§5.3平面向量的數(shù)量積課標(biāo)要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.1.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積，記作.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，AB＝a，CD＝b，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.記為|a4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝.

(2)(λa)·b＝＝(λ∈R).

(3)(a＋b)·c＝.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝

模|a|＝___________|a|＝

夾角cosθ＝

cosθ＝

a⊥b的充要條件a·b＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，π2.(2)若a，b共線，則a·b＝|a||b|.()(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量.()(4)若a·b＝a·c，則b＝c.()2.(2025·八省聯(lián)考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，則a·(a－b)等于()A.2 B.1 C.0 D.－13.已知a＝(1，2)，|b|＝23，a·b＝－3，則a與b的夾角為.

4.已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為2π3，且a＋b＋c＝0，則|c|＝.熟記以下常用結(jié)論(1)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.③a2＋b2＝0?a＝b＝0.(2)有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論①若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.②若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2024·綿陽模擬)在半徑為r的☉O中，弦AB的長(zhǎng)度為a，則AB·AO的值為()A.ar2 B.aC.ar D.a2(2)(2025·蘇州模擬)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上(包括端點(diǎn))，則AD·AP的取值范圍是()A.[0，1] B.[－1，2]C.[－2，2] D.[－1，1]極化恒等式1.極化恒等式在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的14，即a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](如圖(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即AB·AC=AM2-MB2(M為BC的中點(diǎn))(如圖極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.典例(1)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，CE=3，CB=8，AB=12，則EA·EB等于()A.-15 B.-13 C.13 D.15(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，PM·PN的取值范圍是()A.[0，1] B.[0，2] C.[1，2] D.[-1，1]思維升華計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積.(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·揚(yáng)州模擬)已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則(2e1－e2)·e2等于()A.－2 B.0C.1 D.2(2)(2024·北京模擬)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足AP＝λAB(λ>0)，則PC·DP的最大值為.

題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1向量的模例2(2023·新高考全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝.

命題點(diǎn)2向量的夾角例3(2024·太原模擬)已知單位向量a，b滿足(a－b)·a＝12，則a－2b與b的夾角為(A.π6 B.πC.2π3 D.命題點(diǎn)3向量的垂直例4(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2命題點(diǎn)4向量的投影例5(2024·鄭州模擬)平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，則b在a上的投影向量為()A.1512a B.1C.38a D.15思維升華(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|②幾何法：利用向量的幾何意義.(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝a·②坐標(biāo)法.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·黔東南模擬)已知向量a＝(1，0)，b＝(m，23)，b在a方向上的投影向量為2a，則m等于()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|等于()A.12 B.2C.32 (3)(2025·包頭模擬)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則向量a與向量a－b的夾角為()A.150° B.120° C.60° D.30°題型三平面向量的實(shí)際應(yīng)用例6(多選)在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|，且F1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是()A.|F1|的最小值為12|GB.θ的范圍為[0，π]C.當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|D.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，|F1|＝|G思維升華用向量方法解決實(shí)際問題的步驟跟蹤訓(xùn)練3冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對(duì)抗的集體性競(jìng)技運(yùn)動(dòng)，在冰球運(yùn)動(dòng)中，冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對(duì)方球門，多者為勝.小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球從點(diǎn)A(－1，－1)移動(dòng)到點(diǎn)B(1，－1)，則F對(duì)冰球所做的功為()A.－18 B.18C.－12 D.12

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.∠AOB2.|a||b|cosθa·b4.(1)b·a(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c5.x1x2＋y1y2a·aa·b|a||b|x1x2＋y自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.B[a－b＝(－1，1)，a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.]3.120°解析設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍＝(1，2)，|b|＝23，a·b＝－3，所以cosθ＝a·b|因?yàn)?°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a與b的夾角為120°.4.7解析因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos2π3＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝7探究核心題型例1(1)B[取線段AB的中點(diǎn)D，得OD⊥AB，所以|AO|cosA＝|AD|＝12|AB所以AB·AO＝|AB||AO|cosA＝12|AB|2＝a2(2)C[方法一設(shè)BA＝a，BC＝b，令BP＝λBC，λ∈[0，1]，∵AP＝AB＋BP＝－aAD＝BC＝∴AD·AP＝b·(－a＋λb)＝－a·b＋λb2＝－2×2×cos60°＋4λ＝4λ－2，∵λ∈[0，1]，∴4λ－2∈[－2，2].方法二如圖建立平面直角坐標(biāo)系，△ABC為等邊三角形，A(0，3)，D(2，3)，設(shè)P(x，0)，x∈[－1，1]，∵AP＝(x，－3)，AD＝(2，0)，∴AD·AP＝2x∈[－2，2].]微拓展典例(1)C[由題意，BF＝12AB＝6，CF＝CB2EF＝CF－CE＝7，所以EA·EB＝|EF|2－|FB|2＝49－36＝13.](2)A[如圖所示，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦MN過內(nèi)切圓的圓心O，PM＝PO＋圓O的半徑為1，由于P是正方形ABCD的四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則|PO|∈[1，2]，所以PM·PN＝|PO|2－1∈[0，1]，即PM·PN的取值范圍是[0，1].]跟蹤訓(xùn)練1(1)A[因?yàn)閱挝幌蛄縠1，e2的夾角為120°，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e22＝2|e1||e2|cos120°－|e2|2＝2×1×1×-(2)－3解析方法一根據(jù)題意，建立以A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，B(1，0)，因?yàn)锳B＝(1，0)，AP＝λAB(λ>0)，所以P(λ，0)，所以DP＝(λ，－1)，PC＝(1－λ，1)，所以PC·DP＝λ(1－λ)－1＝－λ2＋λ－1＝－λ-所以當(dāng)λ＝12時(shí)，PC·DP取得最大值為－3方法二如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接PO，PC·DP＝－PC·PD＝－(PO2－OC2又|PO|min＝1，所以(PC·DP)max＝14－1＝－34例23解析方法一因?yàn)閨a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因?yàn)閨a－b|＝3，即(a－b)2＝3，則a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝3.方法二設(shè)c＝a－b，則|c|＝3，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由題意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，則c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝3.例3D[由題意可知，|a|＝|b|＝1，因?yàn)?a－b)·a＝a2－a·b＝1－a·b＝12得a·b＝12所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝3，即a-2又(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－32可得cos〈a－2b，b〉＝(a-2b)·ba-2bb＝-323×1＝－32，且〈a－例4D[因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.]例5C[由|a＋b|＝(＝|＝13＋2a·b＝4可得a而b在a上的投影向量為|b|cos〈a，b＝38a.跟蹤訓(xùn)練2(1)B[由向量a＝(1，0)，b＝(m，23)，可得a·b＝m且a＝1，因?yàn)橄蛄縝在a方向上的投影向量為2a，可得a·ba·aa＝ma＝2a，所以(2)B[因?yàn)?b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因?yàn)閨a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，從而|b|＝22.(3)D[如圖，若|a|＝|b|＝|a＋b|，則△OAC為等邊三角形，則向量a與向量a－b的夾角為30°.]例6ACD[由題