高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分省級示范高中2024-2025學年高一下學期期中測試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，且，解得，所以.故選：D2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以．故選：C．3.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則角等于（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】在△ABC中，，，，由正弦定理得，且，則，可得，所以．故選：B．4.如圖所示，中，點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則，，所以.故選：A．5.年奧地利數(shù)學家、天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C．6.在下列函數(shù)中，周期為的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，周期為，A不是；對于B，，周期為，B不是；對于C，，周期為，C是；對于D，，周期為,D不是.故選：C7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上共有8100個零點【答案】D【解析】由圖可知，，且，可得，又，∴，故A錯誤；由五點作圖法可知，，解得，則的最小正周期為，故B錯誤；函數(shù)解析式為，當時，，，在區(qū)間上不是單調(diào)減的，故C錯誤；由，可得，即，再由，解得，由，解得，∴，則在區(qū)間上共有8100個零點，故D正確．故選：D．8.若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱該函數(shù)為“完整函數(shù)”．已知是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，即是上的“完整函數(shù)”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因為，因此，即在上至少存在兩個最大值點，所以，解得；當，即時，一定滿足題意；若，因為，，所以，又易知；所以只需保證即可，解得，綜上可知．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.與的夾角為D.在方向上的投影向量是【答案】ABD【解析】對于A，由題意可得，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，在方向上的投影向量是，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一條對稱軸B.的對稱中心是C.在區(qū)間上的值域是D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則【答案】AD【解析】由，解得，所以的對稱軸方程為，當時，，所以是的一條對稱軸，故A正確；由，可得，所以的對稱中心是，故B錯誤；當時，，此時的最小值為，故C錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，所以，所以是奇函數(shù)，所以，故D正確.故選：AD.11.在銳角中，設分別表示角對邊，，，則下列選項正確的有（）A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正確；對于B：由正弦定理，則，為銳角三角形，則，即，，所以，故B不正確；對于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；對于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此時，當有最大值時，即時，有最大值為，此時，，又，，，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_______．【答案】【解析】因為為純虛數(shù)，則，解得.故答案為：.13.在中，角的對邊分別為，則___________．【答案】【解析】由余弦定理可得：，∴，所以．故答案為：14.在中，，點為三邊上的動點，是外接圓的直徑，則的取值范圍是___________．【答案】．【解析】如圖：記的外接圓半徑為，，由圖可知的最大值為時，取最大值0；因為中，所以當為中點時，最小，此時，所以取最小值，故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分，應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，，，若一復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復數(shù)為“理想復數(shù)”，已知為“理想復數(shù)”．（1）求實數(shù)；（2）定義復數(shù)的一種運算“”：，求．解：（1）由題得，，是“理想復數(shù)”，，；（2）由（1）知，所以，由，得，.16.已知.（1）求；（2）求.解：（1）因為，，則，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以.17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.（1）求；（2）若的面積為，求的值.解：（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.18.已知向量，函數(shù)，函數(shù)圖像相鄰對稱軸之間的距離為.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得的圖象，若關于的方程在上只有一個解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，因為相鄰的對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以，令，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)，再向左平移個單位得，令，則，所以，因為在上只有一個解，由的圖象可得，或，所以的取值范圍是19.如圖，扇形的半徑為1，圓心角為是弧上的動點（不含點），作交于點，作交于點，同時以為斜邊，作，且．（1）設，將的面積表示成的函數(shù)并求其最大值；（2）從點出發(fā)，經(jīng)過線段，到達點，求途經(jīng)線段長度的最大值．解：（1）由，則，在中，，，則，，所以，因為，則，當時，即當時，的面積取最大值，且最大值為.（2）過點作，垂足為點，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，因為，，則為等腰直角三角形，則，所以，，，，所以，，令，因為，則，則，所以，，，所以，，所以，，故當時，取最大值，因此，從點出發(fā)，經(jīng)過線段、、、，到達點，求途徑線段長度的最大值為.湖北省部分省級示范高中2024-2025學年高一下學期期中測試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，且，解得，所以.故選：D2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以．故選：C．3.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則角等于（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】在△ABC中，，，，由正弦定理得，且，則，可得，所以．故選：B．4.如圖所示，中，點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則，，所以.故選：A．5.年奧地利數(shù)學家、天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C．6.在下列函數(shù)中，周期為的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，周期為，A不是；對于B，，周期為，B不是；對于C，，周期為，C是；對于D，，周期為,D不是.故選：C7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上共有8100個零點【答案】D【解析】由圖可知，，且，可得，又，∴，故A錯誤；由五點作圖法可知，，解得，則的最小正周期為，故B錯誤；函數(shù)解析式為，當時，，，在區(qū)間上不是單調(diào)減的，故C錯誤；由，可得，即，再由，解得，由，解得，∴，則在區(qū)間上共有8100個零點，故D正確．故選：D．8.若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱該函數(shù)為“完整函數(shù)”．已知是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，即是上的“完整函數(shù)”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因為，因此，即在上至少存在兩個最大值點，所以，解得；當，即時，一定滿足題意；若，因為，，所以，又易知；所以只需保證即可，解得，綜上可知．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.與的夾角為D.在方向上的投影向量是【答案】ABD【解析】對于A，由題意可得，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，在方向上的投影向量是，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一條對稱軸B.的對稱中心是C.在區(qū)間上的值域是D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則【答案】AD【解析】由，解得，所以的對稱軸方程為，當時，，所以是的一條對稱軸，故A正確；由，可得，所以的對稱中心是，故B錯誤；當時，，此時的最小值為，故C錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，所以，所以是奇函數(shù)，所以，故D正確.故選：AD.11.在銳角中，設分別表示角對邊，，，則下列選項正確的有（）A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正確；對于B：由正弦定理，則，為銳角三角形，則，即，，所以，故B不正確；對于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；對于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此時，當有最大值時，即時，有最大值為，此時，，又，，，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_______．【答案】【解析】因為為純虛數(shù)，則，解得.故答案為：.13.在中，角的對邊分別為，則___________．【答案】【解析】由余弦定理可得：，∴，所以．故答案為：14.在中，，點為三邊上的動點，是外接圓的直徑，則的取值范圍是___________．【答案】．【解析】如圖：記的外接圓半徑為，，由圖可知的最大值為時，取最大值0；因為中，所以當為中點時，最小，此時，所以取最小值，故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分，應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，，，若一復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復數(shù)為“理想復數(shù)”，已知為“理想復數(shù)”．（1）求實數(shù)；（2）定義復數(shù)的一種運算“”：，求．解：（1）由題得，，是“理想復數(shù)”，，；（2）由（1）知，所以，由，得，.16.已知.（1）求；（2）求.解：（1）因為，，則，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以.17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.（1）求；（2）若的面積為，求的值.解：（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.18.已知向量，函數(shù)，函數(shù)圖像相鄰對稱軸之間的距離為.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得的圖象，若關于的方程在上只有一個解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，因為相鄰的對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以，令，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)，再向左平移個單位得，令，則，所以，因為