§2.7指數(shù)運算與對數(shù)運算課標要求1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).3.掌握指數(shù)、對數(shù)運算在實際問題中的應用.1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(3)(na)n＝.當n為奇數(shù)時，nan＝當n為偶數(shù)時，nan＝|a|2.分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：amn＝(a>0，m，n∈N*，n>1)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：a-mn＝＝1nam(a>0，m，n∈N*0的正分數(shù)指數(shù)冪等于，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈R).

4.對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝，其中____________叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).

以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作.

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作.

5.對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝，logaa＝，alogaN＝(a>0，且a≠1，N(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝；

②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R).

(3)對數(shù)換底公式：logab＝logcblogca(a>0，且a≠1；b>0；c1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)4(-4)4＝－4.(2)若M＝N，則logaM＝logaN.()(3)2a·2b＝2ab.()(4)lg2＋lg5＝1.()2.(多選)下列運算正確的有()A.lg2＋lg3＝lg5 B.log3100＝10log310C.4log45＝5 D.log34·log3.若a25＝425(a>0且a≠1)，則logaA.254 B.C.15 D.4.2723＋4log431.靈活應用指數(shù)冪化簡常用的技巧(1)ba-p＝a(2)a＝(a1m)m，anm＝(a1m)(3)1的代換，如1＝a－1a(a>0)，1＝a-12a1(4)乘法公式的常見變形，如(a12＋b12)(a12－b12(a12±b12)2＝a±2a12b12(a13±b13)(a23?a13b13＋2.謹防兩個易誤點(1)凡涉及對數(shù)，其真數(shù)與底數(shù)的取值范圍一定不能忽略.(2)在使用運算公式時，注意指數(shù)和對數(shù)中的和積之間的轉(zhuǎn)化.題型一指數(shù)運算例1(1)(多選)下列各式正確的是(式中字母均是正數(shù))()A.a46＝3aC.(62)2＝36 D(2)計算：664＋2723＋(3)若a12＋a-12＝3，則a2＋思維升華(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).跟蹤訓練1(1)2·322A.212 BC.216 D(2)計算：0.125-13題型二對數(shù)運算例2(1)(多選)下列運算中正確的是()A.log37log35＝log75 BC.log222＝－1(2)(2025·八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，則a＝.

思維升華解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.跟蹤訓練2(1)(多選)設a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中不成立的是()A.logab·logca＝logcbB.logab·logcb＝logcaC.loga(b＋c)＝logab＝logacD.loga(bc)＝logab·logac(2)計算：12lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32＝.題型三指對運算的應用例3(1)(2025·皖豫天一大聯(lián)考)放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為M＝M0×12tT，其中M0指初始質(zhì)量，t為衰變時間，T為半衰期，M為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為T1，T2(單位：天)，若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則1TA.31024 B.1C.11024 D.(2)(2024·貴陽模擬)電動汽車逐漸成為當今世界的乘用車的發(fā)展方向.1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C(單位：Ah)、放電時間t(單位：h)和放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C＝Iλt，其中λ為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)(稱為Peukert常數(shù))，在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h，則該蓄電池的Peukert常數(shù)λ約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13C.1.14 D.1.15思維升華利用指數(shù)、對數(shù)運算解決實際問題時認清所給函數(shù)模型、變量、參數(shù)，利用待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，然后解決問題.跟蹤訓練3(1)蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù).利用對數(shù)運算可以求大數(shù)的位數(shù).已知lg5≈0.699，則231是()A.9位數(shù) B.10位數(shù)C.11位數(shù) D.12位數(shù)(2)某海島核污水中含有多種放射性物質(zhì)，其中放射性物質(zhì)3H含量非常高，它可以進入生物體內(nèi)，還可以在體內(nèi)停留，并引起基因突變，但難以被清除.現(xiàn)已知3H的質(zhì)量M(kg)隨時間t(年)的指數(shù)衰減規(guī)律是：M＝M0·2－0.008t(其中M0為3H的初始質(zhì)量).則當3H的質(zhì)量衰減為最初的316時，所經(jīng)過的時間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(A.300年 B.255年 C.175年 D.125年

答案精析落實主干知識1.(3)aa2.nam13.ar＋sarsarbr4.logaNaNlgNlnN5.(1)01N(2)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.CD[lg2＋lg3＝lg6，故A錯誤；log3100＝2log310，故B錯誤；4log45＝log34·log43＝1，故D正確.]3.C[由a25＝425∴l(xiāng)oga252＝25，∴l(xiāng)oga25＝4.11解析2723＋4log43－lg5－lg2＝(33)23＋3－(lg5＋lg2)＝32＋探究核心題型例1(1)ABC[對于A，a46＝對于B，4a4＝|a|＝a，故對于C，(62)2＝62×對于D，a-23＝1(2)40解析664＋2723＋11000＋916-12＝(26)16＋(3(3)47解析由a12＋兩邊平方得a＋a－1＝7，兩邊再平方可得a2＋a－2＝47.跟蹤訓練1(1)C[2＝2＝216(2)75解析0.＝123-13－1＋＝2＋1＋8×9＝75.例2(1)BCD[對于A，log37log35對于B，ln(lne)＝ln1＝0，故B正確；對于C，log222＝log21對于D，23-2log23＝(2)e解析f(ln2)f(ln4)＝aln2aln4＝aln2＋ln4＝a3ln2＝aln23＝∴aln2＝2，∴a＝e.跟蹤訓練2(1)BCD[對于A，logab·logca＝lgblga·lgalgc＝對于B，logab·logcb＝lgblga·lgblgc，而logc對于C，若loga(b＋c)＝logab＝logac，則b＋c＝b＝c，故b＝c＝0，顯然不符合要求，故C錯誤；對于D，loga(bc)＝logab＋logac，故D錯誤.](2)－1解析原式＝lg5＋lg2－lg10-12－2log23×log32＝1－＝－12例3(1)A[由題意可得M0×121024T1＝8M0×12即1T2(2)D[由題意知C＝7.5λ×60＝25λ×15，所以257.5λ＝兩邊取以10為底的對數(shù)，得λlg103＝2lg2所以λ＝2lg21-lg3