§2.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會(huì)簡單的應(yīng)用.1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是，如果對于集合A中的一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.

2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：、、.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的相同，并且完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和.

4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).()(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示.()(3)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象可以有多個(gè)交點(diǎn).()(4)函數(shù)f(x)＝x-1,x≥0,x22.以下圖形中，不是函數(shù)圖象的是()3.(多選)下列選項(xiàng)中，表示的不是同一個(gè)函數(shù)的是()A.y＝x＋33-xB.y＝x2與y＝(x－1)2C.y＝x2與y＝D.y＝1與y＝x04.已知函數(shù)f(x)＝x2,x≤1,log4x,x>1,1.求函數(shù)的定義域時(shí)，需掌握的幾個(gè)常用結(jié)論(1)分式型1f(x)要滿足f(x(2)根式型2nf(x)(n∈N*)要滿足f((3)[f(x)]0要滿足f(x)≠0.(4)對數(shù)型logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿足f(x)>0.(5)正切型tan[f(x)]要滿足f(x)≠π2＋kπ，k∈Z2.謹(jǐn)防四個(gè)易誤點(diǎn)(1)求函數(shù)定義域之前，盡量不要對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，以免引起定義域的變化.(2)用換元法求值域或解析式時(shí)，一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.(3)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍而不是φ(x)的取值范圍.(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則，已知函數(shù)值求自變量值時(shí)，易因忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò).題型一函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列選項(xiàng)中正確的是()A.函數(shù)f(x)＝1x＋1－x的定義域?yàn)閇B.函數(shù)f(x)的圖象與y軸最多有一個(gè)交點(diǎn)C.函數(shù)y＝x2-1x＋1與函數(shù)yD.對于任何一個(gè)函數(shù)，如果因變量y的值不同，則自變量x的值一定不同(2)(2025·阜陽模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?，4，則函數(shù)y＝f(x＋1)x-1＋(x思維升華函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①A，B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng).(2)兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝1x-2＋ln(x－1)的定義域?yàn)?A.(1，＋∞) B.(1，2)∪(2，＋∞)C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，＋∞)(2)(多選)下列命題中是假命題的是()A.函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線B.f(x)＝x-3C.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，2)，則函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)?0，3)D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1題型二函數(shù)的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx2＋1x2＝x4＋1x(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f1x＝x，求函數(shù)f(x)的解析式思維升華函數(shù)解析式的求法(1)配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.跟蹤訓(xùn)練2(1)若f1x＝x1-x，則f(x(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)為一次函數(shù)，則f(x)＝.

題型三分段函數(shù)例3(1)(多選)(2025·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2,x≤-1,x2,-1<xA.f(f(－1))＝1B.若f(x)＝3，則x的值是3C.f(x)<1的解集為-D.f(x)的值域?yàn)?(2)(多選)(2025·朝陽模擬)函數(shù)D(x)＝1,x∈Q,A.D(D(2))＝D(D(2))B.D(x)的值域?yàn)閧0，1}C.D(x)≠D(－x)D.對任意實(shí)數(shù)x，都有D(x＋1)＝D(x)思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝2則“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選)設(shè)x∈R，定義符號(hào)函數(shù)sgnx＝1,x>0,0,xA.x＝－x|sgnx| B.x＝－xsgn|x|C.|x|＝|x|sgnx D.|x|＝xsgnx

