高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填在答題紙相應(yīng)位置上.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】因為復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，所以，由，得或，由，得，所以.故選：D.2.若向量，，則與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，設(shè)與夾角的余弦值為，，所以．故選：．3.若均為第二象限角，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為均為第二象限角，滿足，，所以，所以.故選：D.4.設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量與向量共線，設(shè)，故，解得.故選：B5.某地為響應(yīng)關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得，千米，千米，則間的直線距離約為（）A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米【答案】B【解析】由余弦定理，，解得.故選：B.6.的內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，，則的面積為（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由已知，，，則.故選:B.7.已知，是方程的兩根，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，則，因，則，故.故選：C.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，而，故選：A.二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的每項2分，有選錯的得0分）9.下列式子中成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，因為，所以，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對．故選：BCD．10.已知中，角的對邊分別為，則以下四個命題正確的有（）A.當(dāng)，，時，滿足條件的三角形共有1個B.若則這個三角形的最大角是C.若，則為銳角三角形D.若，則三角形為等腰三角形【答案】BD【解析】對于A，由正弦定理，，則，故不存在滿足條件的三角形，即A錯誤；對于B，由正弦定理，，設(shè)，則，由余弦定理，，因，則，故這個三角形的最大角是，即B正確；對于C，因，由余弦定理，，因，故角為銳角，但不能說明為銳角三角形，故C錯誤；對于D，由和正弦定理，可得，即，因，故，所以，即，三角形為等腰三角形，故D正確.故選：BD11.下列說法中正確的是（）A.若，則，且方向相同B.若單位向量，夾角為，則向量在向量上的投影向量為C.對任意向量，，，都有D.是的所在平面內(nèi)一點，若，則的面積是的面積的2倍【答案】ABD【解析】對于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正確；對于B，依題意，，則向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于C，對任意向量，，，與結(jié)果均為實數(shù)，設(shè)為，，則，，而與關(guān)系不明確，故得不到，即C錯誤；對于D，如圖，分別取，則，即得，故，因，則，故，即的面積是的面積的2倍，故D正確.故選：ABD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分，請把答案直接填寫在答題紙）12.已知，則______.【答案】【解析】.故答案為：13.已知，，則________．【答案】【解析】因為，則，則，又，所以，則，所以.故答案為：14.如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于________________【答案】【解析】為的中點，且為的中點，所以，，，.因此，，故答案為：.四、解答題：共5小題，共77分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）求（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)；（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）（2），，，．（3）在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若與共線，求解：（1）因為，所以，則，解得，故，.（2）因為，所以，則，.（3），，若與共線，則，解得，即，故.17.在中，、、分別為角所對應(yīng)的邊，已知，，.（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的長.解：（1）由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，則.（2）由，可知為鈍角，則，在中，由正弦定理，，則.18.（1）在中，角所對的邊分別為、、，若，，且.求；（2）已知函數(shù)的最大值為3，求的值.（3）在（2）的前提下，若，，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，整理得，則，所以.（2）函數(shù)，則，所以.（3）由（2）知，由，得，解得，由，得，，，，所以.19.如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為nmile．為鈍角，且．（1）求小島與小島之間的距離；（2）求四個小島所形成的四邊形的面積；（3）記為，為，求的值．解：（1），且為鈍角，，在中，由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．小島與小島之間的距離為2nmile．（2）四點共圓，與互補，則．在中，由余弦定理得：，，得，解得（舍去）或．（平方海里），四個小島所形成的四邊形的面積為18平方海里．（3）在中，由正弦定理得：，即，解．，為銳角，則，又，，．江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填在答題紙相應(yīng)位置上.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】因為復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，所以，由，得或，由，得，所以.故選：D.2.若向量，，則與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，設(shè)與夾角的余弦值為，，所以．故選：．3.若均為第二象限角，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為均為第二象限角，滿足，，所以，所以.故選：D.4.設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量與向量共線，設(shè)，故，解得.故選：B5.某地為響應(yīng)關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得，千米，千米，則間的直線距離約為（）A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米【答案】B【解析】由余弦定理，，解得.故選：B.6.的內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，，則的面積為（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】由已知，，，則.故選:B.7.已知，是方程的兩根，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，則，因，則，故.故選：C.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，而，故選：A.二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的每項2分，有選錯的得0分）9.下列式子中成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，因為，所以，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對．故選：BCD．10.已知中，角的對邊分別為，則以下四個命題正確的有（）A.當(dāng)，，時，滿足條件的三角形共有1個B.若則這個三角形的最大角是C.若，則為銳角三角形D.若，則三角形為等腰三角形【答案】BD【解析】對于A，由正弦定理，，則，故不存在滿足條件的三角形，即A錯誤；對于B，由正弦定理，，設(shè)，則，由余弦定理，，因，則，故這個三角形的最大角是，即B正確；對于C，因，由余弦定理，，因，故角為銳角，但不能說明為銳角三角形，故C錯誤；對于D，由和正弦定理，可得，即，因，故，所以，即，三角形為等腰三角形，故D正確.故選：BD11.下列說法中正確的是（）A.若，則，且方向相同B.若單位向量，夾角為，則向量在向量上的投影向量為C.對任意向量，，，都有D.是的所在平面內(nèi)一點，若，則的面積是的面積的2倍【答案】ABD【解析】對于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正確；對于B，依題意，，則向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于C，對任意向量，，，與結(jié)果均為實數(shù)，設(shè)為，，則，，而與關(guān)系不明確，故得不到，即C錯誤；對于D，如圖，分別取，則，即得，故，因，則，故，即的面積是的面積的2倍，故D正確.故選：ABD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分，請把答案直接填寫在答題紙）12.已知，則______.【答案】【解析】.故答案為：13.已知，，則________．【答案】【解析】因為，則，則，又，所以，則，所以.故答案為：14.如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于________________【答案】【解析】為的中點，且為的中點，所以，，，.因此，，故答案為：.四、解答題：共5小題，共77分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）求（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)；（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）（2），，，．（3）在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若求的值；（3）若向量，若與共線，求解：（1）因為，所以，則，解得，故，.（2）因為，所以，則，.（3），，若與共線，則，解得，即，故.17.在中，、、分別為角所對應(yīng)的邊，已知，，.（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的長.解：（1）由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，則.（2）由，可知為鈍角，則，在中，由正弦定理，，則.18.（1）在中，角所對的邊分別為、、，若，，且.求；（2）已知函數(shù)的最大值為3，求的值.（3）在（2）的前提下，若，，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，整理得，則，所以.（2）函數(shù)，則，所以.（3）由（2）知，由，得，解得，由，得，，，，所以.19.如圖，我國南海某處的一個圓形海