PageSeq2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講46.等差，等比數(shù)列中的七大應(yīng)用含答案46.等差，等比數(shù)列的七大應(yīng)用一．基本原理（一）等差數(shù)列及其應(yīng)用1.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1）等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，即對(duì)于數(shù)列，若(與無關(guān)的數(shù)或字母)，，，則此數(shù)列是等差數(shù)列，為公差.（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或.有幾種方法可以計(jì)算公差：①；②；③.（3）等差中項(xiàng)：數(shù)列、、成等差數(shù)列的充要條件是，其中叫做、的等差中項(xiàng).即有、、成等差數(shù)列恒成立.（4）等差數(shù)列前項(xiàng)和（4.1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：.（4.2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：.3.證明為等差數(shù)列的方法：（3.1）定義法：(為常數(shù)，)為等差數(shù)列；用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子和，但它們的意義不同，后者必須加上“”，否則時(shí)，無定義.（3.2）中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；（3.3）通項(xiàng)法：為的一次函數(shù)為等差數(shù)列；（3.4）前項(xiàng)和法：或.4.等差數(shù)列的性質(zhì)（4.1）在等差數(shù)列中，若，則().注意：但通常由推不出，因?yàn)橛谐?shù)列的存在.（4.2）在等差數(shù)列中，、、、、…仍為等差數(shù)列，公差為.（4.3）若為等差數(shù)列，則、、、…仍為等差數(shù)列，公差為.（4.4）等差數(shù)列的增減性：時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和有最小值.時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和有最大值.（4.5）等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差為.若其前項(xiàng)之和可以寫成，則，，當(dāng)時(shí)它表示二次函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和是成等差數(shù)列的充要條件.（4.6）公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列必是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（4.7）若兩個(gè)等差數(shù)列、相加組成一個(gè)新數(shù)列，則必為等差數(shù)列，公差為數(shù)列、的公差之和.（4.8）若兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，則.5.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有三種方法：（5.1）利用：①當(dāng)，，前項(xiàng)和有最大值，可由且，求得的值；②當(dāng)，，前項(xiàng)和有最小值，可由且，求得的值.注意：求的最值時(shí)，當(dāng)時(shí)取兩個(gè)值.（5.2）利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)的值.（二）等比數(shù)列及其應(yīng)用1、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和：（1.1）一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，).注：從第二項(xiàng)起與前一項(xiàng)之比為常數(shù)：成等比數(shù)列(，).（1.2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：()或()；（1.3）等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式()，它的圖像是分布在曲線()上的一些孤立的點(diǎn).當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；

當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列.（1.4）當(dāng)時(shí)，①或②；當(dāng)時(shí)，.證明：設(shè)等比數(shù)列、、、…，它的前項(xiàng)和是，由得，∴；∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；2.等比數(shù)列的判定與證明方法（2.1）定義法：若(，)或(，，)，則是等比數(shù)列.（2.2）等比中項(xiàng)法：若數(shù)列中，且()，則是等比數(shù)列.（2.3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成(，，)，則是等比數(shù)列.（2.4）前n項(xiàng)和法3.等比數(shù)列的性質(zhì)（3.1）等比中項(xiàng)：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使、、成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)為與的等比中項(xiàng).即(、同號(hào)).如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使、、成等比數(shù)列，則；反之，若，則，即、、成等比數(shù)列，∴、、成等比數(shù)列b().等比中項(xiàng)的性質(zhì)：①()；()；（3.2）若，則.注意：但通常由推不出，因?yàn)橛蟹橇愠?shù)列的存在.（3.3）數(shù)列首項(xiàng)是，公比為，數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，同理數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（3.4）在公比為的等比數(shù)列中，數(shù)列、、、…仍是等比數(shù)列.（3.5）公比為；數(shù)列、、、…仍是等比數(shù)列(此時(shí)).二．典例分析★應(yīng)用1.考察等差數(shù)列的基本量例1．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．解析：由題知，，解得，∴，故選A．例2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15解析：方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.★應(yīng)用2.考察等差數(shù)列的性質(zhì)例3．已知為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和．若，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（

）A． B．4 C． D．解析：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，則.故選:C.例4．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B例5．已知等差數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（

）A．9 B．10 C．17 D．18解析：因?yàn)椋援愄?hào)，因?yàn)椋?，又有，所以，即，因?yàn)椋缘淖畲笳麛?shù)n為17.故選：C例6．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則＝__________解析：由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，所以，得，解得.故答案為：★應(yīng)用3.考察等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例7．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．解析：（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）方法1：:由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．方法2：由（1）可得，，，:又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．★應(yīng)用4.等差數(shù)列綜合應(yīng)用例8．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．2解析：各項(xiàng)為正的數(shù)列，，時(shí)，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為2．故選：D．例9．設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．解析：（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.★應(yīng)用5.等比數(shù)列基本量及計(jì)算例10．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.例11.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.例12.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40解析：由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.例13．（2023年新高考2卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．★應(yīng)用6.等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用例14．若等比數(shù)列中的，是方程的兩個(gè)根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列中的，是方程的兩個(gè)根，所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，，因?yàn)?，于是，則==.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.例15．（2023年新高考2卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．例16.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．3 C． D．1解析：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，可得，可得，當(dāng)時(shí)，，則所以因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C．★應(yīng)用7.等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例17．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)椋蛇f推知，，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.故選：C.例18．（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．解析：因?yàn)椋?，，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.例19．（多選題）已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．D．中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列解析：數(shù)列中，，，則，，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，，B正確；因，，則數(shù)列不是等比數(shù)列，A不正確；，C正確；假定中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，令此三項(xiàng)依次為，且，，則有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，D不正確.故選：BC例20．記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，即，所以，又，即，解得，所?（2）由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以47.遞推公式求通項(xiàng)的十種類型一．等差數(shù)列與等比數(shù)列類型1.等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)遞推形式為常數(shù)，）或者相鄰三項(xiàng)遞推形式.這種遞推形式下，直接用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解決！例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B． C． D．解析∵，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴（）.當(dāng)時(shí)，也適合上式，.故選A.類型2.等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)遞推或.或者相鄰三項(xiàng)遞推.特別地，在等比數(shù)列應(yīng)用中，有一類比較特殊的遞推類型，即，我們可以對(duì)其賦值得到一個(gè)等比數(shù)列.例2．?dāng)?shù)列中，，對(duì)任意有，若，則（

