高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.如圖，是一個平面圖形的直觀圖，其中是直角三角形，，，則原圖形的面積是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖，的直觀圖是，則，則的面積為.故選：C.3.在中，點在邊上，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，所以.故選：C.4.在中，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在中，已知，所以，故選：A.5.一個圓臺的母線長為，上、下底面的半徑分別為2，5，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故選：A.6.一艘船以每小時的速度向東航行，船在處看到一個燈塔在南偏東，行駛小時后，船到達處看到燈塔在南偏西，此時測得船與燈塔的距離為，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】如圖，由題意知，在三角形中，則，所以三角形為直角三角形，又，，故（小時）.故選：B.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線不平行于平面，則內(nèi)不存在與平行的直線B.若，則C.若，則m，n是異面直線D.若，則【答案】D【解析】對于A，若，滿足直線不平行于平面，但此時內(nèi)存在無數(shù)條與平行的直線，故A錯誤；對于B，若，則或，故B錯誤；對于C，若，則m，n是異面直線或者平行直線，若，則是異面直線或者平行直線或者相交直線，故C錯誤；對于D，若，則存在，使得，因為，所以，因為，所以，故D正確.故選：D.8.已知是邊長為的正三角形，為的外接圓的一條直徑，為的邊上的動點，則的最大值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】如圖，為外接圓的直徑，為的中點，則外接圓半徑為，則，當為正邊的中點時，，所以的最大值為3.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A.若為純虛數(shù)，則是實數(shù)B.若為虛數(shù)單位，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【解析】對于A選項，若為純虛數(shù)，設(shè)，故為實數(shù)，A對；對于B選項，若為虛數(shù)單位，則，B錯；對于C選項，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第三象限，C對；對于D選項，，其共軛復(fù)數(shù)為，D錯.故選：AC.10.已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為【答案】ACD【解析】對于A,，A正確，對于B，，故B錯誤，對于C,，故，C正確，對于D，，故與的夾角為，故D正確，故選：ACD11.已知正方體的棱長為1，E為線段的中點，，其中，則下列選項正確的是（）A.時，B.時，的最小值為C.時，三棱錐的體積為定值D.時，直線與面的交點軌跡長度為【答案】ABC【解析】由題意，正方體的棱長為1，為線段的中點，且，其中，對于A中，取分別為的中點，當時，可得點在線段上運動，如圖（1）所示，在正方形中，因為的中點，可得，又由平面，平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以，所以A正確.對于B中，在上分別取點和點，使得，連接，當當時，可得點在線段上運動，在直角中，，可得，如圖（2）所示，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，得到平面，連接，則，即的最小值為，所以B正確.對于C中，如圖（3）所示，取的中點，分別連接，當時，可得點在線段上運動，由且平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又由的面積為定值，所以（定值），所以C正確.對于D中，如圖（4）所示，連接，交于點和點，當時，可得點在線段上運動，因為且平面，所以平面，又因為平面平面，所以，由與相似，且相似比為，所以，即直線與面的交點軌跡長度為，所以D不正確.綜上可得，選項正確的是ABC.故答案為：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正方體中，直線與直線所成角的大小為______.【答案】【解析】因為，所以直線與直線AC所成角為直線與直線所成角,即或其補角，是等邊三角形，所以，所以直線與直線AC所成角的大小為.故答案為：13.若圓錐的表面積為，且其母線長是底面半徑的3倍，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，依題意得，解得.設(shè)圓錐的高為，所以，.故答案為：14.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為8cm的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最小值為______cm.【答案】【解析】如圖，是棱長為8cm的正四面體，由題意，，設(shè)的中點為，底面的重心為，為外接球的球心，則有底面，，，是外接球半徑，在中，，在中，，，所以，解得，即正方體的最短棱長為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知向量與的夾角為，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量與向量的夾角.解：（1）因為向量與的夾角為，且，則.（2）因為向量與的夾角為，且，且.可得.（3）設(shè)向量與向量的夾角為，可得，因為，可得，所以向量與向量的夾角為.16.如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別是的中點.求證：（1）平面PCD；（2）平面平面PBC.解：（1）由題意，四棱錐的底面為平行四邊形，點分別是的中點，∴是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由(1)知，平面，平面，∴MN∥平面，∵為平行四邊形，∴是中點，又∵是中點，∴在中，，∵平面，平面，∴∥平面，∵，平面，∴平面平面．17.如圖，在中，為BC邊上一點，且.（1）求的長；（2）求的值；（3）若的面積為，求中邊上的高.解：（1）因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.（2）.（3），所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，解得（舍去），所以中邊上的高為.18.如圖，在多面體中，為等邊三角形，．點為的中點，平面平面.