高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市潮南區(qū)某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.已知全集，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，而，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，且，整理得，解得或，即等價(jià)于或，且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．3.已知，則的值是（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】由題得.故選：D4.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】，則在上的投影向量的模為.故選：C5.如圖所示，已知，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A6.已知是直角三角形，每個(gè)邊都增加相同的長度，則新的三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，則可得，設(shè)每條邊增加，則新的三角形的三邊分別為，因?yàn)?，所以，即為新的三角形的最大邊，所以新的三角形的最大角的余弦值為因?yàn)椋?，所以新的三角形的最大角為銳角，則新的三角形為銳角三角形.故選：B7.設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，，，則（）A.4 B.3 C.2 D.6【答案】C【解析】由，得，，而故選：．8.在中，，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；又，故點(diǎn)在三角形底邊的高線上，則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：又，則，故，；則，設(shè)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；也即的最小值為.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的可能的取值有（）A. B.1 C. D.2【答案】BC【解析】由三點(diǎn)共線，得，則，即所以或.故選：BC10.下列各組向量中，可以作基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】對于A，由，得，不平行，則向量，可以作基底，A是；對于B，由，得，平行，則向量，不可以作基底，B不是；對于C，由，得，不平行，則向量，可以作基底，C是；對于D，由，得，平行，則向量，不可以作基底，D不是.故選：AC11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為??，已知，，則（）A.B.的周長的最大值為C.當(dāng)最大時(shí)，的面積為D.的最大值為【答案】BC【解析】由正弦定理可得，，即，則由余弦定理得，因，則，故A錯(cuò)誤；得，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的周長的最大值為，故B正確；由正弦定理得，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，，故C正確；由C選項(xiàng)可知，，其中，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中，則______．【答案】3【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以,解得：故答案為：313.設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若三點(diǎn)共線，且，，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】由于三點(diǎn)共線，所以，即，所以，解得.故答案為：14.如圖，三點(diǎn)位于同一水平面，位于的北偏西30°方向，C位于的北偏東60°方向，在的正西方向，且之間的距離為50米，處正上方建有一棟樓房，處正上方建有一座塔，從處觀察塔尖，測得仰角為45°，從樓房頂處觀察塔尖，測得仰角為30°，則樓房的高度為__________米.【答案】25【解析】因?yàn)槲挥诘谋逼?0°方向，位于的北偏東60°方向，在的正西方向，且，之間的距離為50米，則,,,所以米.又從處觀察塔尖，測得仰角為45°，所以米.過作的垂線，垂足為（如圖），則米，，所以米，所以樓房的高度為米.四、解答題（共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知中，內(nèi)角的對邊分別為；（1）若，，，求的面積；（2）若，求角的值.解：（1）由正弦定理，可得，又，所以，則，.（2）由，可得，由余弦定理得，又，所以.16.（1）已知，，與的夾角，求．（2）已知，，與的夾角為60°，求．（3）已知，，與的夾角為，問：當(dāng)為何值時(shí)，.解：（1）．（2）．（3）因?yàn)?，，與的夾角為，所以，若，則，即，所以，所以，可得：.17.已知為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)的模最?。浚?）當(dāng)復(fù)數(shù)的模最小時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，其中，，求的最小值及取得最小值時(shí)的值．解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的模最小，為．（2）當(dāng)復(fù)數(shù)的模最小時(shí)，．又點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，所以．又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．又，，，所以，．所以的最小值為，此時(shí)，．18.如圖，在梯形中，，.（1）若，求；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若，且，證明：只有一解.解：（1）在中由正弦定理，即，所以；（2）因?yàn)?，所以，又，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，即外接圓的半徑為；（3）因?yàn)?，，且，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，在中由余弦定理，所以，所以只有一?19.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積.（從下面①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.①是的平分線；②為線段的中點(diǎn).（3）若為銳角三角形，求邊上的高取值范圍.解：（1）∵在中，：∴結(jié)合正弦定理可得：由得，，，，又，所以．（2）若選①：由平分得：，，即．