高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠市2024-2025學年高二上學期期中聯合學業(yè)質量監(jiān)測考試數學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.將1枚硬幣拋2次，恰好出現1次正面的概率是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因為每枚硬幣都有正、反兩種結果，所以將1枚硬幣拋2次，一共可能出現4種結果：正正，正反，反正，反反，其中恰好出現1次正面的結果有2種結果：正反，反正；所以恰好出現1次正面的概率為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，因為直線，可得斜率，即又因為，所以.故選：C.3.已知空間向量，若共面，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為若共面，則，即，故，解得故選:B.4.已知直線，若關于對稱的直線為，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，設直線的方程為且.因為直線關于直線對稱，所以與間的距離等于與間的距離.由兩平行直線間的距離公式，得，解得或（舍去）.所以直線的方程為.故選：D.5.已知過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，則直線必過定點（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心.則以為直徑的圓的圓心為，設以為直徑的圓的半徑為，則.所以以為直徑的圓的方程為.過點作圓的切點分別為，,兩圓的交點為,,即兩圓的公共弦為.將兩圓的方程相減可得直線的方程為，即.令得.所以直線必過定點.故選：A.6.若直線（，）平分圓，則的最小值是（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】直線平分圓，則直線過圓心，即，所以(當且僅當時，取等號)故選：C.7.在平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，有，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】令，設，由，等號兩邊分別平方得：，即，整理得，解得（或舍去），即.故選：A.8.已知圓和圓交于兩點，點在圓上運動，點在圓上運動，則下列說法正確的是（）A.圓和圓關于直線對稱B.圓和圓的公共弦長為C.的取值范圍為D.若為直線上的動點，則的最小值為【答案】D【解析】對于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點為，若圓和圓關于直線對稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點不在直線上，故A錯誤；對于B，到直線的距離，故公共弦長為，B錯誤；對于C，圓心距為，當點和重合時，的值最小，當四點共線時，的值最大為，故的取值范圍為，C錯誤；對于D，如圖，設關于直線對稱點為，則解得即關于直線對稱點為，連接交直線于點，此時最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩人各投籃一次，若兩人投中的概率都是0.6，且兩人是否投中彼此互不影響，則下列判斷正確的是（）A.兩人都投中的概率是0.36B.恰有一人投中的概率是0.48C.至少有一人投中的概率是0.86D.至多有一人投中的概率是0.64【答案】ABD【解析】設事件為“甲投中”，設事件為“乙投中”，則事件A、B相互獨立都投中的概率為，故A正確；恰好有一人投中的概率為，故B正確；至少有一人投中，其對立事件為兩人都未投中，故至少一人投中的概率為，故C錯誤；至多有一人投中的對立事件為兩人都投中，故至多有一人投中的概率為，故D正確.故選:ABD.10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.當時，圓與圓相離B.當時，是圓與圓的一條公切線C.當時，圓與圓有一條公切線是D.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】ACD【解析】由可知圓心為，半徑為1，由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，對于A，當時，，圓與圓相離，故A正確；對于B，當時，與圓相切，圓心到的距離為3，即與圓不相切，所以不是圓與圓的一條公切線，故B錯誤；對于C，當時，，圓與圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線的方程為.②另一條公切線與公切線關于過兩圓圓心的直線對稱.易知過兩圓圓心的直線的方程為，由，得，由對稱性可知公切線過點，設公切線的方程為，則點O0,0到的距離為1，所以，解得，所以公切線的方程為，即.③還有一條公切線與直線垂直，設公切線的方程為，易知，則點O0,0到的距離為1，所以，解得或（舍去），所以公切線的方程為，即.綜上，所求直線方程為或或，故C正確；對于D，當時，，此時兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，故D正確.故選：ACD.11.如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結論中正確的有（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過且與平面平行的平面【答案】AD【解析】因為四邊形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.設，則，其中，由題設可得，，對于A，當即時，，故A正確；對于B，，故，當且僅當即時等號成立，故，故B錯誤；對于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯誤；對于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知A，B，C三點共線，則對空間任一點，存在三個不全為0的實數a，b，c使，那么的值為________________.【答案】0【解析】因三點共線，則存在唯一實數使，顯然且，否則點重合或點重合，則，整理得，存在三個不為0的實數，使，此時.13.已知圓，直線.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為______.【答案】【解析】由題可知，圓的圓心為(0，0)，半徑為2，故要使圓上恰有3個點到l的距離為1，則圓心到直線l的距離為1，即．14.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是______________．