（1）求證：平面；（2）設(shè)點為上一點，且，求二面角的余弦值.（1）證明：因為平面平面ABC，且平面平面，平面ACED，故平面ABC，因為平面ABC，所以．又為等邊三角形，為BC的中點，故，因為，平面，故平面.（2）解：由于平面，平面，故，因為為等邊三角形，為的中點，故，所以為二面角的平面角.因為，故，所以，故二面角的余弦值為.19.如圖，在直角梯形中，，，，，，為的中點，點滿足，.（1）用與表示；（2）求的取值范圍；（3）若點為的重心，是否存在，使得，，三點共線？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）；（2），且，即，所以，又因為，所以；（3）若點為的重心，則，又因為，若，，三點共線，則使得，可得，解得，所以存在，使得，，三點共線.廣東省惠州市五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.如圖，是一個平面圖形的直觀圖，其中是直角三角形，，，則原圖形的面積是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖，的直觀圖是，則，則的面積為.故選：C.3.在中，點在邊上，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，所以.故選：C.4.在中，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為在中，已知，所以，故選：A.5.一個圓臺的母線長為，上、下底面的半徑分別為2，5，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故選：A.6.一艘船以每小時的速度向東航行，船在處看到一個燈塔在南偏東，行駛小時后，船到達處看到燈塔在南偏西，此時測得船與燈塔的距離為，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】如圖，由題意知，在三角形中，則，所以三角形為直角三角形，又，，故（小時）.故選：B.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線不平行于平面，則內(nèi)不存在與平行的直線B.若，則C.若，則m，n是異面直線D.若，則【答案】D【解析】對于A，若，滿足直線不平行于平面，但此時內(nèi)存在無數(shù)條與平行的直線，故A錯誤；對于B，若，則或，故B錯誤；對于C，若，則m，n是異面直線或者平行直線，若，則是異面直線或者平行直線或者相交直線，故C錯誤；對于D，若，則存在，使得，因為，所以，因為，所以，故D正確.故選：D.8.已知是邊長為的正三角形，為的外接圓的一條直徑，為的邊上的動點，則的最大值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】如圖，為外接圓的直徑，為的中點，則外接圓半徑為，則，當為正邊的中點時，，所以的最大值為3.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A.若為純虛數(shù)，則是實數(shù)B.若為虛數(shù)單位，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【解析】對于A選項，若為純虛數(shù)，設(shè)，故為實數(shù)，A對；對于B選項，若為虛數(shù)單位，則，B錯；對于C選項，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第三象限，C對；對于D選項，，其共軛復(fù)數(shù)為，D錯.故選：AC.10.已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為【答案】ACD【解析】對于A,，A正確，對于B，，故B錯誤，對于C,，故，C正確，對于D，，故與的夾角為，故D正確，故選：ACD11.已知正方體的棱長為1，E為線段的中點，，其中，則下列選項正確的是（）A.時，B.時，的最小值為C.時，三棱錐的體積為定值D.時，直線與面的交點軌跡長度為【答案】ABC【解析】由題意，正方體的棱長為1，為線段的中點，且，其中，對于A中，取分別為的中點，當時，可得點在線段上運動，如圖（1）所示，在正方形中，因為的中點，可得，又由平面，平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以，所以A正確.對于B中，在上分別取點和點，使得，連接，當當時，可得點在線段上運動，在直角中，，可得，如圖（2）所示，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，得到平面，連接，則，即的最小值為，所以B正確.對于C中，如圖（3）所示，取的中點，分別連接，當時，可得點在線段上運動，由且平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又由的面積為定值，所以（定值），所以C正確.對于D中，如圖（4）所示，連接，交于點和點，當時，可得點在線段上運動，因為且平面，所以平面，又因為平面平面，所以，由與相似，且相似比為，所以，即直線與面的交點軌跡長度為，所以D不正確.綜上可得，選項正確的是ABC.故答案為：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正方體中，直線與直線所成角的大小為______.【答案】【解析】因為，所以直線與直線AC所成角為直線與直線所成角,即或其補角，是等邊三角形，所以，所以直線與直線AC所成角的大小為.故答案為：13.若圓錐的表面積為，且其母線長是底面半徑的3倍，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，依題意得，解得.設(shè)圓錐的高為，所以，.故答案為：14.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為8cm的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最小值為______cm.【答案】【解析】如圖，是棱長為8cm的正四面體，由題意，，設(shè)的中點為，底面的重心為，為外接球的球心，則有底面，，，是外接球半徑，在中，，在中，，，所以，解得，即正方體的最短棱長為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知向量與的夾角為，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量與向量的夾角.解：（1）因為向量與的夾角為，且，則.（2）因為向量與的夾角為，且，且.可得.（3）設(shè)向量與向量的夾角為，可得，因為，可得，所以向量與向量的夾角為.16.如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別是的中點.求證：（1）平面PCD；（2）平面平面PBC