）A． B． C． D．解析由任意都有，所以令，則，且，所以是一個(gè)等比數(shù)列，且公比為，則所以，故選D.二．隔項(xiàng)成等差（等比）數(shù)列1.在等差數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個(gè)子數(shù)列分別是公差為的等差數(shù)列.若,則當(dāng)時(shí),,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.2.在等比數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個(gè)子數(shù)列分別是公差為的等比數(shù)列.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.例3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為(

)A． B． C． D．解析∵，，∴，解得．，∴，兩式相減，得，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均為公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，∴根據(jù)上式和(*)知，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，易知是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則．故選A．例4．?dāng)?shù)列中，．求的通項(xiàng)公式；解析（1）由①②，②-①，∴的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，由，∴，∴，∴，n為奇數(shù)，，∴，n為偶數(shù)．∴.例5．已知數(shù)列滿足且，．求通項(xiàng)；解析當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，∴，為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴，為偶數(shù)∴.三.累加型 累加所以,當(dāng)時(shí)也成立.下面,我們通過實(shí)例展示例6．若數(shù)列滿足，．求的通項(xiàng)公式.解析：因?yàn)?，，所以，?例7．已知數(shù)列滿足，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．解析：∵，等式兩邊同除以，∴，可得到，，…，，利用累加法，可得到，即，又∵，所以.，∴，故A正確；，∴，故B錯(cuò)誤；，∴，故C錯(cuò)誤，，∴，故D錯(cuò)誤.故選A例9．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）．A． B．C． D．解析：，所以當(dāng)時(shí)，，，，，將上式累加得，，即，又時(shí)，也適合，．故選B．已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．解析數(shù)列滿足，，，，，，……，累加得，又，，.故選B.四.()累乘型.已知的形式,當(dāng)時(shí),變形得到,則由累乘法可得： 例11．?dāng)?shù)列及其前n項(xiàng)和為滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．解析當(dāng)時(shí)，，即，所以累乘得，又，所以所以則.故選C.例12．?dāng)?shù)列及其前n項(xiàng)和為滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．解析：當(dāng)時(shí)，，即所以累乘得，又，所以，所以則.故選C.五.型（待定系數(shù)法）一般形式為常數(shù)，，可以構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，只要在每一項(xiàng)同加上一個(gè)常數(shù)即可，且常數(shù)，，令，則為等比數(shù)列，求出，再還原到，.例13．在數(shù)列中，，．求的通項(xiàng)公式.解析依題意，數(shù)列中，，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.例14.(2014年新課標(biāo)全國1卷)已知數(shù)列滿足，證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.解析顯性構(gòu)造，，.例15．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．解析：，又，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故選D.六.型例16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解析∵，∴，∴，又∵，故是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．，則．七.型.方法1.數(shù)學(xué)歸納法.方法2.，令，則，用累加法即可解決?。ü娞?hào)凌晨講數(shù)學(xué)）例17.(2020年新課標(biāo)全國3卷)設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算，，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析方法1歸納法.（1）猜想得，，…….因?yàn)?，所以方?構(gòu)造法.由可得，累加可得.（2）由（1）得，所以.①.②得，類型8.型例8．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例19.在數(shù)列中，已知，，，則等于（

）A． B． C． D．解析：

，，所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，故選:B九.已知與關(guān)系，求.（公眾號(hào)凌晨講數(shù)學(xué)）解題步驟第1步當(dāng)代入求出；第2步當(dāng)，由寫出；第3步（）；第4步將代入中進(jìn)行驗(yàn)證，如果通過通項(xiàng)求出的跟實(shí)際的相等，則為整個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，若不相等，則數(shù)列寫成分段形式，在本考點(diǎn)應(yīng)用過程中，具體又可分為三個(gè)角度，第一，消留，第二個(gè)角度，消留，第三個(gè)角度，級(jí)數(shù)形式的前n項(xiàng)和，下面我們具體分析.例13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.證明數(shù)列是等差數(shù)列.證明∵，∴，易知，∴，∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.例14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.求.解析因?yàn)?所以，則，，即為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，故.例15．已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以．?6.（2022新高考1卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．求得通項(xiàng)公式.解析，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，即（）；累積法可得（），又滿足該式，所以得通