高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷第一部分選擇題（共58分）一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.已知集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，所以.2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,故選:C.3.已知向量，，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以，又，所以.故選：C.4.圓的圓心到直線的距離是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由題意可得：圓的一般方程為，轉化為標準方程：，即圓的圓心坐標為，因為直線方程為，所以圓心到直線的距離為，故選：D.5.在空間四邊形中，、分別是、的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意易知是的中位線，即，所以.故選：C.6.已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為銳角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.7.過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過點定點，過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，有，故,當且僅當時取等號，所以面積的最大值為故選:8.已知是定義在上的偶函數(shù)，，當時，，則（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，，可得，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，可得，又因為當時，，可得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每個小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選得對應分，錯選和不選得0分.9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為不是互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；全是白球【答案】AB【解析】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯誤；對于D：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯誤．故選：AB．10.已知直線的方程，則（）A.恒過定點B.存在實數(shù)使直線在坐標軸上截距互為相反數(shù)C.直線的斜率一定存在D.點到直線的距離最大值為【答案】ABD【解析】A.聯(lián)立，得，所以點滿足方程，即直線恒過定點，故A正確；B.當時，，，當時，，，當，得，故B正確；C.直線的方程，當，時，直線的斜率不存在，故C錯誤；D.點到直線距離的最大值為點與定點之間的距離，即，故D正確.故選：ABD.11.如圖，已知在長方體中，，點為棱上的一個動點，平面與棱交于點，則下列命題正確的是（）A.當點在棱上的移動時，恒有B.在棱上總存在點，使得平面C.四棱錐的體積為定值D.四邊形的周長的最小值是【答案】ACD【解析】對于A，當點為棱上的移動時，平面，由于平面，故，故A正確；對于B，當點在時，平面，故B錯誤；對于C，長方體中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，則四邊形為平行四邊形；故，由于，故，故，故C正確；對于D，如圖，將長方體展開，使四個側面在同一個平面內(nèi)，連接（左側）交于F點，由于,則F為的中點，同理E為的中點，則四邊形的周長的最小值是,則D正確，故選：ACD.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卷的橫線上.12.已知向量，，且，則______.【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，即.13.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______.【答案】【解析】直線為：，顯然時，兩條直線平行，所以這兩條直線間的距離為.14.設動點在棱長為的正方體的對角線上，且異于點，記當為銳角時，的取值范圍是__________．【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則，，由可得，，，由圖可知，不共線，所以當為銳角時，即，解得或，又，所以.所以的取值范圍是.四、解答題：本大題共5個小題，滿分共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在△OAB中，O是坐標原點，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程解：（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）設的中點為，若，且，求的面積．解：（1）由題意得，由正弦定理得，即，在中，因為，，，，．（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，．所以的面積.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接.因為是邊長為2的正方形，所以，因為，所以，，所以，則.因，所以.因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，故，，.設平面的法向量為，則，令，則.設平面的法向量為，則，令，則.，記二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則.18.航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標志著神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功．某學校高一年級利用高考放假期間開展組織1200名學生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分同學中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）求的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．解：（1）因為抽取的200名學生中,不高于50分的人數(shù)為（人），50分到60分的人數(shù)為（人），所以從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人的成績，不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由，解得，平均數(shù)，因為成績不高于70分的頻率為，成績不高于80分的頻率為，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為.（3）三人中至少有兩位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，19.已知函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)的定義域為.（1）求的定義域和值域；（2）若存在，使得成立，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結論，求函數(shù)的對稱中心.解：（1）由題意可得．由，得，故．又，且，的值域為；（2），即，則．存在，使得成立，．而，當，即時，取得最小值，故；（3）設的對稱中心為，則函數(shù)是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，則恒成立，恒成立，所以恒成立，所以，因為上式對任意實數(shù)恒成立，所以，得，所以函數(shù)圖象的對稱中心為．廣東省茂名市化州市2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷第一部分選擇題（共58分）一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.已知集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，所以.2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,故選:C.3.已知向量，，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以，又，所以.故選：C.4.圓的圓心到直線的距離是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由題意可得：圓的一般方程為，轉化為標準方程：，即圓的圓心坐標為，因為直線方程為，所以圓心到直線的距離為，故選：D.5.在空間四邊形中，、分別是、的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意易知是的中位線，即，所以.故選：C.6.已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為銳角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.7.過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過點定點，過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，有，故,當且僅當時取等號，所以面積的最大值為故選:8.已知是定義在上的偶函數(shù)，，當時，，則（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，，可得，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，可得，又因為當時，，可得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每個小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選得對應分，錯選和不選得0分.9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為不是互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；全是白球【答案】AB【解析】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯誤；對于D：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯誤．故選：AB．10.已知直線的方程，則（）A.恒過定點B.存在實數(shù)使直線在坐標軸上截距互為相反數(shù)C.直線的斜率一定存在D.點到直線的距離最大值為【答案】ABD【解析】A.聯(lián)立，得，所以點滿足方程，即直線恒過定點，故A正確；B.當時，，，當時，，，當，得，故B正確；C.直線的方程，當，時，直線的斜率不存在，故C錯誤；D.點到直線距離的最大值為點與定點之間的距離，即，故D正確.故選：ABD.11.如圖，已知在長方體中，，點為棱上的一個動點，平面與棱交于點，則下列命題正確的是（）A.當點在棱上的移動時，恒有B.在棱上總存在點，使得平面C.四棱錐的體積為定值D.四邊形的周長的最小值是【答案】ACD【解析】對于A，當點為棱上的移動時，平面，由于平面，故，故A正確；對于B，當點在時，平面，故B錯誤；對于C，長方體中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，則四邊形為平行四邊形；故，由于，故，故，故C正確；對于D，如圖，將長方體展開，使四個側面在同一個平面內(nèi)，連接（左側）交于F點，由于,則F為的中點，同理E為的中點，則四邊形的周長的最小值是,則D正確，故選：ACD.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卷的橫線上.12.已知向量，，且，則______.【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，即.13.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______.【答案】【解析】直線為：，顯然時，兩條直線平行，所以這兩條直線間的距離為.14.設動點在棱長為的正方體的對角線上，且異于點，記當為銳角時，的取值范圍是__________．【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則，，由可得，，，由圖可知，不共線，所以當為銳角時，即，解得或，又，所以.所以的取值范圍是.四、解答題：本大題共5個小題，滿分共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在△OAB中，O是坐標原點，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程解：（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）設的中點為，若，且，求的面積．解：（1）由題意得，由正弦定理得，即，在中，因為，，，，．（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，．所以的面積.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接.因為是邊長為2的正方形，所以，因為，所以，，所以，則.因，所以.因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，故，，.設平面的法向量為，則，令，則.設平面的法向量為，則，令，則.，記二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則.18.航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標志著神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功．某學校高一年級