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.非空的實(shí)數(shù)集任意唯一確定2.(1)定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域(2)定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.解析法列表法自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.A[根據(jù)函數(shù)的定義，對于每一個(gè)自變量都有唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)，A選項(xiàng)中存在一個(gè)自變量對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，所以A不是函數(shù)圖象.]3.BCD[對于A選項(xiàng)，y＝x＋33-x的定義域是[－3，3)，y＝x＋33-x的定義域是[對于B選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對于C選項(xiàng)，y＝x2＝|x|對于D選項(xiàng)，y＝1的定義域是R，y＝x0的定義域是{x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù).]4.1解析因?yàn)閒(－2)＝(－2)2＝4，所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1.探究核心題型例1(1)ABD[對于A，由題意x＋1≠0,x≥對于B，由函數(shù)的定義知，函數(shù)圖象至多與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，B正確；對于C，函數(shù)y＝x2-1x＋1的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函數(shù)y＝x－1對于D，函數(shù)中一個(gè)x值只能對應(yīng)一個(gè)y值，如果y值不同，則x的值一定不同，D正確.](2)(1，2)∪(2，3]解析由題設(shè)知0可得-1則x∈(1，2)∪(2，3].跟蹤訓(xùn)練1(1)B[因?yàn)閒(x)＝1x-2＋ln(x－1所以要使函數(shù)有意義，則x解得x>1且x≠2，所以f(x)的定義域?yàn)?1，2)∪(2，＋∞).](2)ABC[對于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x(x∈N)的定義域?yàn)镹，所以其圖象是由離散的點(diǎn)(整點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù))組成的，A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)橐?-x與x-3有意義，則2-x≥0,x-3≥0對于C，由f(x)的定義域?yàn)?－1，2)可得－1<x＋1<2，即－2<x<1，故f(x＋1)的定義域?yàn)?－2，1)，C錯(cuò)誤；對于D，兩函數(shù)的定義域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且對應(yīng)關(guān)系相同，故該組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，D正確.]例2解(1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).(2)(配湊法)f

x2＋1x2＝x4又x2＋1x2≥2x2當(dāng)且僅當(dāng)x2＝1x即x＝±1時(shí)等號(hào)成立.設(shè)t＝x2＋1x2，則t≥∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2∴f(x)＝2x＋7.(4)(解方程組法)由f(x)＋2f

1x＝x得f

1x＋2f(x)＝1聯(lián)立f消去f

1x解得f(x)＝－x3跟蹤訓(xùn)練2(1)1x-1(x≠0且x解析f(x)＝1x1-1x＝1x-1(x(2)2x＋3或－2x－9解析因?yàn)閒(x)為一次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因?yàn)閒(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，所以k解得k＝2所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.例3(1)ABD[對于A，∵f(x)＝x則f(－1)＝－1＋2＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝12＝1，故A正確；對于B，當(dāng)x≤－1時(shí)，由f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍去)；當(dāng)－1<x<2時(shí)，由f(x)＝x2＝3，解得x＝－3(舍去)或x＝3，∴f(x)＝3的解為x＝3，故B正確；對于C，當(dāng)x≤－1時(shí)，由f(x)＝x＋2<1，解得x<－1；當(dāng)－1<x<2時(shí)，由f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，∴f(x)<1的解集為-∞，-1∪-1對于D，當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1；當(dāng)－1<x<2時(shí)，f(x)＝x2∈0，∴f(x)的值域?yàn)?∞，4，故D(2)ABD[對于A，根據(jù)狄利克雷函數(shù)定義可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D(2))＝D(0)＝1，所以A正確；對于B，函數(shù)D(x)的函數(shù)值只有兩個(gè)，為0和1，故值域?yàn)閧0，1}，所以B正確；對于C，若x∈Q，則－x∈Q，則D(x)＝D(－x)＝1，若x∈?RQ，則－x∈?RQ，則D(x)＝D(－x)＝0，綜上可得D(x)＝D(－x)，所以C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)x∈Q時(shí)，x＋1∈Q，此時(shí)D(x＋1)＝D(x)＝1；當(dāng)x∈?RQ時(shí)，x＋1∈?RQ，此時(shí)D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正確.]跟蹤訓(xùn)練3(1)B[當(dāng)f(x)＝2時(shí)，若x≤0，則有2－x＝2，解得x＝－1；若x>0，則有l(wèi)nx＝2，解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2，不一定能推出x＝－1，故“f(x)＝2”不是“x＝－1