高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市十校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中質量檢測聯(lián)考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項4中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.0° B.45° C.90° D.不存在【答案】C【解析】直線與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：C.2.等比數列中，，，則（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】由，可得：即，又，所以，由，可得：，故選：D.3.數列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為：，所以，故選：C.4.若方程表示圓，則（）A.1 B. C. D.或1【答案】A【解析】由題意可得，化簡可得，則，解得或，當時，可得方程，整理可得，顯然不合題意；當時，可得，整理可得，符合題意.故選：A.5.若圓與圓關于直線對稱，則直線的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】由題圓C：,則兩圓心距為，故兩圓相交由于圓O：與圓C：關于直線l對稱，則直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程為，故選D．6.已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時，經過的路程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設小球第一次落地時經過的路程為，第次落地到第次落地經過的路程為，由題意，，數列從第二項起構成以首項為，公比為的等比數列，則第6次著地后經過的路程為（），故選：D7.已知曲線，是曲線上一動點，則（）A.曲線圍成的圖形有4條對稱軸 B.曲線圍成的圖形的周長為C.的最大值為5 D.曲線上任意兩點間的距離不大于4【答案】B【解析】當時，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸右側部分，當時，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸左側部分，所以曲線的圖象如圖所示，對于A，由圖可知曲線圍成的圖形有2條對稱軸，故A錯誤；對于B，曲線由2個圓組成，其周長為，故B正確；對于C，到直線的距離，所以，點到直線的距離為，則曲線上的點到直線的距離最大值為所以最大值為，故C錯誤；對于D，由圖可知曲線上任意兩點間的最大距離為兩圓圓心距離加上兩個半徑，故D錯誤；故選：B.8.曲線上存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，則以下不可能成為公比的數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故曲線為如圖所示的半圓，其圓心為，半徑為1，，因為，，結合曲線為半圓可得，而半圓上存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，故，即，其中為公比，因，，故ABC中的選項均存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，又，故不可能成立公比，故D錯誤，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知兩直線與，則（）A.直線過定點 B.直線在軸上的截距為1C.當時， D.當時，與之間的距離為【答案】AC【解析】對于選項A，對于直線，當時，，解得.所以直線過定點，選項A正確.對于選項B，對于直線，令，則，解得.所以直線在軸上的截距為，選項B錯誤.對于選項C，直線，其斜率；直線，其斜率.當時，，即，，解得，選項C正確.對于選項D，當時，，解得.此時，即.兩平行直線與之間的距離公式為.對于與，距離，選項D錯誤.故選；AC.10.已知數列的前項和為，且，則（）A. B.數列為遞減數列C.數列為等差數列 D.數列的前項和為【答案】ACD【解析】對于A，因為，當時，，即，則，A正確，對于BC，由可得，相減可得，即，由于則，故的奇數項和偶數項分別成等差數列，又，，故，因此對任意的，，故為等差數列，且公差為2，故B錯誤，C正確，對于D，由于，故的前項和為，D正確，故選：ACD.11.已知，圓，點為圓上一動點，且點為線段AP的中點，則（）A.的取值范圍為 B.點的軌跡方程為C.直線AP的斜率的最大值為 D.當點在圓上時，點的橫坐標為【答案】ABD【解析】取的中點，連接，易知當不在橫軸上時，，當P在橫軸上時，若時，仍有；若時，仍有，所以Q軌跡為以B為圓心，1為半徑的圓上，其軌跡方程為，故B正確；所以，即A正確；顯然當與圓O相切時斜率取得最值，不妨設切線方程為，則圓心O到切線的距離為，所以直線AP的斜率的最大值為，故C錯誤；兩圓方程作差得其公共弦方程為，所以Q在圓O上時，即在兩圓的公共弦上，所以其橫坐標為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.等差數列中，，，則__________．【答案】0【解析】由題意設公差為，則，所以.13.已知點P，Q在直線上，且P，Q兩點到原點的距離均小于或等于2，則的最大值為__________．【答案】【解析】設圓，設直線截圓所得的弦為，所以弦長為，所以的最大值為.14.對于任意給定的一個正整數，將分母小于或等于的既約（最簡）真分數按照自左至右遞增排列，并在第一個分數之前加上，在最后一個分數之后加上，該數列稱為階Farey數列，記為，其項數記為，各項的和記為.如下，給出，，…，，在中，有，，已知，則________，_________.【答案】23【解析】分母為6的既約真分數有，，共2個；分母為7的既約真分數有，，，，，，共6個；分母為8的既約真分數有，，，，共4個，由題意得，所以.與100互質的數是不能被2和5整除的數，即個位是1，3，7，9的數都與100互質，所以與100互質的數共有40個，即分母為100的既約真分數有40個，又，所以，由題意可知階Farey數列，每一階最中間的數都為，且關于對稱的兩數之和為1，所以利用倒序相加法可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點為，，．