+\dots+(n-1))\)。由等差數(shù)列求和公式，\(1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\)，故：\[a_n-a_1=2\times\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1).\]結(jié)合\(a_1=1\)，得\(a_n=n(n-1)+1=\boldsymbol{n^2-n+1}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：累加時(shí)項(xiàng)數(shù)錯(cuò)誤（誤將\(n-1\)項(xiàng)當(dāng)作\(n\)項(xiàng)），或等差數(shù)列求和公式應(yīng)用失誤。（三）解答題：邏輯推理與綜合應(yīng)用例題4：數(shù)列的遞推與通項(xiàng)（第17題）題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_{n+1}=4a_n+2\)。（1）設(shè)\(b_n=a_{n+1}-2a_n\)，證明\(\{b_n\}\)是等比數(shù)列；（2）求\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式?？键c(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的證明、構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)。解題思路（1）：由\(S_{n+1}=4a_n+2\)，當(dāng)\(n\geq1\)時(shí)，\(S_n=4a_{n-1}+2\)（\(n\geq2\)）。兩式相減得：\[a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}\quad(n\geq2).\]由\(b_n=a_{n+1}-2a_n\)，得\(b_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}\)。將\(a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\)代入得：\[b_{n+1}=4a_{n+1}-4a_n-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_n)=2b_n.\]當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(S_2=4a_1+2=6\)，故\(a_2=S_2-a_1=5\)，\(b_1=a_2-2a_1=3\)。因此\(\{b_n\}\)是以\(3\)為首項(xiàng)、\(2\)為公比的等比數(shù)列。解題思路（2）：由（1）知\(b_n=3\times2^{n-1}\)，即\(a_{n+1}-2a_n=3\times2^{n-1}\)。兩邊除以\(2^{n+1}\)得：\[\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{3}{4}.\]設(shè)\(c_n=\frac{a_n}{2^n}\)，則\(c_{n+1}-c_n=\frac{3}{4}\)，且\(c_1=\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}\)。故\(\{c_n\}\)是以\(\frac{1}{2}\)為首項(xiàng)、\(\frac{3}{4}\)為公差的等差數(shù)列，因此：\[c_n=\frac{1}{2}+(n-1)\times\frac{3}{4}=\frac{3n-1}{4}.\]從而\(a_n=c_n\times2^n=\frac{3n-1}{4}\times2^n=\boldsymbol{(3n-1)\times2^{n-2}}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：遞推式相減時(shí)忽略\(n\geq2\)的范圍，或構(gòu)造新數(shù)列時(shí)變形錯(cuò)誤（如除以\(2^{n+1}\)的合理性）。三、備考建議：從試題解析到能力提升1.夯實(shí)基礎(chǔ)，深化概念：針對(duì)函數(shù)奇偶性、數(shù)列遞推、立體幾何判定定理等核心概念，通過“辨析+應(yīng)用”強(qiáng)化理解（如對(duì)比奇函數(shù)與偶函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律）。2.提升運(yùn)算精度：數(shù)列求和（錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消）、解析幾何聯(lián)立方程等題型，需通過限時(shí)訓(xùn)練提高計(jì)算速度與準(zhǔn)確性。3.總結(jié)題型方法：整理“函數(shù)不等式→單調(diào)性分析”“外接球→補(bǔ)形法”“遞推數(shù)列→累加法/構(gòu)造法”等通法，形成解題思維鏈。4.強(qiáng)化綜合應(yīng)用