高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學校2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，所以漸近線方程為，即故選：C.3.已知角的終邊不在坐標軸上，且，則（）A. B. C.或1 D.【答案】A【解析】因為，所以，因為角的終邊不在坐標軸上，所以，則，由二倍角余弦公式可得：故選：A.4.阿基米德在其著作《關于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓長半軸的長度、短半軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，，為橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上任意一點.若，則橢圓C的焦距為().A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】根據題意可得，則，因為，所以a=2，則，所以橢圓C的焦距為：故選：D.5.設函數，若在上單調遞增，則a的取值范圍為().A. B. C. D.【答案】B【解析】因為若在上單調遞增，且，可得，即，解得，即a的取值范圍為.故選：.6.已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】由題意得，準線為，點A在拋物線C的內部，過點A作AB垂直于準線，垂足為B，過點P作PD垂直于準線，垂足為D，則有，當且僅當，P為AB與拋物線的交點時，等號成立，所以的最小值為故選：C.7.芻甍是中國古代算數中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，又，，所以設異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A.8.已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，則，，因為，所以，即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.點在直線上，所以直線與圓有公共點，則，解得故選:B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線過定點則下列結論正確的是（）A.P的坐標為B.當時，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點P在圓的外部【答案】ABD【解析】對于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對于B，當時，直線l為，令x=0，，所以在y軸上的截距為，故B正確；對于C，由，解得，故C錯誤；對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.故選：ABD.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.點是圖象的一個對稱中心B.的單調遞增區(qū)間為，C.在上的值域為D.將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則【答案】AC【解析】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將的圖象先向右平移個單位長度，可得函數的圖象，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC.11.若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點H，使得平面C.線段長度最小值是D.存在點H，使得【答案】ABC【解析】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，，，則______，______【答案】2【解析】由題意得，因為，所以.13.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為__________.【答案】【解析】由題意知甲，乙兩人選擇景點游玩相互獨立，所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為14.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意可得F1-c,0，由于為平行四邊形，故,直線的方程為，漸近線方程，聯立，故,所以，因此，化簡得，故離心率為.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面積的最大值解：（1）由，可得，即，因為，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因為，所以，則，所以的面積，當且僅當時，等號成立.故的面積的最大值為.16.已知直線，圓（1）若，求直線l截圓M所得的弦長;（2）已知直線l過定點若過點P作圓M的切線，求點P的坐標及該切線方程.解：（1）當時，直線，圓M的圓心為，半徑為3，則圓心M到直線l的距離為，則直線l截圓M所得的弦長為；（2）由得，所以定點，由題意得切線的斜率存在，則設切線的方程為，即，所以，解得，故所求切線方程為，即或17.已知雙曲線的實軸長為，且過點（1）求雙曲線C的方程.（2）過雙曲線C的右焦點F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點，求（3）若M，N是雙曲線C上不同的兩點.且直線MN的斜率為，線段MN的中點為P，證明：點P在直線上.解：（1）根據題意可得，則將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）得，則，則直線l的方程為設，由，得，，，，所以（3）設，，則，兩式相減得設，則，所以，即，所以，即，所以點P在直線上.18.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.（1）證明：因為底面ABCD是正方形，所以又因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，且，平面，所以平面（2）解：因為平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角正弦值為（3）解：若存點P滿足題意，則可設點，其中，則，設平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點P，當時，二面角的余弦值為19.若將任意平面向量繞其起點E沿逆時針方向旋轉角，得到向量，則稱點F繞點E逆時針方向旋轉角得到點曲線是由橢圓在平面直角坐標系中繞原點O逆時針旋轉所得的斜橢圓（1）求橢圓C的標準方程.（2）已知M，N是橢圓C長軸的兩個頂點，P，Q為橢圓C上異于M，N且關于y軸對稱的兩點.若直線MP與直線NQ交于點T，證明點T在某定曲線上，并求出該曲線的方程.（3）過橢圓C的上焦點作平行于x軸的直線m，交橢圓C于A，B兩點，D是拋物線上不同于點A，B的動點.若直線DA與橢圓C的另一個交點為G，直線DB與橢圓C的另一個交點為H，試問直線HG是否過定點?