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）直線l經過點A，且B，C兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程．解：（1）法一：依題意，有，所以AD的斜率為2，所以AD所在直線的方程為，即．法二：依題意，有，即直線AD的一個法向量為．由直線的點法式，可得直線AD所在的直線的方程為：，即．（2）法一：（i）當直線l的斜率不存在時，直線．B，C兩點到直線l的距離分別為2和6，不符合題意．（ii）當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為，即．依題意，有，即，所以或，解得或．所以直線的方程為或．法二：因為直線l經過點A，且B，C兩點到直線l的距離相等，所以直線l與直線BC平行，或過線段BC的中點．（i）當直線l與直線BC平行時，直線BC的斜率為，所以直線的方程為，即．（ii）當直線l過線段BC的中點時，線段BC的中點為，所以直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．16.已知圓C經過，兩點，且圓心C在直線上．（1）求過點A，且在兩坐標軸上的截距相等的直線m的方程；（2）求圓C的方程．解：（1）（i）當直線過原點時，直線的斜率為2，此時直線的方程為．（ii）當直線不過原點時，可設直線的方程為．因為直線過點，所以，解得．此時直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．（2）法一：設圓C的方程為，依題意，有解得所以圓的方程為．法二：直線AB的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為1．又線段AB的中點坐標為，所以線段AB的垂直平分線的方程為．由解得即圓心．又圓C的半徑為，所以圓的方程為．法三：因圓心C在直線上，所以可設圓心C的坐標為．依題意，有，所以，解得．所以圓C的圓心，半徑，所以圓C的方程為．17.已知數列是等差數列，為的前項和，且，．（1）求與；（2）記集合，，若將中所有元素從小到大依次排列成一個新的數列，為前n項和．（i）求；（ii）求滿足的最小正整數的值．解：（1）設等差數列的公差為，由，得解得所以，．（2）與集合相比，元素間隔大，所以在集合中加入幾個中的元素來考慮．（i）．（ii）考慮到，，．易知為遞增數列，則滿足的最小正整數的值為23．18.過原點O的直線l與圓交于A，B兩點，且點．（1）過點P作圓C的切線m，求切線m的方程；（2）求弦AB的中點M的軌跡方程；（3）設直線，的斜率分別為，，求證：為定值．解：（1）當直線的斜率不存在時，直線與圓相離，不符合題意．當直線的斜率存在時，可設直線，即．因為直線與圓相切，圓的圓心，半徑，所以，即，解得或．所以直線的方程為，或．（2）法一：因為點A，B為過原點O的直線與圓的交點，且點弦AB的中點，所以，則點的軌跡是以OC為直徑的圓，圓心為，半徑為，所以點的軌跡方程為．法二：設點．當點不與點，點重合時，由圓的性質可知，，所以，所以，即．當點M與點O或點C重合時，和均滿足方程．綜上所述，點的軌跡方程為．（3）i）當直線的斜率不存在時，其方程為，此時點A，B的坐標為，．所以．ii）當直線的斜率存在時，可設其方程為．設，，由聯(lián)立，得．由，得，，所以．綜上所述，為定值．法二：所以．所以．綜上所述，為定值．19.已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點，且．（1）求的周長；（2）證明：為等比數列；（3）證明：對任意正整數．（1）解：因為圓，圓與軸均相切，且圓的圓心坐標為，所以圓的半徑為，圓的半徑為．又圓，圓均與半圓相內切，圓與圓相外切，所以，，．所以的周長為：．（2）證明：依題意，有，，，得即消去得，整理，得，兩邊同時減去，得．依題意，易得，所以，即．所以．所以等比數列，首項為1，公比為．（3）證明：由（2）得，．令，則當時，．要證，即證，即證．當時，（當且僅當時，等號成立）（當且僅當時，等號成立）．所以，得證．福建省漳州市十校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中質量檢測聯(lián)考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項4中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.0° B.45° C.90° D.不存在【答案】C【解析】直線與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：C.2.等比數列中，，，則（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】由，可得：即，又，所以，由，可得：，故選：D.3.數列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為：，所以，故選：C.4.若方程表示圓，則（）A.1 B. C. D.或1【答案】A【解析】由題意可得，化簡可得，則，解得或，當時，可得方程，整理可得，顯然不合題意；當時，可得，整理可得，符合題意.故選：A.5.若圓與圓關于直線對稱，則直線的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】由題圓C：,則兩圓心距為，故兩圓相交由于圓O：與圓C：關于直線l對稱，則直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程為，故選D．6.已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時，經過的路程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設小球第一次落地時經過的路程為，第次落地到第次落地經過的路程為，由題意，，數列從第二項起構成以首項為，公比為的等比數列，則第6次著地后經過的路程為（），故選：D7.已知曲線，是曲線上一動點，則（）A.曲線圍成的圖形有4條對稱軸 B.曲線圍成的圖形的周長為C.的最大值為5 D.