【答案】【解析】當時，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的右半圓；當時，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的左半圓；所以曲線的圖像如圖所示：當直線位于與之間或與之間時，直線與曲線有兩個不同的交點，當直線位于時，直線與圓相切，則，解得；當直線位于時，；直線位于與之間時，.同理可得，直線位于與之間時，.綜上，實數的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②直線的一個方向向量為；③與直線平行．已知直線l過點，_________________．（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓相交于P，Q，求弦長．解：（1）選①：因為直線的斜率為，因為直線與直線l垂直，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.選②：因為直線的一個方向向量為所以直線l的向量為，依題意，直線l的方程為即.選③：因為的斜率為，又因為直線l與平行，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.（2）圓的圓心到直線的距離為,所以.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，底面ABCD，點為棱PC的中點，.（1）證明:平面PAD;（2）求點E到直線CD的距離;（3）求直線BE與平面PDC所成角的余弦值.（1）證明：取PD的中點，連接AG，EG，如圖.和分別為PD和PC的中點，，且，又底面ABCD是直角梯形，，且.即四邊形ABEG為平行四邊形，，平面平面PAD，平面PAD.（2）解：因為，所以，因為底面ABCD，所以，又AD，PA為平面PAD內兩條相交直線，所以平面PAD，又PD在平面PAD內，所以，因為為PC的中點，所以點到直線CD的距離為，因為，所以，所以到直線CD的距離為.（3）解：由（1）知，因為為PD的中點，所以由(2)知平面PAD，平面PAD，所以，PD，CD為平面PCD內兩條相交直線，所以平面，所以平面所以BE與平面PCD所成角為90°，其余弦值為0.17.甲、乙、丙三人參加競答游戲，一輪三個題目，每人回答一題，為體現公平，制定如下規(guī)則：①第一輪回答順序為甲、乙、丙，第二輪回答順序為乙、丙、甲，第三輪回答順序為丙、甲、乙，第四輪回答順序為甲、乙、丙，…，后面按此規(guī)律依次向下進行；②當一人回答不正確時，競答結束，最后一個回答正確的人勝出.已知每次甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，丙回答正確的概率為，三個人回答每個問題相互獨立.（1）求一輪中三人全部回答正確的概率；（2）記為甲在第輪勝出的概率，為乙在第輪勝出的概率，求與，并比較與的大小.解：（1）設“一輪中三人全部回答正確”為事件M，則.（2）甲在第一輪勝出的概率為.甲在第二輪勝出，說明第一輪、第二輪中三人都回答正確，第三輪中丙回答錯誤，故甲在第二輪勝出的概率為.易知所以當時，;當時，;當時，.同理可得，當時，；當時，；當時，.所以當時，；當時，；當時，.18.如圖，直三棱柱的體積為的面積為.（1）求到平面的距離；（2）設為中點，，平面平面.（i）證明：平面;（ii）求二面角的正弦值.（1）解：在直三棱柱中，設點到平面距離為，則，解得，所以點到平面的距離為.（2）（i）證明：取的中點，連接AE，如圖，因為，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面平面ABC，可得，又平面且相交，所以平面.（ii）解：由（i）可知:兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由（1）得，所以，所以，則，所以的中點，則，設平面ABD的一個法向量，則，令，可得，設平面BDC的一個法向量，則，令，可得，則，所以二面角的正弦值為.19.已知圓，直線與圓交于，兩點，過，分別作直線的垂線，垂足分別為分別異于.（1）求實數的取值范圍;（2）若，用含的式子表示四邊形的面積;（3）當時，若直線AD和直線交于點，證明點在某條定直線上運動，并求出該定直線的方程.解：（1）圓圓心為O0,0，半徑為，因為直線與圓交于，兩點，所以圓心O0,0到直線的距離，解得，所以實數的取值范圍為；（2）當時，設Ax1,y1，Bx由，消元整理得，所以，，，所以，因為四邊形為直角梯形，所以四邊形的面積；（3）由Ax1,y1，Bx2,y當時，由（2）知，，，，，所以直線方程為，直線的方程為，因為、相交，所以，即，，所以，解得，聯立、的方程得，，，所以，所以點在定直線上運動.廣東省清遠市2024-2025學年高二上學期期中聯合學業(yè)質量監(jiān)測考試數學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.將1枚硬幣拋2次，恰好出現1次正面的概率是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因為每枚硬幣都有正、反兩種結果，所以將1枚硬幣拋2次，一共可能出現4種結果：正正，正反，反正，反反，其中恰好出現1次正面的結果有2種結果：正反，反正；所以恰好出現1次正面的概率為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，因為直線，可得斜率，即又因為，所以.故選：C.3.已知空間向量，若共面，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為若共面，則，即，故，解得故選:B.4.已知直線，若關于對稱的直線為，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，設直線的方程為且.因為直線關于直線對稱，所以與間的距離等于與間的距離.由兩平行直線間的距離公式，得，解得或（舍去）.所以直線的方程為.故選：D.5.已知過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，則直線必過定點（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心.則以為直徑的圓的圓心為，設以為直徑的圓的半徑為，則.所以以為直徑的圓的方程為.過點作圓的切點分別為，,兩圓的交點為,,即兩圓的公共弦為.將兩圓的方程相減可得直線的方程為，即.令得.所以直線必過定點.故選：A.6.若直線（，）平分圓，則的最小值是（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】直線平分圓，則直線過圓心，即，所以(當且僅當時，取等號)故選：C.7.在平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，有，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】令，設，由，等號兩邊分別平方得：，即，整理得，解得（或舍去），即.