若是，求該定點的坐標;若不是，請說明理由.解：（1）（方法一）設為橢圓C上任意一點，則為斜橢圓上一點，則，化簡得，故橢圓C的標準方程為(方法二)由得或,由得或，橢圓C的長軸長為，得，橢圓C的短軸長為，得故橢圓C的標準方程為（2）根據橢圓的對稱性，不妨設，，設，，則，，，由P，M，T三點共線，得，，，由Q，N，T三點共線，得，則，因為，所以，即，故點T在某定曲線上，該定曲線的方程為（3）根據橢圓的對稱性，不妨設，設，，，，直線AG的方程為，直線BH的方程為由得，所以，得，則同理可得，由對稱性知，若過定點，則定點在y軸上.取，則，，則直線GH的方程為，得定點為；下面證明直線GH過定點因為，，所以，所以直線GH過定點.湖南省部分學校2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，所以漸近線方程為，即故選：C.3.已知角的終邊不在坐標軸上，且，則（）A. B. C.或1 D.【答案】A【解析】因為，所以，因為角的終邊不在坐標軸上，所以，則，由二倍角余弦公式可得：故選：A.4.阿基米德在其著作《關于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓長半軸的長度、短半軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，，為橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上任意一點.若，則橢圓C的焦距為().A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】根據題意可得，則，因為，所以a=2，則，所以橢圓C的焦距為：故選：D.5.設函數，若在上單調遞增，則a的取值范圍為().A. B. C. D.【答案】B【解析】因為若在上單調遞增，且，可得，即，解得，即a的取值范圍為.故選：.6.已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】由題意得，準線為，點A在拋物線C的內部，過點A作AB垂直于準線，垂足為B，過點P作PD垂直于準線，垂足為D，則有，當且僅當，P為AB與拋物線的交點時，等號成立，所以的最小值為故選：C.7.芻甍是中國古代算數中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，又，，所以設異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A.8.已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，則，，因為，所以，即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.點在直線上，所以直線與圓有公共點，則，解得故選:B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線過定點則下列結論正確的是（）A.P的坐標為B.當時，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點P在圓的外部【答案】ABD【解析】對于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對于B，當時，直線l為，令x=0，，所以在y軸上的截距為，故B正確；對于C，由，解得，故C錯誤；對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.故選：ABD.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.點是圖象的一個對稱中心B.的單調遞增區(qū)間為，C.在上的值域為D.將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則【答案】AC【解析】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將的圖象先向右平移個單位長度，可得函數的圖象，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC.11.若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點H，使得平面C.線段長度最小值是D.存在點H，使得【答案】ABC【解析】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，，，則______，______【答案】2【解析】由題意得，因為，所以.13.甲、乙兩人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點游玩，已知甲、乙兩人選擇三個景點游玩的概率分別是，，和，，，則甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為__________.【答案】【解析】由題意知甲，乙兩人選擇景點游玩相互獨立，所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的概率為14.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意可得F1-c,0，由于為平行四邊形，故,直線的方程為，漸近線方程，聯立，故,所以，因此，化簡得，故離心率為.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面積的最大值解：（1）由，可得，即，因為，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因為，所以，則，所以的面積，當且僅當時，等號成立.故的面積的最大值為.16.已知直線，圓（1）若，求直線l截圓M所得的弦長;（2）已知直線l過定點若過點P作圓M的切線，求點P的坐標及該切線方程.解：（1）當時，直線，圓M的圓心為，半徑為3，則圓心M到直線l的距離為，則直線l截圓M所得的弦長為；（2）由得，所以定點，由題意得切線的斜率存在，則設切線的方程為，即，所以，解得，故所求切線方程為，即或17.已知雙曲線的實軸長為，且過點（1）求雙曲線C的方程.（2）過雙曲線C的右焦點F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點，求（3）若M，N是雙曲線C上不同的兩點.且直線MN的斜率為，線段MN的中點為P，證明：點P在直線上.解：（1）根據題意可得，則將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）得，則，則直線l的方程為設，由，得，，，，所以（3）設，，則，兩式相減得設，則，所以，即，所以，即，所以點P在直線上.18.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.（1）證明：因為底面ABCD是正方形，所以又因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，且，平面，所以平面（2）解：因為平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別