在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，解得，；若選②：由題設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，．（3）由正弦定理得，故,由于為銳角三角形，故,故，因此，故當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)取到最大值，當(dāng)或，即或時(shí)，此時(shí)，因此，故三角形的面積為，故邊上的高為，廣東省汕頭市潮南區(qū)某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.已知全集，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，而，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，且，整理得，解得或，即等價(jià)于或，且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．3.已知，則的值是（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】由題得.故選：D4.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】，則在上的投影向量的模為.故選：C5.如圖所示，已知，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A6.已知是直角三角形，每個(gè)邊都增加相同的長度，則新的三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，則可得，設(shè)每條邊增加，則新的三角形的三邊分別為，因?yàn)椋?，即為新的三角形的最大邊，所以新的三角形的最大角的余弦值為因?yàn)椋?，所以新的三角形的最大角為銳角，則新的三角形為銳角三角形.故選：B7.設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，，，則（）A.4 B.3 C.2 D.6【答案】C【解析】由，得，，而故選：．8.在中，，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；又，故點(diǎn)在三角形底邊的高線上，則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：又，則，故，；則，設(shè)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；也即的最小值為.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的可能的取值有（）A. B.1 C. D.2【答案】BC【解析】由三點(diǎn)共線，得，則，即所以或.故選：BC10.下列各組向量中，可以作基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】對于A，由，得，不平行，則向量，可以作基底，A是；對于B，由，得，平行，則向量，不可以作基底，B不是；對于C，由，得，不平行，則向量，可以作基底，C是；對于D，由，得，平行，則向量，不可以作基底，D不是.故選：AC11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為??，已知，，則（）A.B.的周長的最大值為C.當(dāng)最大時(shí)，的面積為D.的最大值為【答案】BC【解析】由正弦定理可得，，即，則由余弦定理得，因，則，故A錯(cuò)誤；得，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的周長的最大值為，故B正確；由正弦定理得，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，，故C正確；由C選項(xiàng)可知，，其中，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中，則______．【答案】3【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以,解得：故答案為：313.設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若三點(diǎn)共線，且，，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】由于三點(diǎn)共線，所以，即，所以，解得.故答案為：14.如圖，三點(diǎn)位于同一水平面，位于的北偏西30°方向，C位于的北偏東60°方向，在的正西方向，且之間的距離為50米，處正上方建有一棟樓房，處正上方建有一座塔，從處觀察塔尖，測得仰角為45°，從樓房頂處觀察塔尖，測得仰角為30°，則樓房的高度為__________米.【答案】25【解析】因?yàn)槲挥诘谋逼?0°方向，位于的北偏東60°方向，在的正西方向，且，之間的距離為50米，則,,,所以米.又從處觀察塔尖，測得仰角為45°，所以米.過作的垂線，垂足為（如圖），則米，，所以米，所以樓房的高度為米.四、解答題（共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知中，內(nèi)角的對邊分別為；（1）若，，，求的面積；（2）若，求角的值.解：（1）由正弦定理，可得，又，所以，則，.（2）由，可得，由余弦定理得，又，所以.16.（1）已知，，與的夾角，求．（2）已知，，與的夾角為60°，求．（3）已知，，與的夾角為，問：當(dāng)為何值時(shí)，.解：（1）．（2）．（3）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以，若，則，即，所以，所以，可得：.17.已知為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)的模最?。浚?）當(dāng)復(fù)數(shù)的模最小時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，其中，，求的最小值及取得最小值時(shí)的值．解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的模最小，為．（2）當(dāng)復(fù)數(shù)的模最小時(shí)，．又點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，所以．又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．又，，，所以，．所以的最小值為，此時(shí)，．18.如圖，在梯形中，，.（1）若，求；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若，且，證明：只有一解.解：（1）在中由正弦定理，即，所以；（2）因?yàn)?，所以，又，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，即外接圓的半徑為；（3）因?yàn)?，，且，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，在中由余弦定理，所以，所以只有一?19.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，為邊上的一