故選：A.8.已知圓和圓交于兩點，點在圓上運動，點在圓上運動，則下列說法正確的是（）A.圓和圓關于直線對稱B.圓和圓的公共弦長為C.的取值范圍為D.若為直線上的動點，則的最小值為【答案】D【解析】對于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點為，若圓和圓關于直線對稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點不在直線上，故A錯誤；對于B，到直線的距離，故公共弦長為，B錯誤；對于C，圓心距為，當點和重合時，的值最小，當四點共線時，的值最大為，故的取值范圍為，C錯誤；對于D，如圖，設關于直線對稱點為，則解得即關于直線對稱點為，連接交直線于點，此時最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩人各投籃一次，若兩人投中的概率都是0.6，且兩人是否投中彼此互不影響，則下列判斷正確的是（）A.兩人都投中的概率是0.36B.恰有一人投中的概率是0.48C.至少有一人投中的概率是0.86D.至多有一人投中的概率是0.64【答案】ABD【解析】設事件為“甲投中”，設事件為“乙投中”，則事件A、B相互獨立都投中的概率為，故A正確；恰好有一人投中的概率為，故B正確；至少有一人投中，其對立事件為兩人都未投中，故至少一人投中的概率為，故C錯誤；至多有一人投中的對立事件為兩人都投中，故至多有一人投中的概率為，故D正確.故選:ABD.10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.當時，圓與圓相離B.當時，是圓與圓的一條公切線C.當時，圓與圓有一條公切線是D.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】ACD【解析】由可知圓心為，半徑為1，由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，對于A，當時，，圓與圓相離，故A正確；對于B，當時，與圓相切，圓心到的距離為3，即與圓不相切，所以不是圓與圓的一條公切線，故B錯誤；對于C，當時，，圓與圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線的方程為.②另一條公切線與公切線關于過兩圓圓心的直線對稱.易知過兩圓圓心的直線的方程為，由，得，由對稱性可知公切線過點，設公切線的方程為，則點O0,0到的距離為1，所以，解得，所以公切線的方程為，即.③還有一條公切線與直線垂直，設公切線的方程為，易知，則點O0,0到的距離為1，所以，解得或（舍去），所以公切線的方程為，即.綜上，所求直線方程為或或，故C正確；對于D，當時，，此時兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，故D正確.故選：ACD.11.如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結論中正確的有（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過且與平面平行的平面【答案】AD【解析】因為四邊形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.設，則，其中，由題設可得，，對于A，當即時，，故A正確；對于B，，故，當且僅當即時等號成立，故，故B錯誤；對于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯誤；對于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知A，B，C三點共線，則對空間任一點，存在三個不全為0的實數a，b，c使，那么的值為________________.【答案】0【解析】因三點共線，則存在唯一實數使，顯然且，否則點重合或點重合，則，整理得，存在三個不為0的實數，使，此時.13.已知圓，直線.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為______.【答案】【解析】由題可知，圓的圓心為(0，0)，半徑為2，故要使圓上恰有3個點到l的距離為1，則圓心到直線l的距離為1，即．14.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是______________．【答案】【解析】當時，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的右半圓；當時，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的左半圓；所以曲線的圖像如圖所示：當直線位于與之間或與之間時，直線與曲線有兩個不同的交點，當直線位于時，直線與圓相切，則，解得；當直線位于時，；直線位于與之間時，.同理可得，直線位于與之間時，.綜上，實數的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②直線的一個方向向量為；③與直線平行．已知直線l過點，_________________．（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓相交于P，Q，求弦長．解：（1）選①：因為直線的斜率為，因為直線與直線l垂直，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.選②：因為直線的一個方向向量為所以直線l的向量為，依題意，直線l的方程為即.選③：因為的斜率為，又因為直線l與平行，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.（2）圓的圓心到直線的距離為,所以.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，底面ABCD，點為棱PC的中點，.（1）證明:平面PAD;（2）求點E到直線CD的距離;（3）求直線BE與平面PDC所成角的余弦值.（1）證明：取PD的中點，連接AG，EG，如圖.和分別為PD和PC的中點，，且，又底面ABCD是直角梯形，，且.即四邊形ABEG為平行四邊形，，平面平面PAD，平面PAD.（2）解：因為，所以，因為底面ABCD，所以，又AD，PA為平面PAD內兩條相交直線，所以平面PAD，又PD在平面PAD內，所以，因為為PC的中點，所以點到直線CD的距離為，因為，所以，所以到直線CD的距離為.（3）解：由（1）知，因為為PD的中點，所以由(2)知平面PAD，平面PAD，所以，PD，CD為平面PCD內兩條相交直線，所以平面，所以平面所以BE與平面PCD所成角為90°，其余弦值為0.17.甲、乙、丙三人參加競答游戲，一輪三個題目，每人回答一題，為體現公平，制定如下規(guī)則：①第一輪回答順序為甲、乙、丙，第二輪回答順序為乙、丙、甲，第三輪回答順序為丙、甲、乙，第四輪回答順序為甲、乙、丙，…，后面按此規(guī)律依次向下進行