曲線上任意兩點間的距離不大于4【答案】B【解析】當時，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸右側部分，當時，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸左側部分，所以曲線的圖象如圖所示，對于A，由圖可知曲線圍成的圖形有2條對稱軸，故A錯誤；對于B，曲線由2個圓組成，其周長為，故B正確；對于C，到直線的距離，所以，點到直線的距離為，則曲線上的點到直線的距離最大值為所以最大值為，故C錯誤；對于D，由圖可知曲線上任意兩點間的最大距離為兩圓圓心距離加上兩個半徑，故D錯誤；故選：B.8.曲線上存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，則以下不可能成為公比的數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故曲線為如圖所示的半圓，其圓心為，半徑為1，，因為，，結合曲線為半圓可得，而半圓上存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，故，即，其中為公比，因，，故ABC中的選項均存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，又，故不可能成立公比，故D錯誤，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知兩直線與，則（）A.直線過定點 B.直線在軸上的截距為1C.當時， D.當時，與之間的距離為【答案】AC【解析】對于選項A，對于直線，當時，，解得.所以直線過定點，選項A正確.對于選項B，對于直線，令，則，解得.所以直線在軸上的截距為，選項B錯誤.對于選項C，直線，其斜率；直線，其斜率.當時，，即，，解得，選項C正確.對于選項D，當時，，解得.此時，即.兩平行直線與之間的距離公式為.對于與，距離，選項D錯誤.故選；AC.10.已知數列的前項和為，且，則（）A. B.數列為遞減數列C.數列為等差數列 D.數列的前項和為【答案】ACD【解析】對于A，因為，當時，，即，則，A正確，對于BC，由可得，相減可得，即，由于則，故的奇數項和偶數項分別成等差數列，又，，故，因此對任意的，，故為等差數列，且公差為2，故B錯誤，C正確，對于D，由于，故的前項和為，D正確，故選：ACD.11.已知，圓，點為圓上一動點，且點為線段AP的中點，則（）A.的取值范圍為 B.點的軌跡方程為C.直線AP的斜率的最大值為 D.當點在圓上時，點的橫坐標為【答案】ABD【解析】取的中點，連接，易知當不在橫軸上時，，當P在橫軸上時，若時，仍有；若時，仍有，所以Q軌跡為以B為圓心，1為半徑的圓上，其軌跡方程為，故B正確；所以，即A正確；顯然當與圓O相切時斜率取得最值，不妨設切線方程為，則圓心O到切線的距離為，所以直線AP的斜率的最大值為，故C錯誤；兩圓方程作差得其公共弦方程為，所以Q在圓O上時，即在兩圓的公共弦上，所以其橫坐標為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.等差數列中，，，則__________．【答案】0【解析】由題意設公差為，則，所以.13.已知點P，Q在直線上，且P，Q兩點到原點的距離均小于或等于2，則的最大值為__________．【答案】【解析】設圓，設直線截圓所得的弦為，所以弦長為，所以的最大值為.14.對于任意給定的一個正整數，將分母小于或等于的既約（最簡）真分數按照自左至右遞增排列，并在第一個分數之前加上，在最后一個分數之后加上，該數列稱為階Farey數列，記為，其項數記為，各項的和記為.如下，給出，，…，，在中，有，，已知，則________，_________.【答案】23【解析】分母為6的既約真分數有，，共2個；分母為7的既約真分數有，，，，，，共6個；分母為8的既約真分數有，，，，共4個，由題意得，所以.與100互質的數是不能被2和5整除的數，即個位是1，3，7，9的數都與100互質，所以與100互質的數共有40個，即分母為100的既約真分數有40個，又，所以，由題意可知階Farey數列，每一階最中間的數都為，且關于對稱的兩數之和為1，所以利用倒序相加法可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點為，，．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）直線l經過點A，且B，C兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程．解：（1）法一：依題意，有，所以AD的斜率為2，所以AD所在直線的方程為，即．法二：依題意，有，即直線AD的一個法向量為．由直線的點法式，可得直線AD所在的直線的方程為：，即．（2）法一：（i）當直線l的斜率不存在時，直線．B，C兩點到直線l的距離分別為2和6，不符合題意．（ii）當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為，即．依題意，有，即，所以或，解得或．所以直線的方程為或．法二：因為直線l經過點A，且B，C兩點到直線l的距離相等，所以直線l與直線BC平行，或過線段BC的中點．（i）當直線l與直線BC平行時，直線BC的斜率為，所以直線的方程為，即．（ii）當直線l過線段BC的中點時，線段BC的中點為，所以直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．16.已知圓C經過，兩點，且圓心C在直線上．（1）求過點A，且在兩坐標軸上的截距相等的直線m的方程；（2）求圓C的方程．解：（1）（i）當直線過原點時，直線的斜率為2，此時直線的方程為．（ii）當直線不過原點時，可設直線的方程為．因為直線過點，所以，解得．此時直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．（2）法一：設圓C的方程為，依題意，有解得所以圓的方程為．法二：直線AB的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為1．又線段AB的中點坐標為，所以線段AB的垂直平分線的方程為．由解得即圓心．又圓C的半徑為，所以圓的方程為．法三：因圓心C在直線上，所以可設圓心C的坐標為．依題意，有，所以，解得．所以圓C的圓心，半徑，所以圓C的方程為．17.已知數列是等差數列，為的前項和，且，．（1）求與；（2）